2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十七直线的方程

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十七直线的方程，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若直线l经过A(1，0)，B(4，eq \r(3))两点，则直线l的倾斜角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(2π,3)
2．如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为( )
A．k1C．k23．[2023·辽宁葫芦岛期末]已知直线l1的斜率为1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，则直线l2的斜率为( )
A．－1B．－eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(3),3)D．1
4．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．y＝2x或x＋y－3＝0
D．y＝2x或x－y＋1＝0
6．若直线l：y＝－kx－k－1的图象不经过第二象限，则l的倾斜角α的取值范围为( )
A．0°≤α≤60°B．0°≤α≤45°
C．0°≤α<45°D．0°≤α<60°
7．[2023·广东湛江四中模拟]设A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，2)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≤－1或k≥5B．－5≤k≤1
C．－1≤k≤5D．k≤－5或k≥1
8．(能力题)已知直线l过点P(2，4)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为( )
A．2x－y＝0
B．2x＋y－8＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－10＝0
D．2x－y＝0或2x＋y－8＝0
9．(能力题)[2023·浙江余姚实验高中模拟]直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0，a、b∈R)的图象可能是( )
10．(能力题)[2023·山东枣庄三中模拟]直线xcsα＋y＋4＝0的倾斜角的取值范围为( )
A．[0，π) B．[0，eq \f(π,4)]∪(eq \f(π,2)，π)
C．[0，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，π) D．[0，eq \f(π,4)]
二、多项选择题
11．[2023·河北故城高级中学模拟]已知直线l过点(－1，2)，倾斜角为θ，若sinθ＝eq \f(3,5)，则直线l的方程可能是( )
A．3x－4y＋11＝0B．4x－3y＋10＝0
C．3x＋4y－5＝0D．4x＋3y－2＝0
12．(能力题)[2023·江苏盐城伍佑中学模拟]已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则( )
A．直线l的方程为x－3y＋3＝0
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为2
D．这样的直线l有两条
三、填空题
13．若直线l的一个方向向量为(－2eq \r(3)，2)，则它的倾斜角为________________．
14．(能力题)[2023·湖南师大附中模拟]已知直线l过点(4，1)，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为________．
四、解答题
15．分别根据下列所给条件求直线方程：
(1)直线l过点(－4，0)，且直线l的倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)(能力题)直线l过点A(－2，4)，分别交x轴、y轴于B，C两点，且满足eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
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16．(多选)设点P是曲线y＝ex－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含( )
A．(eq \f(2π,3)，π) B．[eq \f(π,2)，eq \f(5π,6))
C．[0，eq \f(π,2)) D．(eq \f(5π,6)，π)
17．已知直线l：(2m＋2)x＋(1－4m)y－2m－7＝0.
(1)证明无论m为何值，直线l与直线x－2y－1＝0总相交；
(2)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．
课时作业（四十七） 直线的方程
1．解析：斜率k＝eq \f(\r(3),4－1)＝eq \f(\r(3),3)＝tanθ，∴倾斜角θ＝eq \f(π,6).
故选A.
答案：A
2．解析：由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0，k2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即k1<0，
又因为倾斜角为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，倾斜角越大，斜率越大，即k3所以k1故选B.
答案：B
3．解析：设直线l1的倾斜角为α，所以tanα＝1，
因为0°≤α<180°，所以α＝45°，
因为直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小15°，
所以直线l2的倾斜角为30°，
则直线l2的斜率为tan30°＝eq \f(\r(3),3).
故选C.
答案：C
4．解析：由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号；
令x＝0，得y＝－eq \f(C,B)>0；令y＝0，得x＝－eq \f(C,A)>0；
所以直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．
故选C.
答案：C
5．解析：当直线过原点时，其斜率为eq \f(2－0,1－0)＝2，故直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，代入点（1，2）可得eq \f(1,a)＋eq \f(2,－a)＝1，解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0.
综上，可知所求直线方程为y＝2x或x－y＋1＝0.
故选D.
答案：D
6．解析：直线l：y＝－kx－k－1＝－（x＋1）k－1，
当x＝－1时，y＝－1，即直线l经过定点（－1，－1），
如图所示：
当直线l过原点时，斜率－k＝eq \f(－1,－1)＝1，此时倾斜角α＝45°.
当直线l过一、三、四象限时，斜率0≤－k<1，此时0°≤α<45°，
综上：0°≤α≤45°.
故选B.
答案：B
7．解析：
由题设可得kPA＝eq \f(2－（－3）,1－2)＝－5，kPB＝eq \f(－2－2,－3－1)＝1，
因为直线l与线段AB相交，则k≥1或k≤－5.
故选D.
