2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课一利用导数研究不等式恒能成立问题

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例 1 [2023·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝ex＋3ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性：
(2)若函数f(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
题后师说
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
巩固训练1
[2023·河南荥阳模拟]已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a∈R)．
(1)求f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)若对于任意的x∈[，e]，都有2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．
题型二 等价转化法求参数范围
例 2 [2023·山东临沂模拟]已知函数f(x)＝mx－sin x，g(x)＝ax cs x－2sin x(a>0)．
(1)若函数y＝f(x)是R上的单调递增函数，求实数m的取值范围；
(2)若m＝1，且对任意的x∈[0，]，都有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
题后师说
遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
巩固训练2
已知函数f(x)＝ex－x2，g(x)＝ax＋1(a∈R)．
(1)求f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
题型三 双变量的恒(能)成立问题
例3[2023·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝ax＋ln x.
(1)试讨论f(x)的极值；
(2)设g(x)＝x2－2x＋2，若∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈[0，1]，使得f(x1)