2023-2024学年北京市海淀区清华附中七年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区清华附中七年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.下列各式中，计算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是(    )

A. 正数 B. 非负数 C. 负数 D. 非正数

3.的倒数的绝对值的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.据报道，截至年月底，北京市累计建成并开通基站个，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

5.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.亿是用四舍五入法取近似值后得到的近似数，那么这个数值(    )

A. 精确到亿位 B. 精确到百分位 C. 精确到千万位 D. 精确到百万位

7.下列比较大小正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.已知有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则下列各式：；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.如图，，，，是数轴上四个点，点表示数为，点表示的数为，，则数所对应的点在线段上．(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.任何一个正整数都可以进行这样的分解：、是正整数，且，如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：，例如可以分解成，或，则，例如可以分解成，，则，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共40分）

11.在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间距离是______．

12.一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是______．

13.若，则______．

14.从、、、、中任取个数，所得积的最大值记为，所得商的最小值记为，则的值为______ ．

15.平方后等于的数是______ ；立方后等于的数是______ ．

16.有理数，在数轴上的位置如图所示，且，，则______．

17.定义一种对正整数的“运算”：当为奇数时，结果为；当为偶数时，结果为其中是使为奇数的正整数，并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是则：若，则第次“运算”的结果是______．

 

18.四个互不相等的整数、、、，使，则 ______ ．

三、解答题（本题共5小题，共50分）

19.计算：
；
．

20.计算：
；
．

21.月日，一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了千米到达小明家，继续向东走了千米到达小红家，然后向西走了千米到达小刚家，最后返回百货大楼．

以百货大楼为原点，向东为正方向，个单位长度表示千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置小明家用点表示，小红家用点表示，小刚家用点表示
这辆货车此次送货全程共行走了多少千米，若货车每千米耗油升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？
货车司机的送货收入是按送货距离来计费的运费由买家收到货物时支付以百货大楼为中心点，送货收入是按距离百货大楼每千米元计费求月日，该货车司机送达上述三家货物的送货收入．

22.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
探究问题：如图，数轴上，点、，分别表示数，，．
填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是______ ；
解决问题：
直接写出式子的最小值为______ ；
若满足时，则的值是______ ；
当为______ 时，代数式的最小值是直接写出结果

23.综合与探究：
【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数均不等于的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”，一般地把写作
，读作“的圈次方”．
【初步探究】
直接写出计算结果：______；______．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方乘方幂的形式
试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：
______，______．
算一算：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的定义，，那么符合题意．
B.根据绝对值的定义，，那么不符合题意．
C.根据乘方的定义，，那么不符合题意．
D.根据乘方的定义，，那么不符合题意．
故选：．
根据相反数、绝对值、乘方的定义解决此题．
本题主要考查相反数、绝对值、乘方，熟练掌握相反数、绝对值、乘方的定义是解决本题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：设这个数为，由题意得
，
，
即是非负数，
故选：．
由相反数和非正数的定义可确定此题答案．
此题考查了对有理数符号的确定能力，关键是理解相反数与非正数等概念．

3.【答案】 

【解析】解：的倒数是，的绝对值是，的相反数是，
的倒数的绝对值的相反数是．
故选：．
据倒数，绝对值和相反数的定义进行求解即可．
本题主要考查了倒数，绝对值，相反数，熟知倒数，绝对值，相反数的定义是解题的关键：如果两个数的乘积为，那么这两个数互为倒数；正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，的相反数是．

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

5.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，，
所以，，，
所以选项A，，是错误的，只有选项D是正确的．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：还原数据得：，是百万位，
近似数亿精确到百万位．
故选：．
由于一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，因为亿，结合精确度的表示方法即可解答，
本题主要考查了近似数的相关知识，解题的关键是要看四舍五入到哪一位．

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，故本选项符合题意；
B.，，
所以，故本选项不符合题意；
C.，
故，故本选项不符合题意；
D.，，
所以，故本选项不符合题意．
故选：．
根据有理数大小比较方法解答即可．
本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故不符合题意；
，，
，
则，
，
又，，
，
则，
，
即：，
故不符合题意；
，，
，
，
，，
，
即，
符合题意，
故选：．
中根据数轴上数的正负来判断大小；
中，根据数轴上数的正负去掉绝对值符号再计算；
中，根据数轴上数的正负去掉绝对值符号再计算．
本题考查了数轴上绝对值的应用，关键分析出字母运算的正负来去掉绝对值．

