2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十四简单的三角恒等变换

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十四简单的三角恒等变换，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若csα＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cseq \f(α,2)的值为( )
A．eq \f(\r(6),6)B．－eq \f(\r(6),6)
C．eq \f(\r(30),6)D．－eq \f(\r(30),6)
2．[2023·安徽宣城模拟]cs21785°－sin21815°＝( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
3．[2023·河南商丘模拟]已知tanα＝－3，则eq \f(sin2α,1－cs2α)＝( )
A．3B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3)D．－3
4．[2023·河北石家庄模拟]已知sinα＋csα＝eq \f(7,5)，则sin2α＝ ( )
A．－eq \f(12,25)B．eq \f(12,25)
C．－eq \f(24,25)D．eq \f(24,25)
5.eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)＝( )
A．－2cs5°B．2cs5°
C．－2sin5°D．2sin5°
6．已知α，β均为锐角，满足csα＝eq \f(2\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，则α＋β＝( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,4)
7．化简：eq \f(cs40°,cs25°\r(1－cs50°))＝( )
A．eq \r(2)B．2eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \r(3)－1
8．[2023·江西九江模拟]已知sinα－csα＝eq \f(1,3)，则cs (α＋eq \f(π,4))＝( )
A．－eq \f(1,3)B．－eq \f(\r(2),6)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(\r(2),6)
9．(能力题)[2023·河南新乡模拟]已知tan (α＋eq \f(π,6))＝eq \f(3,2)，则cs (2α－eq \f(π,6))＝( )
A．eq \f(12,13)B．eq \f(5,13)
C．－eq \f(5,13)D．－eq \f(12,13)
10．(能力题)若eq \f(π,2)<θ<π，tanθ＝－3，则eq \f(（1＋sin2θ＋cs2θ）（sinθ－csθ）,\r(2＋2cs2θ))＝( )
A．－eq \f(3,5)B．－eq \f(5,4)
C．－eq \f(4,5)D．eq \f(4,5)
二、多项选择题
11．[2023·河北邯郸模拟]下列各式的值为eq \f(1,2)的是( )
A．sineq \f(17π,6)
B．sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)
C．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)
D．eq \f(tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8))
12．(能力题)[2023·山东济南章丘模拟]下列各式中，与tanα相等的是( )
A.eq \r(\f(1－cs2α,1＋cs2α))
B．eq \f(1－cs2α,sin2α)
C.eq \r(\f(1＋cs（π＋2α）,2))·eq \f(1,csα)，α∈(0，eq \f(π,2))∪(eq \f(π,2)，π)
D．eq \f(sin2α,1＋cs2α)
三、填空题
13．[2023·广东佛山模拟]已知sin (α－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),3)，则sin2α＝________．
14．(能力题)[2023·河北邢台模拟]已知α，β均为锐角，sin (eq \f(5π,6)＋α)＝－eq \f(3,5)，sin (β－eq \f(π,3))＝eq \f(5,13)，则sin (α＋β)＝________，cs (2α－β)＝________．
四、解答题
15．已知0<α(1)求sin2β的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
优生选做题
16．(多选)[2023·黑龙江哈师大附中模拟]已知eq \f(π,4)≤α≤π，π≤β≤eq \f(3π,2)，sin2α＝eq \f(4,5)，cs (α＋β)＝－eq \f(\r(2),10)，则( )
A．csα＝－eq \f(\r(10),10)
B．sinα－csα＝eq \f(\r(5),5)
C．β－α＝eq \f(3π,4)
D．csαcsβ＝－eq \f(\r(2),5)
17．[2023·山东青岛模拟]俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国．各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用．已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为eq \f(2π,3)的扇形区域AOB，C为弧AB的中点，设∠QOC＝θ.
(1)用θ来表示矩形PQRS的面积f(θ)，并指出θ的取值范围；
(2)θ为多少时，f(θ)取得最大值，并求出此最大值．
课时作业（二十四） 简单的三角恒等变换
1．解析：由题α∈（0，π），则eq \f(α,2)∈（0，eq \f(π,2)），∴cseq \f(α,2)>0，cseq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋csα,2))＝eq \f(\r(30),6).
故选C.
答案：C
2．解析：cs21785°－sin21815°＝cs2（－15°）－sin215°＝cs215°－sin215°＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).
故选D.
答案：D
3．解析：eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(2csαsinα,2sin2α)＝eq \f(csα,sinα)＝eq \f(1,tanα)＝－eq \f(1,3).
故选C.
答案：C
4．解析：sinα＋csα＝eq \f(7,5)两边平方得，
sin2α＋2sinαcsα＋cs2α＝1＋sin2α＝eq \f(49,25)，
所以sin2α＝eq \f(24,25).
故选D.
答案：D
5．解析：1＋cs100°＝1＋2cs250°－1＝2cs250°，1－cs100°＝1－（1－2sin250°）＝2sin250°，
所以eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)
＝eq \r(2cs250°)－eq \r(2sin250°)＝eq \r(2)（cs50°－sin50°）
＝2（eq \f(\r(2),2)cs50°－eq \f(\r(2),2)sin50°）＝2sin（45°－50°）＝－2sin5°.
