人教版六年级上册整理和复习教学设计

人教版数学六年级上册《圆与方之解决问题》教学设计

教材分析

圆与方之解决问题”一课安排在人教版《数学》六年级上册第5单元第4课时。学生已经学习了圆的认识、圆的周长、圆的面积、圆环等内容，积累了化曲为直、转化等思想方法，且在圆的面积计算方面并不存在困难。在研究圆的面积时，“外方内圆”和“外圆内方”组合图形中圆与方的面积关系问题是绕不开的话题。如何寻找圆和方之间的关联，让一个条件为两个图形的面积计算而服务，顺利实现两者之间的转化？这是本课的重点关切。

本课立足于在对话开放的趣动课堂中，着力寻找圆和方之间的关联，实现两者之间的转化，助力知识的整体建构。

教学目标

1.结合具体情境认识“外方内圆”和“外圆内方”组合图形的特征，经历解决问题的全过程，掌握正方形与圆之间部分的面积的计算方法。

2.在解决实际问题的过程中，通过独立思考、动手实践、合作探究等活动，寻找图形间的内在联系，实现图形的巧妙转化，提升空间观念。

3.体会图形与生活的密切联系，感受数学学习的价值。

教学重点

寻找图形间的联系，实现图形的巧妙转化。

教学难点

综合运用所学知识解决实际问题。

教学过程

一、以旧引新，导入激趣

播放视频《生活中的圆与方》。

师：看完后你有什么想说的？生活中你见过圆和方的图形吗？

教师根据视频中的内容和学生的回答，课件出示相关图片(图1)，并板贴课题“解决问题”。

图1

师：(课件出示图2)如果要求这两个图形中阴影部分的面积，需要什么条件？

图2

生：圆的半径、正方形的边长；圆的面积、正方形的面积……

师：同学们都认为需要两个条件。(课件出示相关条件)现在，请你任选一题做在学习单上。

学生独立解决后集体校对。

师：(课件出示图3)比较一下，这两题的解决方法有什么相同点？

图3

生：阴影部分的面积都是用大图形的面积去减小图形的面积。(板贴：S阴=S大-S小)

小结：知道了组合图形的两个条件，用一种方法就能解决问题。

【思考】从生活实物中抽象出数学中的圆环和“外圆内方”组合图形，引导学生用数学的眼光观察现实世界。在讨论“需要什么条件”中明晰组合图形中的两部分是彼此独立且无关联的，因此求阴影部分的面积只需要两个条件，即一个图形一个条件。进一步地，提炼解题策略，得到通法S阴=S大-S小，为后续解决问题做好准备。

二、关联转化，探索思趣

1.整体思考，寻找联系

师：(课件出示图4)像这样的两个图形，如果要求阴影部分的面积，需要几个条件呢？(学生大胆猜测、交流、辩论)

师：(课件出示图5)如果只给出一个条件，能解决吗？

图4

图5

(1)外方内圆

师：(指图5左边图形)像这样的图形就是“外方内圆”。

课件出示任务要求，学生自主探究。随后教师选择有代表性的作品投影展示，请学生说明思路，生生互相提问。

生：S阴=4×4-π×2²。我先算出正方形面积是4×4，再减去圆的面积π×2²。对于我的方法，你们有什么问题想问吗？

生：4是怎么来的？4×4表示什么意思？

组织学生结合图形说说“4”的意思，并课件出示解法(图6)。

图6

师：同学们，你知道为什么只需要一个条

件就能解决阴影部分的面积吗？

生：因为圆的直径就是正方形的边长。

师：是啊！把圆的半径转化成正方形的边长，从而就能用一个条件解决两个问题。(教师板贴，如图7)

图7

【思考】此环节在抽象出几何图形后再次讨论“此时又需要几个条件”，学生的意见各有不同，继而抛出“只给出圆的半径这一条件，能解决问题吗”这一问题。学生在任务链的驱动下，从整体视角解决问题，对“4”进行充分辨析，明晰此时只需要一个条件的理由，即方与圆存在内部联系，因此只需把圆的半径转化成正方形的边长，便可达到“一石二鸟”的效果。

