第3章函数与基本初等函数 课时规范练10　函数的奇偶性、周期性与对称性 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.(2024·天津耀华中学检测)下列函数中,为偶函数的是(　　)
2.(2024·河南开封模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=lg3x,则f(-3)=(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=lg3x,所以f(-3)=-f(3)=-lg33=-1,故选A.
3.(2024·山东潍坊模拟)若f(x)=x(x+1)(x+a)(a∈R)为奇函数,则a的值为(　　)A.-1B.0C.1D.-1或1
解析 由题得f(-1)+f(1)=0,故a=-1,故选A.
4.(2024·四川绵阳模拟)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为(　　)A.x+4B.2-xC.3-|x+1|D.2+|x+1|
解析 当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1),当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3].因为f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上,当x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|,故选C.
5.(2024·江苏镇江模拟)若函数f(x)=πx-π-x+2 023x,则不等式f(x+1)+f(2x-4) ≥0的解集为(　　)A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.(0,1]D.[-1,1]
解析 f(x)的定义域为R,因为f(-x)=π-x-πx-2 023x=-(πx-π-x+2 023x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x),因为y=πx,y=-π-x,y=2 023x在R上均单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故选A.
6.(多选题)(2024·辽宁锦州模拟)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)的图象关于点(2,0)对称B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.在区间(2,3)上,f(x)单调递减
解析 f(4-x)=f[2-(x-2)]=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,故f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,A正确;∵f(2-x)=f(x),则f(x)的图象关于直线x=1成轴对称,B错误;根据题意可得,f(x)在区间(0,1)上单调递增,∵f(x)图象关于直线x=1成轴对称,关于(2,0)中心对称,则f(x)在区间(2,3)上单调递减,C正确;又f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期为4,
7.(2024·江西吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=lg2(x+1),则f(49)=　　　　. 
解析 由题知,函数f(x)的周期为4,所以f(49)=f(4×12+1)=f(1)=lg2(1+1)=1.
8.(2023·全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin 为偶函数,则a=　　　　　. 
解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cs x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cs(-x)+1=x2+(2-a)x+cs x+1.∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cs x+1=x2+(2-a)x+cs x+1,解得a=2.
9.(2024·陕西西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,若函数f(x+1)为偶函数,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为　　　　. 
解析 因为f(x)定义域为R,且f(x+1)为偶函数,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(3)=0,则f(-1)=f(3)=0,因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,则f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,当x≤1时,由f(x)>0=f(-1)可得-11时,由f(x)>0=f(3)可得10的解集为(-1,3).
10.(2024·江西赣州模拟)已知函数 ,则不等式f(2x)>f(x-2)的解集为(　　)A.(-2,+∞)B.(-∞,-2)C.(0,+∞)D.(-∞,0)
11.(2024·辽宁丹东模拟)设函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,当0≤x<1时,f(x)=21-x,则f(lg0.58)=(　　)
解析 因为f(x+1)+f(x)=0,所以f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故f(x)的周期为2,又lg0.58=-3,所以f(lg0.58)=f(-3)=f(-3+2+2) =f(1)=-f(0)=-21-0=-2,故选A.
12.(多选题)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法一定正确的是(　　)A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于点(2 023,0)对称C.f(x)是R上的偶函数D.f(x)是R上的奇函数
解析 对于A,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,故A正确;对于B,由y=f(x-1)为奇函数得f(x-1)=-f(-x-1),所以f(x)的图象关于点(-1,0)对称,又因为f(x)的周期是4,且2 023=506×4-1,所以f(x)的图象关于点(2 023,0)对称,故B正确;对于C,因为f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x),又f(x)的图象关于点(-1,0)对称,所以有f(x-2)=-f(-x),因此f(-x+2)=f(x-2),即f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,故f(x)是偶函数,故C正确,D错误,故选ABC.
13.(2024·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(1-2x)为偶函数,f(2+x)为奇函数,则f(0)=　　　　. 
解析 因为函数f(x)的定义域为R,且f(1-2x)为偶函数,则f(1-2x)=f(1+2x),即f(1-t)=f(1+t),又因为f(2+x)为奇函数,则f(2-x)=-f(2+x),所以f(2)=-f(2),可得f(2)=0,在等式f(1-t)=f(1+t)中,令t=1,可得f(0)=f(2)=0.
14.(2022·新高考Ⅱ,8)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则 =(　　)A.-3B.-2C.0D.1
解析 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,
15.(多选题)(2024·江苏盐城模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(x+6)=0,且对任意的x1,x2∈[-3,0],当x1≠x2时,都有x1f(x1)+x2f(x2)解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数,故A错误;因为f(x)+f(x+6)=0,故f(x+6)=-f(x),而f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(-x),即f(x)的图象关于直线x=3对称,则直线x=2是函数f(x+1)图象的对称轴,故C正确;因为f(x+6)=-f(x),所以f(x+12)=-f(x+6)=f(x),故12是函数f(x)的周期;因为对任意的x1,x2∈[-3,0],当x1≠x2时,都有x1f(x1)+x2f(x2)< x1f(x2)+x2f(x1),即(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,故x∈[-3,0]时,f(x)单调递减, 又因为f(x)为奇函数,所以x∈[0,3]时,f(x)单调递减,又因为f(x)的图象关于直线x=3对称,故x∈[3,6]时,f(x)单调递增,因为12是函数f(x)的周期,故函数f(x)在[-9,-6]的单调性与x∈[3,6]时的单调性相同,故函数f(x)在[-9,-6]上单调递增,故B正确,作出函数f(x)的大致图象如图,结合图象可知12是函数f(x)的最小正周期,D正确,故选BCD.