2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十一任意角和蝗制及三角函数的概念

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十一任意角和蝗制及三角函数的概念，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题正确的是( )
A．－eq \f(3π,4)是第二象限角
B．eq \f(4π,3)是第四象限角
C．－400°是第三象限角
D．－315°是第一象限角
2．[2023·河南许昌月考]已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点A(4，0)，沿以O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点B，则点B的坐标为( )
A．(4cs∠AOB，4sin∠AOB)
B．(4sin∠AOB，4cs∠AOB)
C．(4|cs∠AOB|，4|sin∠AOB|)
D．(4|sin∠AOB|，4|cs∠AOB|)
3．若角α的终边过点P(8m，－3)，且tanα＝eq \f(3,4)，则m的值为( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
4．[2023·河北石家庄二中模拟]若角α满足sinα·csα<0，csα－sinα<0，则α在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．[2023·山东滕州一中月考]已知角α的终边上一点P的坐标为(sineq \f(5π,6)，cseq \f(5π,6))，则角α的最小正值为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(2π,3) C．eq \f(7π,6) D．eq \f(5π,3)
6．sin2·cs3·tan4的值( )
A．小于0B．大于0
C．等于0D．大于等于0
7．集合{α|kπ＋eq \f(π,4)≤α≤kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
8．[2023·安徽舒城模拟]在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为eq \r(3)，则弦AB所对的圆心角α是( )
A．α＝eq \r(3)B．α＝eq \f(π,3)
C．α＝eq \f(π,6)D．α＝eq \f(2π,3)
9．(能力题)[2023·湖北武汉模拟]已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边上一点P(sin3，cs3)，若0≤α≤2π，则α＝( )
A．3B．eq \f(π,2)－3
C．eq \f(5π,2)－3D．3－eq \f(π,2)
10．(能力题)[2023·广东广州模拟]为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离．如图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持与地面垂直)，直到前轮与点B接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方(以下图为观察视角)，且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为( )
(参考数值：π≈3.14)
A．20.10mB．19.94m
C．19.63mD．19.47m
二、多项选择题
11．下列结论中不正确的是( )
A．终边经过点(a，－a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝－eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z}
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是eq \f(π,3)
C．若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第一象限角，2α为第一或第二象限角
D．M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M⊆N
12．(能力题)[2023·辽宁沈阳三十一中月考]已知θ是第二象限角，下列结论正确的是( )
A．tanθ<0
B．sineq \f(θ,2)>cseq \f(θ,2)
C．sinθ－csθ的取值范围为(1，eq \r(2)]
D．若扇形AOB的圆心角θ＝eq \f(2π,3)，半径r＝6，则扇形所含弓形的面积为12π－9eq \r(3)
三、填空题
13．终边在直线y＝x上的角α构成的集合可以表示为________．
14．[2023·广东华南师大附中模拟]已知扇形的周长是2022cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________．
四、解答题
15．[2023·河北石家庄模拟]已知角θ的终边上有一点P(m，eq \r(2))(m≠0)，且csθ＝eq \f(m,4).
(1)求实数m的值；
(2)求sinθ，tanθ的值．
优生选做题
16．[2023·山东日照模拟]《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq \f(7,2)平方米，则sin∠AOB＝________．
17．[2023·江西新余一中模拟]如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求sinα的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈(0，eq \f(π,2)]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形).
课时作业（二十一） 任意角和弧度制及三角函数的概念
1．解析：－eq \f(3π,4)是第三象限角，故A错误；eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，故B错误；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故C错误；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故D正确．
故选D.
答案：D
2．解析：由三角函数的定义得，点B的坐标为（4cs∠AOB，4sin∠AOB）.
故选A.
答案：A
3．解析：∵tanα＝eq \f(－3,8m)＝eq \f(3,4)，∴m＝－eq \f(1,2).
故选A.
答案：A
4．解析：∵sinα·csα<0，∴α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，csα<0，sinα>0，满足csα－sinα<0；
当α是第四象限角时，csα>0，sinα<0，则csα－sinα>0，不合题意；
综上所述，α是第二象限角．
故选B.
答案：B
5．解析：因为sineq \f(5π,6)>0，cseq \f(5π,6)<0，
所以角α的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知
sinα＝cseq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，
故角α的最小正值为α＝2π－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3).
故选D.
答案：D
6．解析：因为eq \f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq \f(3π,2)，
所以sin2＞0，cs3＜0，tan4＞0.
所以sin2·cs3·tan4＜0.
故选A.
答案：A
7．解析：当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围相同；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围相同．
故选C.
答案：C
8．解析：连接圆心O与弦AB的中点C，由圆的性质可得OC⊥AB，
在△ACO中，∠ACO＝90°，OA＝1，AC＝eq \f(\r(3),2)，
所以sin∠AOC＝eq \f(AC,OA)＝eq \f(\r(3),2)，又0°<∠AOC<90°，
所以∠AOC＝60°，所以∠AOB＝2∠AOC＝120°，
所以α＝eq \f(2π,3).