故选C.
答案：C
6．解析：由csα＝eq \f(2\r(5),5)，且α为锐角，可得sinα＝eq \f(\r(5),5).
由sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且β为锐角，可得csβ＝eq \f(3\r(10),10)，
则cs（α＋β）＝csαcsβ－sinαsinβ＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又由α，β均为锐角，可得α＋β∈（0，π），则α＋β＝eq \f(π,4).
故选D.
答案：D
7．解析：eq \f(cs40°,cs25°\r(1－cs50°))＝eq \f(cs（90°－50°）,cs25°\r(1－（1－2sin225°）))＝eq \f(sin50°,\r(2)cs25°sin25°)＝eq \f(2sin50°,\r(2)sin50°)＝eq \r(2).
故选A.
答案：A
8．解析：sinα－csα＝eq \r(2)sin（α－eq \f(π,4)）＝eq \f(1,3)，即sin（α－eq \f(π,4)）＝eq \f(\r(2),6)，
cs（α＋eq \f(π,4)）＝cs [（α－eq \f(π,4)）＋eq \f(π,2)]＝－sin（α－eq \f(π,4)）＝－eq \f(\r(2),6).
故选B.
答案：B
9．解析：由已知得2（α＋eq \f(π,6)）－（2α－eq \f(π,6)）＝eq \f(π,2)，
则cs（2α－eq \f(π,6)）＝cs [－（2α－eq \f(π,6)）]＝cs [eq \f(π,2)－2（α＋eq \f(π,6)）]＝sin [2（α＋eq \f(π,6)）]＝eq \f(2sin（α＋\f(π,6)）cs（α＋\f(π,6)）,sin2（α＋\f(π,6)）＋cs2（α＋\f(π,6)）)＝eq \f(2tan（α＋\f(π,6)）,1＋tan2（α＋\f(π,6)）)＝eq \f(12,13).
故选A.
答案：A
10．解析：因为eq \f(π,2)<θ<π，tanθ＝－3，所以csθ<0，sinθ>0，
所以eq \f(（1＋sin2θ＋cs2θ）（sinθ－csθ）,\r(2＋2cs2θ))
＝eq \f(（2cs2θ＋2csθsinθ）（sinθ－csθ）,\r(2（1＋cs2θ）))
＝eq \f(2csθ（csθ＋sinθ）（sinθ－csθ）,\r(4cs2θ))
＝eq \f(2csθ（sin2θ－cs2θ）,2|csθ|)＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(1－9,1＋9)＝－eq \f(4,5).
故选C.
答案：C
11．解析：A：sineq \f(17π,6)＝sin（2π＋π－eq \f(π,6)）＝sin（π－eq \f(π,6)）＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，符合题意；
B：sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sin（2×eq \f(π,12)）＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,4)，不符合题意；
C：cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cs（2×eq \f(π,12)）＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，不符合题意；
D：eq \f(tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8))＝eq \f(1,2)·tan（2×eq \f(π,8)）＝eq \f(1,2)·taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)，符合题意．故选AD.
答案：AD
12．解析：对于A选项，tanα∈R, eq \r(\f(1－cs2α,1＋cs2α))≥0，所以A选项不符合．
对于B选项，eq \f(1－cs2α,sin2α)＝eq \f(2sin2α,2sinαcsα)＝eq \f(sinα,csα)＝tanα，所以B选项符合．对于C选项，eq \r(\f(1＋cs（π＋2α）,2))·eq \f(1,csα)＝eq \r(\f(1－cs2α,2))·eq \f(1,csα)＝eq \r(sin2α)·eq \f(1,csα)＝eq \f(|sinα|,csα)，
由于α∈（0，eq \f(π,2)）∪（eq \f(π,2)，π），sinα>0，所以eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,csα)＝tanα，所以C选项符合．
对于D选项，eq \f(sin2α,1＋cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,2cs2α)＝eq \f(sinα,csα)＝tanα，所以D选项符合．
故选BCD.
答案：BCD
13．解析：sin（α－eq \f(π,4)）＝－sin（eq \f(π,4)－α）＝eq \f(\r(2),3)，
所以sin（eq \f(π,4)－α）＝－eq \f(\r(2),3)，
所以sin2α＝cs（eq \f(π,2)－2α）＝cs [2（eq \f(π,4)－α）]＝1－2sin2（eq \f(π,4)－α）＝1－2×（－eq \f(\r(2),3)）2＝eq \f(5,9).
