2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业八函数的奇偶性周期性与对称性

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业八函数的奇偶性周期性与对称性，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下列既是奇函数，在(0，＋∞)上又是单调递增函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝lnx
C．y＝tanxD．y＝－eq \f(1,x)
2．已知函数f(x)＝2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
3．[2023·山东济宁模拟]定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，则f(2022)＝( )
A．0B．1
C．－1D．2022
4．[2023·河南汝州模拟]已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋ax－3(a∈R)，若f(－2)＝－5，则f(1)＝( )
A．－2B．2
C．－1D．1
5．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1B．e－x＋1
C．－e－x－1D．－ex＋1
6．[2023·河南安阳模拟]设函数f(x)＝ax3－x－3＋a，若函数f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，则a＝( )
A．－1B．0
C．1D．2
7．[2023·黑龙江绥化一中模拟]已知函数y＝f(x)为R上的偶函数，若对于x≥0时，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝lg2(x＋1)，则f(－2021)＝( )
A.1B．－1
C．lg26D．lg2eq \f(3,2)
8．[2023·山东济南模拟]设f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x取值范围是( )
A．{x|x>1}
B．{x|－1C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|－11}
9．(能力题)[2023·河北衡水模拟]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝3x2－2x＋m，则f(x)在[1，2]上的最大值为( )
A．1B．8
C．－5D．－16
10．(能力题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，则( )
A．f(x＋3)是偶函数B．f(x)＝f(x＋3)
C．f(3)＝0D．f(0)＝0
二、多项选择题
11．已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则( )
A．f(x)＋g(x)是奇函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．f(x)g(x)是偶函数
D．f(g(x))是偶函数
12．(能力题)[2023·山东潍坊模拟]已知定义域为I的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且∃x0∈I，使f(x0)<0.则下列函数中符合上述条件的是( )
A．f(x)＝x2－3B．f(x)＝2x＋2－x
C．f(x)＝lg2|x|D．f(x)＝csx＋1
13．(能力题)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有( )
A．f(x)图象关于直线x＝－1对称
B．g(2023)＝0
C．g(x)的最小正周期为4
D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)
三、填空题
14．[2023·山东日照模拟]已知f(x)是定义为R的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________.
15．[2023·河南安阳模拟]已知函数f(x)＝aex－e－x＋a是偶函数，则a＝________．
16．(能力题)[2023·江西景德镇模拟]周期为4的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x∈[0，2]时f(x)＝x3－1，则不等式f(x)≤0在[－2，2]上的解集为________.
优生选做题
17．[2023·山东菏泽模拟]设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F，G，且F⊆G.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝ex(x≤0)，若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式是( )
A．e|x|B．ln|x|
C．e－|x|D．－ln|x|
18．[2023·安徽合肥模拟]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝eq \r(x)(0≤x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
课时作业（八） 函数的奇偶性、周期性与对称性
1．解析：A.y＝sinx是奇函数，且在（0，＋∞）上有增有减，故A不满足．
B．y＝lnx定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故B不满足．
C．y＝tanx是奇函数，且在（0，＋∞）上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故C不满足．
D．y＝－eq \f(1,x)是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故D满足．
故选D.
答案：D
2．解析：∵f（x）定义域为R，且f（－x）＝2－x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－2x＝－f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，
又∵y＝2x是R上的增函数，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是R上的减函数，
所以函数f（x）＝2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是R上的增函数．
故选A.
答案：A
3．解析：因为f（x－2）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x），
所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，
函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
所以f（2）＝－f（0）＝0，
f（2022）＝f（505×4＋2）＝f（2）＝0.
故选A.
答案：A
4．解析：由奇函数的性质可知f（－2）＝－f（2）＝－（22＋2a－3）＝－5，
a＝2，f（1）＝21＋2－3＝1.
故选D.
答案：D
5．解析：设x<0，则－x>0，因为函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e－x－1，
f（－x）＝ex－1＝－f（x），即f（x）＝－ex＋1.
故选D.
答案：D
6．解析：因为函数f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，故函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即f（x）为奇函数，故f（－x）＋f（x）＝a（－x）3－（－x）－3＋a＋ax3－x－3＋a＝2a＝0，
所以a＝0.
故选B.
答案：B
7．解析：∵y＝f（x）为R上的偶函数，
∴f（－2021）＝f（2021），
又当x≥0时，f（x）＝f（x＋4），
∴f（2021）＝f（2017）＝…＝f（1），
当x∈[0，2）时，f（x）＝lg2（x＋1），
∴f（－2021）＝f（1）＝lg2（1＋1）＝1.
故选A.
答案：A
8．解析：∵当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x－1是增函数．
又∵f（x）为偶函数，
故可以作出f（x）的图象如图所示：
f（x）>0⇒f（x）>f（1）或f（x）>f（－1）.