(2)外圆内方

师：(指图5右边图形)像这样的图形叫做“外圆内方”。如果也只告诉你一条半径的长度，你能找到它们之间的联系，并求出阴影部分的面积吗？

教师师出示任务要求，学生自主探究。

任务要求：①想一想，解决问题的整体思路是什么？②通过画一画、分一分、转一转等方法，思考正方形面积的计算方法；③列式解决问题，并在小组内交流。

教师选择两种代表性方法，逐个投影展示，并请学生说明思路，生生互相提问。

方法一(图8左)：我是通过圆的面积减正方形的面积解决的。我把正方形分割成两个三角形。三角形的底是4米，高是2米，所以用“4×2÷2”算出一个三角形的面积，再乘2得到正方形的面积。

总结：将正方形分割成两个三角形，S阴=π×2²-4×2÷2×2。

图8

方法二(图8右)：我也是通过圆的面积减正方形的面积解决的，不过我把正方形分割成了四个三角形。每个三角形的底是2米，高是2米，所以面积是2×2÷2=2(平方米)，再乘4得到正方形的面积。

总结：将正方形分割成四个三角形，S阴=π×2²-2×2÷2×4。

教师投影展示采取剪拼旋转法的学生作品，并请学生说明思路。

生：我把正方形沿着直径(正方形对角线)剪开，得到两个三角形，将其中一个三角形绕着直径的其中一端旋转，与另一个三角形拼成一个大三角形，用“4×4÷2”就可以算出大三角形的面积，也就是正方形的面积。

师：(课件出示图9)我们再来看一下，。这种方法把圆的直径转化成了什么？(三角形的底和高)

图9

师：这个三角形的底和高对正方形来说，相当于它的什么？(对角线)

师：是的。原来，正方形的面积还可以用“对角线×对角线÷2”来计算。

师：(板贴三种方法)观察一下，这三种方法有什么相同之处？

生：这三种方法在求正方形的面积时，都是把正方形的面积变成三角形的面积之和，圆的直径就相当于正方形的对角线。

师：是啊！在“外圆内方”中，圆的半径就转化成了正方形的对角线(板贴，如图10)，从而实现了用一个条件解决两个图形之间的面积问题。

图10

【思考】有了“外方内圆”的经验积累，解决“外圆内方”问题便可拾级而上，任务链的驱动仍然是整体视角。此题对学生而言有思维上的跨度，因此教师提供画一画、分一分、转一转三种方法支架。部分学生能想到沿着对角线分割，少数学生采取的旋转法也为其他学生提供了新的思路，提升了空间想象力。这些方法都成功地将圆的半径转化成了正方形的对角线，顺利解决了问题。

2.合二为一，沟通联系

师：如果把两幅图合起来，圆的半径是r，那么圆、大正方形、小正方形的面积之间又有什么联系呢？(播放微课)

师：看明白了吗？怎么用一个连比的式子表示三个图形之间的面积关系呢？(课件出示图11)

图11

【思考】以微课的形式，向学生展示图形面积的字母式表征，并在比较与分析中经历由特殊到一般的过程，进行合情推理。通过对“外方内圆”和“外圆内方”的联系对比，既让学生感受数学美，又将内容系统化、结构化，完善已构建的数学模型。

3.瞻前顾后，打通联系

师：我们一起来回顾一下，一开始解决面积问题的方法和今天重点研究的方法之间有什么相同点和不同点呢？(小组讨论后汇报)

相同点：阴影部分面积=大面积-小面积。

不同点：第一种(图3)是给出两个条件，第二种(图5)只需要一个条件。

师追问：为什么第二种只需要一个条件？

生：转化。半径转化成边长，半径转化成

对角线，用半径这一个条件就沟通了圆与方之间的联系。

师：一个条件转化为两种作用，真可谓一举两得啊！(完善板书，如图12)

图12

【思考】随着知识的不断累积，应引导学生认清所学知识之间的联系，主动构建认知框架。此环节将导入和新授部分所研究的图形进行对比，引导学生由表及里地观察与思考，找到相同点，明晰不同之处，进一步感受转化。最后以板书的形式，将本课内容结构化、系统化，聚合成整体。

三、组合变化，练习固趣

1.小试牛刀

师：(课件出示图13)红绿灯，用数学的眼光观察一下，你看到了什么？

生：看到了“外方内圆”，它由三个“外方内圆”的图形组成的。

师：(课件出示图14)如果只提供圆的直径这一个条件，你能算出阴影部分的面积吗？(学生独立思考后反馈)