答案：eq \f(5,9)
14．解析：因为sin（eq \f(5π,6)＋α）＝cs（α＋eq \f(π,3)）＝－eq \f(3,5)，sin（β－eq \f(π,3)）＝eq \f(5,13)，所以α＋eq \f(π,3)为第二象限角，β－eq \f(π,3)为第一象限角，所以sin（α＋eq \f(π,3)）＝eq \r(1－cs2（α＋\f(π,3)）)＝eq \f(4,5)，cs（β－eq \f(π,3)）＝eq \r(1－sin2（β－\f(π,3)）)＝eq \f(12,13)，
所以sin（α＋β）＝sin [（α＋eq \f(π,3)）＋（β－eq \f(π,3)）]＝sin（α＋eq \f(π,3)）·cs（β－eq \f(π,3)）＋cs（α＋eq \f(π,3)）sin（β－eq \f(π,3)）＝eq \f(33,65).
因为cs（2α－β）＝－cs（2α－β＋π）＝－cs [2（α＋eq \f(π,3)）－（β－eq \f(π,3)）]＝－[cs2（α＋eq \f(π,3)）cs（β－eq \f(π,3)）＋sin2（α＋eq \f(π,3)）sin（β－eq \f(π,3)）]＝－eq \f(12,13)cs2（α＋eq \f(π,3)）－eq \f(5,13)sin2（α＋eq \f(π,3)）＝－eq \f(12,13)[2cs2（α＋eq \f(π,3)）－1]－eq \f(10,13)sin（α＋eq \f(π,3)）cs（α＋eq \f(π,3)）＝eq \f(204,325).
答案：eq \f(33,65) eq \f(204,325)
15．解析：（1）方法一：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝cseq \f(π,4)csβ＋sineq \f(π,4)·sinβ＝eq \f(\r(2),2)csβ＋eq \f(\r(2),2)sinβ＝eq \f(1,3)，
所以csβ＋sinβ＝eq \f(\r(2),3)，
所以1＋sin2β＝eq \f(2,9)，所以sin2β＝－eq \f(7,9).
方法二：sin2β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))－1＝－eq \f(7,9).
（2）因为0<α所以eq \f(π,4)<β－eq \f(π,4)所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))>0，cs（α＋β）<0，
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，sin（α＋β）＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，
cs（α＋β）＝－eq \f(3,5).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs（α＋β）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin（α＋β）·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).
16．解析：①因为eq \f(π,4)≤α≤π，所以eq \f(π,2)≤2α≤2π，
又sin2α＝eq \f(4,5)>0，故有eq \f(π,2)≤2α≤π，eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)，
解出cs2α＝－eq \f(3,5)＝2cs2α－1⇒cs2α＝eq \f(1,5)⇒csα＝eq \f(\r(5),5)，故A错误；
②（sinα－csα）2＝1－sin2α＝eq \f(1,5)，
由①知：eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)，所以sinα>csα，
所以sinα－csα＝eq \f(\r(5),5)，故B正确；
③由①知：eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)，而π≤β≤eq \f(3π,2)，所以eq \f(5π,4)≤α＋β≤2π，
又cs（α＋β）＝－eq \f(\r(2),10)<0，所以eq \f(5π,4)≤α＋β≤eq \f(3π,2)，
解得sin（α＋β）＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs（β－α）＝cs [（α＋β）－2α]＝－eq \f(\r(2),10)×（－eq \f(3,5)）＋（－eq \f(7\r(2),10)）×eq \f(4,5)＝－eq \f(\r(2),2).
又因为eq \f(5π,4)≤α＋β≤eq \f(3π,2)，－π≤－2α≤－eq \f(π,2)，
所以eq \f(π,4)≤β－α≤π，有β－α＝eq \f(3π,4)，故C正确；
④由cs（α＋β）＝－eq \f(\r(2),10)⇒csαcsβ－sinαsinβ＝－eq \f(\r(2),10)，
由③知，cs（β－α）＝csαcsβ＋sinαsinβ＝－eq \f(\r(2),2)，
两式联立得csαcsβ＝－eq \f(3\r(2),10)，故D错误．
故选BC.
答案：BC
17．解析：（1）设QR，PS分别交OC于D，E，
QD＝PE＝50sinθ，QR＝100sinθ，OD＝50csθ，
OE＝eq \f(PE,tan∠POE)＝eq \f(50\r(3),3)sinθ，
S＝f（θ）＝QR·ED＝100sinθ·（50csθ－eq \f(50\r(3),3)sinθ）＝2500（sin2θ－eq \f(2\r(3),3)sin2θ）＝2500（sin2θ－eq \f(2\r(3),3)×eq \f(1－cs2θ,2)）＝2500（sin2θ＋eq \f(\r(3),3)cs2θ－eq \f(\r(3),3)）＝2500[eq \f(2\r(3),3)sin（2θ＋eq \f(π,6)）－eq \f(\r(3),3)]＝eq \f(5000\r(3),3)sin（2θ＋eq \f(π,6)）－eq \f(2500\r(3),3)，θ∈（0，eq \f(π,3)）.
（2）由（1）可得，当sin（2θ＋eq \f(π,6)）＝1，即θ＝eq \f(π,6)时，f（θ）有最大值eq \f(2500\r(3),3).