2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十四直线与双曲线

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十四直线与双曲线，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1B．2
C．1或2D．0
2．若直线y＝x与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(2)] B．(eq \r(2)，＋∞)
C．(1，eq \r(2)) D．[eq \r(2)，＋∞)
3．若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(0，4) D．(0，4]
4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线2x＋y＝0交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝25B．y2－x2＝16
C．y2－x2＝9D．y2－x2＝6
5．双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2，1)，则双曲线E的离心率为( )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．eq \r(5)
6．[2023·安徽合肥模拟]已知双曲线T：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AF,\s\up6(→))1＝0，eq \(BF,\s\up6(→))1·eq \(BF,\s\up6(→))2＝0，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(2)B．eq \f(\r(29),5)
C．eq \r(3)＋1D．eq \f(\r(29),3)
7．(能力题)[2023·山东烟台模拟]过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中点，若kAB·kOD＝eq \f(1,2)，则C的离心率为( )
A．eq \r(6)B．2
C．eq \r(3)D．eq \f(\r(6),2)
8．(能力题)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝eq \r(2)x，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为eq \f(π,3)的直线l交双曲线的右支于A，B两点，若△AF1B的周长为36，则双曲线C的标准方程为( )
A．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
C．x2－eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,2)－y2＝1
二、多项选择题
9．已知双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则( )
A．若A在双曲线右支上，则|AF|的最短长度为1
B．若A，B同在双曲线右支上，则l的斜率大于eq \r(3)
C．|AB|的最短长度为6
D．满足|AB|＝8的直线l有4条
10．(能力题)[2023·辽宁沈阳二中模拟]已知点M(－eq \r(2)，0)，N(eq \r(2)，0)，若某直线上存在点P，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是( )
A．x＋y＝0B．x－y－3＝0
C．2x＋y＋3＝0D．2x＋y－3＝0
三、填空题
11．[2023·黑龙江大庆实验中学模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点．若|AF2|＝|BF2|，且|AB|＝8，则该双曲线的离心率为________．
12．(能力题)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为________．
四、解答题
13．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C的方程；
(2)经过点M(1，4)的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程．
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(6),2)，焦点到其渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)(能力题)已知直线l：y＝－eq \f(1,2)x＋t(t>0)与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,8)，求△OAB的面积．
优生选做题
15．[2023·河北唐山模拟](多选)双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，下列结论正确的是( )
A．若m⊥n，则|PF1|·|PF2|＝16
B．当n过Q(7，5)时，光由F2→P→Q所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则|k|∈[0，eq \f(4,3))
D．若T(1，0)，直线PT与C相切，则|PF2|＝12
16．[2023·辽宁丹东模拟]设双曲线E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在E的左支上，直线AB，BO分别与E的右支交于C，D两点，若|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BO,\s\up6(→))|，且eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，则E的渐近线方程为________________．
课时作业（五十四） 直线与双曲线
1．解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线平行，在y轴上的截距为3，所以直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的交点个数是1.
故选A.
答案：A
2．解析：双曲线的一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，
故有eq \f(b,a)≤1，即eq \f(b2,a2)≤1，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1≤1，
所以e2≤2，所以e≤eq \r(2).
所以e的范围为（1，eq \r(2)].
故选A.
答案：A
3．解析：由双曲线方程为x2－ay2＝4（a>0），可得渐近线方程x＝±eq \r(a)y，
直线方程为l：x－2y＝0且与双曲线的右支仅有一个公共点，
可得eq \r(a)＜2，解得0＜a＜4.
故选C.
答案：C
4．解析：由题意可设双曲线方程为y2－x2＝m，m>0，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2－x2＝m,2x＋y＝0))得3x2＝m，则x＝±eq \r(\f(m,3))，m>0，
不妨假设xA＝eq \r(\f(m,3))，则yA＝－2eq \r(\f(m,3)).
由图象的对称性可知，
|AB|＝2eq \r(15)可化为|OA|＝eq \r(15)，
即eq \r(\f(m,3)＋4×\f(m,3))＝eq \r(15)，解得m＝9，
故双曲线方程为y2－x2＝9.
故选C.
答案：C
5．解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程作差有
eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＝eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)，
有eq \f(b2,a2)＝eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）)＝2，
所以eq \f(c2,a2)＝3，e＝eq \r(3).
故选B.
答案：B
6．解析：设|F1A|＝t，|AB|＝3t，则有|BF2|＝4t－2a，|AF2|＝t＋2a，
在Rt△ABF2中，|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，即（t＋2a）2＝9t2＋（4t－2a）2，解得t＝eq \f(5,6)a.