方法一：先求一个“外方内圆”图形的面积，再乘3。

方法二：长方形的面积-3个圆的面积。

【思考】第一关基础练习，从红绿灯中抽象出“外方内圆”的组合图形，学生既能看到三个“外方内圆”图形的叠加，又能从整体的视角发现是长方形中挖去三个圆，发散学生思维，培养学生会用数学的眼光观察现实世界的能力。

图13                              图14

2.精挑细选

师：(课件出示图15)如果d=16cm，怎么解决这些问题呢？小组讨论一下。

图15

学生小组讨论，问题主要集中在求阴影部分的面积。

生(说明选择C的理由)：因为半圆的面积是B选项，三角形的面积是A选项，C选项中被减数表示的意思和B选项一样，是在求半圆的面积，减数和A选项的意思一样，表示三角形的面积，相减就是阴影部分的面积。

师：C选项中的减数“8×8”表示什么意思？

生(上前板演)：将三角形沿着高剪下，旋转后拼成一个正方形，正方形的边长是8cm，面积就是8×8。

师：那么D选项又是在求哪部分的面积呢？你们是怎么理解的？

生：括号中求的是圆减去方的面积，除以4就是一个阴影的面积。

师：(课件闪烁图15中的虚线部分)这样一个阴影部分的图形，我们把它叫做“弓形”。

生：要想求图中阴影部分的面积，D算式应该除以2，不是除以4。

【思考】第二关提升练习，构造“外圆内方”一半的组合图形。选择题的形式让学生有话可说，且四个选项的难度呈递进式设置，A、B选项容易与图形相对应，C、D选项则稍显复杂。基于生生讨论以及教师引导，学生能用联系的、变化的眼光找到式与形之间的联系，渗透几何直观的培养。特别地，让学生在C、D两个选项间充分展开辨析，并初识“弓形”。

3.乾坤大挪移

师：(课件出示图16)如果把正方形移到圆的右下角，并且它的面积是20平方分米，那么整个圆的面积是多少呢？

图16

组织学生阅读任务材料，学生可独立完成，又困难的可借助小贴士。反馈交流后，反思这道题和今天学到的方法之间有什么联系。

生：正方形边长的平方=圆半径的平方，也是一个条件两种作用。

【思考】最后一关设计个性化练习，让不同水平的学生都能有所收获。对于无处下手的学生，可借助小贴士这一学习支架，并让它们在阅读材料的过程中让思维充分外显，逐步找到组合图形中圆与方之间的联系。从半径的转化到半径平方的转化，整体代入，进一步发展学生的代数思维。

四、建构体系，总结润趣

课后反思

在“圆与方之解决问题”一课融入关联、转化思想，既有新意，又有实效。上述案例，主要从以下几方面展开教学。

1.整体推进——注重结构化教学

《义务教育数学课标标准(2022年版)》强调课程内容的组织“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”。由此可见，素养导向下的教学实践要突出结构化、整体化，体现一致性。本课导入、新授、练习的三组学习素材均取自课始出示的图片，既链接生活，又环环相扣，充分顺应学生的认知规律。整个学习过程由简到繁、由易到难、由少到多、由面到体，不仅让学生经历了“由薄到厚”积累经验的过程，还经历了“由厚到薄”梳理内容的过程。

2.寻求联系——注重核心本质

“外圆内方”和“外方内圆”组合图形的魅力就在于圆与方之间是有内在联系的，本课从无联系的已学组合图形入手探究新知，将学生的思维从多点结构转向关联结构。探究后组织学生回顾与反思，并与旧知进行辨析，使本课的核心再次凸显。用联系的眼光看待问题，有助于提升学生思考的深度。

3.渗透思想——注重思维提升

本节课除了解题策略的学习，更重要的是数学思想方法的渗透。转化是本节课的重要思想方法之一，从不同的角度、方式、观点和特征出发，灵活地把条件用不同的形式进行等价转化，让一个条件发挥两种作用，解决有联系的两个图形之间的面积问题。并且，在旋转、剪拼等图形的运动中发展学生空间观念。

4.对话开放——注重以生为本

数学学习活动必须坚守学生本位、学生立场。在有效的集体互动中，学生分享与交流的内容更趋于全面和深刻，他们在倾听中获得了更多的思考，拓宽了对本题相关知识和方法的认知领域。

新的尝试，有亮点，也有很多不足。例如，练习环节第2题、第3题的思维梯度较高，具有一定的挑战性，需要给学生充分的时间进行思考、分析和解答。