答案：D
8．解析：若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0；
若直线l不经过原点，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1（a≠0），
把点P（2，4）代入可得eq \f(2,a)＋eq \f(4,2a)＝1，解得a＝4，
∴直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,8)＝1，即2x＋y－8＝0.
综上可得直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－8＝0.
故选D.
答案：D
9．解析：将l1：ax－y＋b＝0化为y＝ax＋b，
将l2：bx＋y－a＝0化为y＝－bx＋a.
对于A，若l1图象正确，则a>0，b>0，∴l2图象经过第一、二、四象限，A不正确；
对于B，若l1图象正确，则a>0，b<0，∴l2图象经过第一、二、三象限，B不正确；
对于C，若l1图象正确，则a>0，b>0，∴l2图象经过第一、二、四象限，C不正确；
对于D，若l1图象正确，则a<0，b>0，∴l2图象经过第二、三、四象限，D正确．
故选D.
答案：D
10．解析：由xcsα＋y＋4＝0⇒y＝－xcsα－4，所以该直线的斜率为k＝－csα，
因为－1≤csα≤1，所以－1≤k≤1，设该直线的倾斜角为β，
于是有－1≤tanβ≤1⇒0≤β≤eq \f(π,4)，或eq \f(3π,4)≤β<π.
故选C.
答案：C
11．解析：因为sinθ＝eq \f(3,5)，θ∈[0，π），所以csθ＝±eq \f(4,5)，所以直线l的斜率k＝eq \f(sinθ,csθ)＝±eq \f(3,4).
当k＝eq \f(3,4)时，直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)（x＋1），即3x－4y＋11＝0；
当k＝－eq \f(3,4)时，直线l的方程为y－2＝－eq \f(3,4)（x＋1），即3x＋4y－5＝0.
故选AC.
答案：AC
12．解析：因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；
由直线l1的斜率为－eq \f(1,3)，知直线l的斜率为eq \f(1,3)，
因为直线l过点P（3，2），所以直线l的方程为y－2＝eq \f(1,3)（x－3），即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；
将x＝0代入l：x－3y＋3＝0得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C错误；
过点P（3，2）且斜率为eq \f(1,3)的直线只有一条，故D错误．
故选AB.
答案：AB
13．解析：因为直线l的一个方向向量为（－2eq \r(3)，2），
所以直线l的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，
设直线l的倾斜角θ，则θ∈[0，π），
所以tanθ＝－eq \f(\r(3),3)，即θ＝eq \f(5,6)π.
答案：eq \f(5,6)π
14．解析：设该直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，由题意有eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1，eq \f(1,2)ab＝9，a>0，b>0，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝6,b＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝12,b＝\f(3,2)))，故直线过点（6，0），（0，3）或（12，0），（0，eq \f(3,2)），则直线l的斜率为eq \f(0－3,6－0)＝－eq \f(1,2)或eq \f(0－\f(3,2),12－0)＝－eq \f(1,8).
答案：－eq \f(1,2)或－eq \f(1,8)
15．解析：（1）设直线l的倾斜角为α，α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则：
sinα＝eq \f(\r(10),10)，csα＝±eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10)))2)＝±eq \f(3\r(10),10)，则直线l的斜率k＝tanα＝eq \f(sinα,csα)＝±eq \f(1,3).
故直线l的方程为y＝±eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋4))，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
（2）设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则B（a，0），C（0，b），
又A（－2，4），则eq \(BA,\s\up6(→))＝（－2－a，4），eq \(AC,\s\up6(→))＝（2，b－4）.
由eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2－a＝1,4＝\f(b－4,2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3,b＝12))，
则直线l的方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,12)＝1，即4x－y＋12＝0.
16．解析：y＝ex－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)，y′＝ex－eq \r(3)，
依题意：tanα＝y′＝ex－eq \r(3)＞－eq \r(3)，taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，
∵倾斜角α的取值范围是[0，π），∴α∈（eq \f(2π,3)，π）∪[0，eq \f(π,2)）.
故选AC.
答案：AC
17．解析：（1）对于l，化简得2m（x－2y－1）＋2x＋y－7＝0，取eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y－1＝0,2x＋y－7＝0))，得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝1))，
对于点（3，1），直线l与直线x－2y－1＝0都是必过点，所以，无论m为何值，直线l与直线x－2y－1＝0总相交．
（2）设l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1（a>0，b>0），由（1）得eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)＝1，
∴S＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)ab·（eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)）＝eq \f(3b,2)＋eq \f(a,2)≥2eq \r(\f(3ab,4))，整理得ab≥2eq \r(3ab)，因为a>0，b>0，则（ab）2≥12ab，得ab≥12，（当且仅当eq \f(3b,2)＝eq \f(a,2)时，即a＝6，b＝2时，等号成立）
∴S≥6，△OAB面积的最小值为6.