又在Rt△BF1F2中，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，
即（eq \f(10,3)a）2＋（eq \f(4,3)a）2＝4c2，∴eq \f(29,9)a2＝c2，∴e＝eq \f(\r(29),3).
故选D.
答案：D
7．解析：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y＝k（x－c），k≠0，令A（x1，y1），B（x2，y2）.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1,y＝k（x－c）))，整理得（b2－a2k2）x2＋2a2k2cx－（a2k2c2＋a2b2）＝0，
则x1＋x2＝eq \f(2a2k2c,a2k2－b2)，x1x2＝eq \f(a2k2c2＋a2b2,a2k2－b2)，D（eq \f(a2k2c,a2k2－b2)，eq \f(kb2c,a2k2－b2)），
则kOD＝eq \f(kb2c,a2k2c)＝eq \f(b2,a2k)，由kAB·kOD＝eq \f(1,2)，可得eq \f(b2,a2k)·k＝eq \f(1,2)，
则有a2＝2b2，即3a2＝2c2，则双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2).
故选D.
答案：D
8．解析：因为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝eq \r(2)x，
所以b＝eq \r(2)a，则双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1（a>0），F1（－eq \r(3)a，0），F2（eq \r(3)a，0），
所以直线l为y＝taneq \f(π,3)（x－eq \r(3)a）＝eq \r(3)（x－eq \r(3)a），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,2a2)＝1,y＝\r(3)（x－\r(3)a）))，得x2－6eq \r(3)ax＋11a2＝0，
则x1＋x2＝6eq \r(3)a，x1x2＝11a2，
所以|AB|＝eq \r(1＋3)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝
2eq \r(108a2－44a2)＝16a.
因为|AF1|＝|AF2|＋2a，|BF1|＝|BF2|＋2a，
所以|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋4a＝|AB|＋4a＝20a.
因为△AF1B的周长为36，
所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝36，
所以20a＋16a＝36，得a＝1，
所以双曲线方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.
故选C.
答案：C
9．解析：由双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1可得a＝1，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝2，
对于A：若A在双曲线右支上，则|AF|的最短长度为c－a＝2－1＝1，故选项A正确；
对于B：双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x，若A，B同在双曲线右支上，则l的斜率大于eq \r(3)或小于－eq \r(3)，故选项B不正确；
对于C：当A，B同在双曲线右支上时，AB⊥x轴时，|AB|最短，将x＝2代入x2－eq \f(y2,3)＝1可得y＝±3，此时|AB|＝6，当A，B在双曲线两支上时，|AB|最短为实轴长2a＝2，所以|AB|的最短长度为2，故选项C不正确；
对于D：当A，B同在双曲线右支上时，|AB|min＝6<8，当A，B在双曲线两支上时，|AB|min＝2<8，根据双曲线对称性可知：满足|AB|＝8的直线l有4条，故选项D正确．
故选AD.
答案：AD
10．解析：因为M（－eq \r(2)，0），N（eq \r(2)，0），|PM|－|PN|＝2<|MN|，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支，
且2a＝2，c＝eq \r(2)，即a＝1，c＝eq \r(2)，
所以b2＝c2－a2＝1，
所以其标准方程为x2－y2＝1（x≥1），双曲线的渐近线为y＝±x.
对于A，x＋y＝0即为双曲线的一条渐近线，故与双曲线没有交点，故不是“好直线”；
对于B，联立直线x－y－3＝0与双曲线x2－y2＝1得x2－（x－3）2＝1，
解得x＝eq \f(5,3)，则y＝－eq \f(4,3)，即P（eq \f(5,3)，－eq \f(4,3)），所以直线x－y－3＝0是“好直线”；
对于C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0,x2－y2＝1))消去y整理得3x2＋12x＋10＝0，Δ＝122－4×3×10>0，但是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－4,x1x2＝\f(10,3)))，
故直线与双曲线x2－y2＝1的左支有两个交点，与右支没有交点，故2x＋y＋3＝0不是“好直线”；
对于D，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－3＝0,x2－y2＝1))消去y整理得3x2－12x＋10＝0，Δ＝（－12）2－4×3×10>0，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝4,x1x2＝\f(10,3)))，
故直线与双曲线x2－y2＝1的右支有两个交点，故2x＋y－3＝0是“好直线”．
故选BD.
答案：BD
11．解析：因为A，B在双曲线的左右支上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF2|－|AF1|＝2a①,|BF1|－|BF2|＝2a②,|AF2|＝|BF2|))，
①＋②得，|BF1|－|AF1|＝4a，即|AB|＝4a，又|AB|＝8，所以4a＝8，得a＝2，又b＝1，
所以离心率e＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \f(\r(5),2).