故选D.
答案：D
9．解析：因为角α的终边上一点P（sin3，cs3），
所以tanα＝eq \f(cs3,sin3)＝eq \f(1,tan3)<0，
又cs3<0，sin3>0，
所以α为第四象限角，
所以α＝2kπ＋eq \f(π,2)－3，k∈Z，
又因0≤α≤2π，
所以α＝eq \f(5π,2)－3.
故选C.
答案：C
10．解析：由题意，前轮转动了（10＋eq \f(1,3)）圈，
所以A，B两点之间的距离约为（10＋eq \f(1,3)）×2π×0.3＝6.2π≈6.2×3.14≈19.47m.
故选D.
答案：D
11．解析：对于选项A：终边经过点（a，－a）（a≠0）的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是{α|α＝－eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z}，A正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是－eq \f(π,3)，B错误；
对于选项C：若α＝400°⇒eq \f(α,2)＝200°，eq \f(α,2)不是第一象限角，C错误；
对于选项D：M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝（2k＋1）×45°，k∈Z}，而（2k＋1）×45°，k∈Z表示45°的奇数倍，
N＝{y|y＝90°＋k×45°，k∈Z}＝{y|y＝（k＋2）×45°，k∈Z}，而（k＋2）×45°，k∈Z表示45°的整数倍，所以M⊆N，D正确．
故选BC.
答案：BC
12．解析：因为θ是第二象限角，所以tanθ<0，A正确；
若eq \f(θ,2)∈（eq \f(5π,4)，eq \f(3π,2)）时，由三角函数线知：sineq \f(θ,2)因为θ是第二象限角，则sinθ>0、csθ<0且sinθ－csθ>1，
（sinθ－csθ）2＝sin2θ＋cs2θ－2sinθcsθ≤2（sin2θ＋cs2θ）＝2，
所以sinθ－csθ≤eq \r(2)，当且仅当θ＝eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z时取等号，C正确；
扇形所含弓形的面积为eq \f(1,2)（eq \f(2π,3)×36－6eq \r(3)×3）＝12π－9eq \r(3)，D正确．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：∵角α的终边在直线y＝x上，
∴角α的终边在一、三象限的角平分线上，
∴α＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
答案：{α|α＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z}
14．解析：设扇形的弧长为l，半径为r，则l＋2r＝2022，
∴S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)·（2022－2r）·r＝－r（r－1011），
∴当r＝eq \f(1011,2)，l＝1011时，扇形面积最大时，
此时|α|＝eq \f(l,r)＝2.
答案：2
15．解析：（1）由三角函数的定义有，csθ＝eq \f(m,\r(m2＋2))＝eq \f(m,4)，
解得m＝±eq \r(14).
故实数m的值为±eq \r(14).
（2）①当m＝eq \r(14)时，sinθ＝eq \f(\r(2),\r(14＋2))＝eq \f(\r(2),4)，tanθ＝eq \f(\r(2),\r(14))＝eq \f(\r(7),7)，
②当m＝－eq \r(14)时，sinθ＝eq \f(\r(2),\r(14＋2))＝eq \f(\r(2),4)，tanθ＝eq \f(\r(2),－\r(14))＝－eq \f(\r(7),7).
16．解析：如图所示，AB＝6，OA＝R，CO＝d，
由题意可得：S＝eq \f(1,2)[6×（R－d）＋（R－d）2]＝eq \f(7,2)，
解得R－d＝1，R－d＝－7（舍）.
因为R2－d2＝32＝9，可得R＝5，d＝4，
所以sin∠COA＝eq \f(3,5)，cs∠COA＝eq \f(4,5)，
所以sin∠AOB＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25).
答案：eq \f(24,25)
17．解析：（1）因为角α的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－eq \f(4,5)，因为B在x轴上方，所以点B的坐标为（－eq \f(4,5)，eq \f(3,5)）.
由三角函数的定义，可得sinα＝eq \f(3,5).
（2）当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则B（cseq \f(π,3)，sineq \f(π,3)），即B（eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)），
所以α＝∠AOB＝eq \f(π,3)，即与角α终边相同的角β的集合{β|β＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z}．
（3）弓形AB的面积：S＝S扇形－S△AOB.
扇形的圆心角为α，所以S扇形＝eq \f(1,2)α×12＝eq \f(α,2).
过O作OH⊥AB于H，则OH＝cseq \f(α,2)×1＝cseq \f(α,2)，
AB＝2sineq \f(α,2)OA＝2sineq \f(α,2)×1＝2sineq \f(α,2)，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)×2sineq \f(α,2)×cseq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sinα.
所以S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(α,2)－eq \f(1,2)sinα＝eq \f(α－sinα,2).