9.【答案】 

【解析】解：数轴上的点表示的数为，点表示的数为，
则与两点间的距离为．
故答案为：．
数轴上点与点之间距离是，计算即可．
此题考查了利用数形结合思想解决数轴上两点间距离的求法，关键是能根据数轴和计算归纳出计算方法．

10.【答案】 

【解析】解：因为墨迹最左端的实数是，最右端的实数是根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是，最右侧的整数是所以遮盖住的整数共有个．
故答案是：．
根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数．
此题考查了数轴的有关内容，要求掌握在数轴上的基本运算．解决此题的关键是数轴上实数排列的特点．另外容易疏忽的是整数．

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
解得，．
．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．

12.【答案】 

【解析】解：最大值，
最小值，
．
故答案为：．
根据有理数的乘法与有理数的大小比较求出、的值，然后相除即可得解．
本题考查了有理数的乘除法，有理数的大小比较，确定出、的值是解题的关键．

13.【答案】   

【解析】解：，．
故答案为：；．
根据平方根的性质与立方根的性质进行解题即可．
本题考查平方根与立方根，掌握平方根的性质与立方根的性质是解题的关键．

14.【答案】或 

【解析】解：，，且，
，，
或，
故答案为：或．
根据题意和数轴可以求得、的值，从而可以求得的值，本题得以解决．
本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】利用绝对值的意义，有理数的加减混合运算的法则解答即可；
利用加法的运算律解答即可．
本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律是解题的关键．

16.【答案】解：原式

；
原式



． 

【解析】先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
逆用乘法分配律进行计算即可．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．

17.【答案】解：如图所示，
   
这辆货车此次送货全程的路程千米，
  这辆货车此次送货共耗油：升；
 答：这辆货车此次送货全程共行走了千米，这辆货车此次送货共耗油升．
依题意得：货车当日的送货收入为：元，
答：该货车司机当天的送货收入元． 

【解析】根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用个单位长度表示千米，一辆货车从百货大楼出发，向东走了千米，到达小明家，即表示，继续向东走了千米到达小红家，即表示，然后西走了千米，到达小刚家，即点表示；
分别计算各次长度的绝对值可得送货全程，根据总路程单位耗油量可得此次送货共耗油量；
计算百货大楼到小明、小红、小刚家的距离和，再乘以可得结论．
本题考查了数轴，是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力．

18.【答案】    或  或 

【解析】解：当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，
的最小值是．
故答案为：．
的几何意义是数轴上对应的点与对应的点之间的距离与对应的点与对应的点之间的距离之和，
当对应的点在和对应的点之间时，有最小值，最小值为．
故答案为：．
，
根据可知，对应的点不在和对应的点之间．
当对应的点在对应的点左侧时，即当时，，解得；
当对应的点在对应的点右侧时，即当时，，解得．
综上，或，
故答案为：或．
的最小值是，
，解得或．
故答案为：或．
根据题意直接解答即可；
根据的几何意义求其最小值即可；
分别求解当和时对应的的值即可；
根据其几何意义，的最小值为和对应的点之间的距离，利用数轴上两点之间的距离公式求解即可．
本题考查数轴和绝对值，熟练运用绝对值求数轴上两点之间的距离是本题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：点表示数为，点表示的数为，
，
，
，
点表示的数为，

，
，
数所对应的点在点左侧，
数所对应的点在点之间，
故选：．

20.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
由，结合最佳分解的定义即可知．
本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况奇数、偶数循环计算，由于为奇数应先进行运算，
即偶数，
需再进行运算，
即奇数，
再进行运算，得到偶数，
再进行运算，即奇数，
再进行运算，得到偶数，
再进行运算，即，
再进行运算，得到偶数，，
即第次运算结果为，，
第次运算结果为，第次运算结果为，，
可以发现第次运算结果为，第次运算结果为，
从第次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为，偶数次为，而第次是奇数，
这样循环计算一直到第次“运算”，得到的结果为．
故答案为：．
解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

22.【答案】 

【解析】解：，四个互不相等的整数、、、，使，
不妨设，，，，
解得，，，，
，
故答案为：．
根据，四个互不相等的整数、、、，使，可以求得、、、的值，然后求出它们的和即可．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出、、、的值．

23.【答案】解： ；。
   ，

． 

【解析】解：；；
故答案为：，；
，
；
故答案为：，；
见答案。
由新定义列出算式计算即可；
根据新定义列出算式，化为乘方形式即可；
根据新定义计算即可．
本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式．