答案：eq \f(\r(5),2)
12．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m,5x2－4y2＝20))，可得x2－8mx－（4m2＋20）＝0，
则Δ＝64m2＋4（4m2＋20）＝80（m2＋1）>0，
设P，Q的横坐标分别为x1，x2，
可得x1＋x2＝8m，x1x2＝－（4m2＋20），
则|PQ|＝eq \r(1＋1)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝
eq \r(2)·eq \r(64m2＋4（4m2＋20）)
＝eq \r(2)·eq \r(80（m2＋1）)≥4eq \r(10)，
当且仅当m＝0时，|PQ|取得最小值4eq \r(10)，
当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q为平行四边形，
由F2（3，0）到直线y＝x的距离为d＝eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
所以四边形F1PF2Q的面积为d|PQ|＝eq \f(3\r(2),2)×4eq \r(10)＝12eq \r(5)．
答案：12eq \r(5)
13．解析：（1）双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）的渐近线为y＝±eq \f(a,b)x，即ax±by＝0，
所以eq \f(a,b)＝2.
又焦点（0，c）到直线y＝2x的距离d＝eq \f(|－c|,\r(22＋（－1）2))＝1，所以c＝eq \r(5).
又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以双曲线方程为eq \f(y2,4)－x2＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，
所以eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝1，eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝1，
两式相减得eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝0，即eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝（x1＋x2）（x1－x2），
即eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,（x1＋x2）（x1－x2）)＝4，所以4k＝4，解得k＝1，
所以直线l的方程为y－4＝x－1，即y＝x＋3，
经检验直线l：y＝x＋3与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以直线l的方程为y＝x＋3.
14．解析：（1）双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的焦点坐标为（±c，0），其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
所以焦点到其渐近线的距离为eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝1.
因为双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),2)，解得a2＝2，
所以双曲线C的标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋t,\f(x2,2)－y2＝1))，得x2＋4tx－4（t2＋1）＝0，Δ＝16t2＋16（t2＋1）>0，
所以x1＋x2＝－4t，x1x2＝－4（t2＋1）.
由kOA·kOB＝eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(（－\f(1,2)x1＋t）（－\f(1,2)x2＋t）,x1x2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(－\f(t,2)（x1＋x2）＋t2,x1x2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(－\f(t,2)（－4t）＋t2,－4（t2＋1）)＝－eq \f(1,8)，
解得t＝1（负值舍去），
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝－8.
直线l：y＝－eq \f(1,2)x＋1，所以原点O到直线l的距离为eq \f(1,\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(2\r(5),5)，
|AB|＝eq \f(\r(5),2)|x1－x2|＝eq \f(\r(5),2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(\r(5),2)×eq \r(16＋32)＝2eq \r(15)，
所以△OAB的面积为eq \f(1,2)×eq \f(2\r(5),5)×2eq \r(15)＝2eq \r(3).
15．解析：对于A：若m⊥n，则∠F1PF2＝90°.
因为P在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝6.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2
二者联立解得|PF1|·|PF2|＝eq \f(|F1F2|2－（|F1P|－|F2P|）2,2)＝eq \f(100－36,2)＝32.故A错误；
对于B：光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|－2a＋|PQ|＝|F1P|＋|PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝eq \r(（7＋5）2＋（5－0）2)－6＝7.故B错误；
对于C：双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.设左、右顶点分别为A、B.如图所示：
当m与eq \(F2B,\s\up6(→))同向共线时，n的方向为eq \(BF,\s\up6(→))2，此时k＝0，最小．
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为|k|对于D：设直线PT的方程为y＝k（x－1），（k>0）.
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1）,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1))，消去y可得（16－9k2）x2＋18k2x－9k2－144＝0.
其中Δ＝（18k2）2－4（16－9k2）（－9k2－144）＝0，即1152k2＝2304，解得k＝eq \r(2)，
代入（16－9k2）x2＋18k2x－9k2－144＝0，有－2x2＋36x－162＝0，解得x＝9.
由P在双曲线右支上，即eq \f(92,9)－eq \f(y2,16)＝1，解得y＝8eq \r(2)（y＝－8eq \r(2)舍去），所以P（9，8eq \r(2)）.
所以|F2P|＝eq \r(（9－5）2＋（8\r(2)－0）2)＝12.故D正确．
故选CD.
答案：CD
16．解析：设BC，DC，BD的斜率分别为k1，k2，k3，
当|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BO,\s\up6(→))|时，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，可得k1＝－k3，k2＝－eq \f(1,k3)，
从而直线BC，DC的斜率之积k1k2＝1.
设E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0），C（x1，y1），D（x2，y2），则B（－x2，－y2），
所以k1＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)，k2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1，eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)－eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)＝1.
所以eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k1k2＝1.
所以E的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x