2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中七年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中七年级（下）月考数学试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是(    )

A. 全面调查适用于所有的调查
B. 为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C. 为调查小区户家庭用水情况，抽取该小区户家庭，样本容量为
D. 为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体

2.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列命题中是真命题的是(    )

A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角
C. 若，则 D. 平方根是本身的数只有

4.  若，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，若点在数轴上，点在点的右侧且，则点所表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  关于、的二元一次方程组的解满足，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  网上一家电子产品店，今年月的电子产品销售总额如图，其中一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图．

根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是(    )

A. 从月到月，电子产品销售总额为万元
B. 平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与月份相比都下降了
C. 平板电脑月份的销售额比月份有所下降
D. 今年月中，平板电脑售额最低的是月

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  如图，取两根木条，，将它们钉在一起并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线模型，测量发现，其数学原理是______．

12.  ______ ．

13.  一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于，两点，另一边与三角板的两直角边分别交于，两点，且，那么的大小为______．

14.  关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______．

15.  在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向上平移两个单位后刚好落在轴上，则的值为______ ．

16.  若，，且，则等于______．

17.  把如图中的长方形分割成，两个小长方形，现将小长方形的一边与重合，另一边对齐恰好组成如图的大正方形，空余部分是正方形若拼接后的大正方形的面积为，则图中原长方形的周长为______．

18.  三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快通员上午派送快递所用的时间和件数；点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．
有如下四个结论：
上午派送快递所用时间最短的是甲；
下午派送快递件数最多的是丙；
在这一天中派送所用时间最长的是乙；
在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
上述结论中，所有正确结论的序号是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．

21.  本小题分
解不等式组，并写出它的所有非负整数解．

22.  本小题分
如图，平面上的三个点，，按照下列要求画出图形：
作直线，射线，连接；
在射线上作点，使；
在，，中，最短的线段是______ ，依据是______ ．

23.  本小题分
如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是．
坐标原点应为        的位置．
在图中画出此平面直角坐标系；
校门在第        象限；图书馆的坐标是        ；分布在第一象限的是        ．

24.  本小题分
如图，，，，．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若平分，求的度数．

25.  本小题分
某社区响应政府的号召，积极组织社区居民献爱心活动为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计统计表如下，数据整理成如图所示的不完整统计图已知、两组捐款户数直方图的高度比为：，请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表：

组的频数是______ ，样本容量是______ ；
求出组的频数并补全直方图；
若该社区有户住户，请估计捐款不少于元的户数是多少？

26.  本小题分
春节、清明节、端午节、中秋节井称为中国四大节日，为弘扬中国传统文化，某校在端午节前开展相关活动，组委会准备购买两种奖品，种奖品发给获优胜奖的选手，种奖品作为参与奖发给未获得优胜奖的其他参赛选手作为鼓励若购买种奖品件和种奖品件，共需元；购买种奖品件和种奖品件，共需元．
求，两种奖品的单价分别是多少元？
在比赛筹备过程中，如果用于购买奖品的总预算为元，优胜奖和参与奖的总数为名，那么种奖品最多能准备多少个？

27.  本小题分
在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动．
如图，小明把三角尺角的顶点放在直线上，若，则 ______
如图，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系______ 不用证明
在图的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即如图，平分交直线于点，平分交直线于点将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．

 

28.  本小题分
对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“邻近距离”，记为图形，图形．
已知点，，，．
点，线段______；
若点在轴上，且点，线段，求点的横坐标的取值范围；
依次连接，，，四点，得到正方形不含图形内部，记为图形，点，点均不与点重合，线段，组成的图形记为图形，若图形，图形，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意；
C、为调查小区户家庭用水情况，抽取该小区户家庭，样本容量为，故本选项说法错误，
不符合题意；
D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，
这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．

根据全面调查的特点判断与；根据样本容量的定义判断；根据样本具有的特点判断．
本题考查了全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了算术平方根的定义“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作”，值得注意的是，算术平方根只能是正数，不能为负数．
由算术平方根的定义得出结果．
【解答】
解：，
．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、若，则，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、平方根是本身的数只有，正确，是真命题，符合题意，
故选：．
利用平行线的性质、对顶角的定义、实数的性质及平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、实数的性质及平方根的定义，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
故本选项不符合题意；
B、，
，
故本选项不符合题意；
C、，
，
故本选项符合题意；
D、，
，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式性质解题：不等式两边同时乘或除以同一个正数仍成立，不等式两边同时乘或除同一个不等于零的负数要改变不等号的方向．
本题考查了不等式的性质，属于简单题，熟悉不等式的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
，
，
点表示的数为，
点表示的数为．
故选：．
根据正方形面积公式求出边长，表示点即可．
本题考查了数轴表示无理数，根据正方形面积求边长是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，根据折叠的性质求出，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设索长为尺，竿子长为尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于、的二元一次方程组．
【解答】
解：设索长为尺，竿子长为尺，
根据题意得：．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
不等式组无解，
．
故选：．
先解出第二个不等式，根据不等式组无解，可得．
本题主要考查了根据不等式组的解集求参数的范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法和解集是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原方程组中两个方程作差可得，
，
整理得，，
由题意得方程，，
解得，，
故选：．
将两个方程作差，可得，从而解方程即可．
此题考查了解决含有字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能应用整体思想进行求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，
从月到月，电子产品销售总额为万元，故选项A中的说法合理；
由图可得，平板电脑月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与月份相比都下降了，故选项B中的说法合理；
由图可知，平板电脑月份的销售额为万元，月份的销售额为万元，故平板电脑月份的销售额比月份有所上升，故选项C中的说法不合理；
平板电脑月份销售额为万元，月份销售额为万元，月份的销售额为万元，月份的销售额为万元，故今年月中，平板电脑售额最低的是月，故选项D中的说法合理；
故选：．
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题．
本题考查条形统计图、折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】对顶角相等 