根据奇偶性和单调性可知f（x）>0的取值范围为{x|x<－1或x>1}．
故选C.
答案：C
9．解析：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，
又∵x≤0，f（x）＝3x2－2x＋m，∴f（0）＝0＝m，
∴x≤0时，f（x）＝3x2－2x，
设x>0，则－x<0，则f（－x）＝3x2＋2x，
则f（x）＝－f（－x）＝－3x2－2x，
即当x＞0时，f（x）＝－3x2－2x，∴f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）在[1，2]上的最大值为f（1）＝－5.
故选C.
答案：C
10．解析：∵f（x＋1）是奇函数，∴f（x＋1）＝－f（－x＋1）；
∵f（x－1）是偶函数，∴f（x－1）＝f（－x－1），
∴f（x＋1）＝f（x＋2－1）＝f（－（x＋2）－1）＝f（－x－3），∴f（－x－3）＋f（－x＋1）＝0，
∴f（x）＋f（x＋4）＝0，∴f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），
∴f（x）是周期为8的周期函数，B错误；
∵f（x＋5）＝－f（x＋1）＝f（－x＋1），∴f（x＋3）＝f（－x＋3），∴f（x＋3）是偶函数，A正确；
∵f（1）＝f（5）＝f（－3）＝0，f（3）＝－f（－1），无法得到f（3），C错误；
∵f（0）＝f（－2）＝－f（2）＝－f（4），∴无法得到f（0），D错误．
故选A.
答案：A
11．解析：对于A选项，因为f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠f（x）＋g（x）且f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－（f（x）＋g（x）），所以f（x）＋g（x）既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
对于B选项，因为f（－x）|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|，所以f（x）|g（x）|是奇函数，故B正确；
对于C选项，因为f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）≠f（x）g（x），所以f（x）g（x）是奇函数，不是偶函数，故C错误；
对于D选项，因为f（g（－x））＝f（g（x）），所以f（g（x））是偶函数，故D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：对于A，f（x）＝x2－3，定义域为R，f（－x）＝（－x）2－3＝x2－3＝f（x），
所以f（x）为偶函数，
又f（1）＝－2<0，故A正确；
对于B，f（x）＝2x＋2－x>0恒成立，故B错误；
对于C，f（x）＝lg2|x|，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝lg2|－x|＝lg2|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－1<0，故C正确；
对于D，因为－1≤csx≤1，所以f（x）＝csx＋1≥0恒成立，故D错误．
故选AC.
答案：AC
13．解析：由f（x）的对称中心为（0，0），对称轴为x＝1，
则f（x）也关于直线x＝－1对称且f（x）＝f（2－x），A、D正确，
由A分析知：f（x）＝f（2－x）＝－f（－x），故f（2＋x）＝－f（x），
所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，则g（2023）＝f（2024）＝f（0）＝0，B正确；
但不能说明f（x）最小正周期为4，C错误．
故选ABD.
答案：ABD
14．解析：∵f（x）是定义为R的奇函数，∴f（－1）＝－f（1）＝－（2×12－1）＝－1.
答案：－1
15．解析：函数f（x）＝aex－e－x＋a的定义域为R.
因为函数f（x）＝aex－e－x＋a是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即aex－e－x＋a＝ae－x－ex＋a对任意x∈R恒成立，
亦即（a＋1）ex＝（a＋1）e－x对任意x∈R恒成立，
所以a＝－1.
答案：－1
16．解析：f（x）周期是4，则f（x）＝f（4－x）＝f（－x），所以f（x）是偶函数，
x∈[0，2]时，f（x）＝x3－1是增函数，且f（1）＝0，
不等式f（x）≤0转化为f（|x|）≤f（1），
所以|x|≤1，－1≤x≤1.
答案：[－1，1]
17．解析：∵g（x）是偶函数，
∴定义域关于原点对称．
对于选项A：g（x）是偶函数，当x≤0时，g（x）＝e－x≠f（x），则不满足条件，A错误；
对于选项B：当x＝0时，g（x）＝ln|x|无意义，则定义域不满足条件，B错误；
对于选项C：g（x）是偶函数，当x≤0时，g（x）＝e－（－x）＝ex＝f（x），满足条件，C正确；
对于选项D：当x＝0时，g（x）＝－ln|x|无意义，则定义域不满足条件，D错误．
故选C.
答案：C
18．解析：（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
有f（x＋1）＝f（1－x），即有f（－x）＝f（x＋2），
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（－x）＝－f（x），
故f（x＋2）＝－f（x），
从而f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，
有f（0）＝0，x∈[－1，0）时，－x∈（0，1]，f（x）＝－f（－x）＝－eq \r(－x)，
故x∈[－1，0]时，f（x）＝－eq \r(－x)，
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，f（x）＝f（x＋4）＝－eq \r(－x－4)，
从而x∈[－5，－4]时，函数f（x）的解析式为f（x）＝－eq \r(－x－4).