【解析】解：两直线相交，就会有对顶角，对顶角不仅有位置关系，而且有大小关系，即：对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
两根木条，，把它们想象成两条直线，得到一个相交线模型，则和互为对顶角，根据对顶角的性质，对顶角相等，即得．
本题考查对顶角的性质，熟记对顶角相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案是．
直接合并即可．
二次根式的加减法就是合并同类项．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据，，即可得到，最后根据，即可得出的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：，
关于的方程的解是非负数，
，
解得：．
故答案为：．
首先要解这个关于的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于的不等式，最后求出的取值范围．
本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于的不等式是本题的一个难点．
 

15.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，将点向上平移两个单位后，点的对应点的坐标为，
点刚好落在轴上，
，
．
故答案为：．
点的坐标为，将点向上平移两个单位后，点的对应点的坐标为，再根据轴上的点纵坐标为列出关于的方程，求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了轴上的点的坐标特征．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
因为，
所以，，
所以．
故答案为：．
先由算术平方根和平方根的定义求得、的值，然后根据计算即可．
本题主要考查算术平方根、平方根的定义、有理数的减法，求得，是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设矩形的长为，宽为，
是正方形，
的边长为，
大正方形边长：，
大正方形的面积为，
，
图中的长方形的周长为：，
图中原长方形的周长为：．
故答案为：．
设矩形的长为，宽为，表示大正方形边长：，进而求出，也就得出图中原长方形的周长．
本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义，根据题意列式计算是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：从图知以下信息：
上午派送快递所用时间最短的是甲，故正确；
下午派送快递件数最多的是乙，故错误；
在这一天中派送所用时间最长的是乙，故正确；
在这一天中派送快递总件数最多的是乙，故正确．
故正确结论的序号是．
故答案为：．
根据图象所给点的坐标进行解答即可．
本题主要考查函数的图象，解题关键是能够从函数图象中获取信息解决为题．
 

19.【答案】解：，
得，，
解得，
将代入得，
解得，
方程组的解为． 

【解析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，

，
在数轴上表示为：
． 

【解析】利用解一元一次不等式的方法对不等式进行求解，再在数轴上表示出来即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解答的关键是对解一元一次不等式的方法的掌握．
 

21.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的所有非负整数解为：，． 

【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
 

22.【答案】  垂线段最短 

【解析】解：如图：直线，射线，线段即为所求；
点即为所求；
在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．

根据线段，直线，射线的特点作图；
根据“过直线外一点作已知直线的垂线”的基本作法作图；
根据垂线段最短求解．
本题考查了复杂作图，掌握线段，直线，射线的特点及垂线段最短是解题的关键．
 

23.【答案】高中楼  四    图书馆和操场 

【解析】解：由题意得，可以建立如下坐标系，
坐标原点应为高中楼的位置，
故答案为：高中楼；

如图所示，该平面直角坐标系即为所求；

由坐标系可知，校门在第四象限，图书馆的坐标为，分布在第一象限的是，图书馆和操场，
故答案为：四，，图书馆和操场．
根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案；
由即可得到答案；
根据坐标系中的位置即可得到答案．
本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键．
 

24.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
平分，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】求出，再利用证明，由此可得；
由求出，，再由三角形内角和求出即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的判定及性质，三角形内角和定理是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：组的频数是：
，
调查样本的容量是：
；
故答案为：，；
组的频数是：，
统计图如下：

估计捐款不少于元的户数是：户．
由于，两组捐款户数直方图中频数比为：，用组的频数除以可得组的频数；根据样本容量、两组捐款户数、两组捐款户数所占的百分比，可得本题调查样本的个数；
由于组的频数样本的容量组所占的百分比，据此补全直方图；
由于捐款不少于元的有、两组，用总人数人乘、两组捐款户数所占的百分比求出捐款不少于元的户数．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

26.【答案】解：设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：种奖品的单价是元，种奖品的单价是元．
设种奖品准备个，则种奖品准备个，
依题意得：，
解得：．
答：种奖品最多能准备个． 

【解析】设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，根据“购买种奖品件和种奖品件，共需元；购买种奖品件和种奖品件，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设种奖品准备个，则种奖品准备个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

27.【答案】   

【解析】解：如图，
两直线平行，同位角相等，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：；

方法一：如图，
两直线平行，同旁内角互补，
在中，直角三角形两锐角互余，
．
方法二：
过点作，
，

，
，
，
，
．
故答案为：；

不变，，
理由如下：

、分别平分、，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
由方法可得，
即．
根据两直线平行，同位角相等证出，即，又因为，得到，再等量代换，得出，即可解答；
方法一：根据两直线平行，同旁内角互补以及直角三角形两锐角互余即可解答；方法二：过点作，根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线折线一个折点模型问题；
由方法二证明，设，再根据共顶点的，角，用含的式子表示出，，再根据即可解答．
本题主要考查直角三角形性质和平行线性质，解题关键是熟练掌握并灵活运用以上性质．
 

28.【答案】解：，，
点到线段距离为，
根据“邻近距离”定义得：点，线段，
故答案为：；
，，
根据“邻近距离”定义得：当时，点，线段，当或时，点，线段，
或；
如图，当时，
图形，图形，
根据“邻近距离”定义得：，
解得：，
当时，如图，
图形，图形，
根据“邻近距离”定义得：，
解得：或，
当时，，如图，
解得：，
综上所述，或或或．
 

【解析】根据“邻近距离”定义即可得出答案；
根据“邻近距离”定义，当时，点，线段，当或时，点，线段，即可得出答案；
画出图形，结合“邻近距离”定义，分类讨论即可得出答案．
本题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．