2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课五数列的综合

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高考大题研究课五　数列的综合
题型一　等差数列、等比数列的综合问题
例1[2023·河北衡水模拟]设等比数列的前n项和为Sn，已知Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝1.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是等差数列，且c1＝a1，c3＝S2，设bn＝an·cn，求数列的前n项和Tn.
[听课记录]









题后师说
等差数列、等比数列的综合问题是新高考命题的热点之一，对这类问题应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和、裂项相消法求和及错位相减法求和．



巩固训练1
[2023·河南洛阳模拟]已知数列是公差大于1的等差数列，前n项和为Sn，a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若bn＝，求数列的前n项和Tn.







题型二　数列与不等式的综合问题
例2[2023·山东烟台模拟]已知数列的前n项和为Sn，a1＝，当n≥2时＝anSn－an.
(1)求Sn；
(2)设数列的前n项和为Tn，若λTn≤·2n恒成立，求λ的取值范围．
[听课记录]






题后师说




巩固训练2
[2022·安徽十校联考]已知数列满足a1＋a2＋…＋an－1－an＝－2且，且a2＝4.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tnan，a3a10＝44，a4＋a9＝15；②S7＝5a6，a2＝3；③2Sn＝n(n＋3)”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为Sn，且________．
(1)求的通项公式；
(2)若bn＝，求的前n项和为Tn，求证：Tn1，得d＝2，
∴a1＝3－2＝1，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)所以Sn＝＝n2，
bn＝＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋…＋)＝.
例2　解析：(1)当n≥2时＝anSn－an，所以＝Sn－，整理得：SnSn－1＝Sn－1－Sn，即＝1.所以数列是以＝＝2为首项，1为公差的等差数列．所以＝n＋1，即Sn＝.
(2)由(1)知，＝(n＋1)·2n，所以Tn＝2·2＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n①，所以2Tn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1②，①－②得，－Tn＝4＋－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，所以Tn＝n·2n＋1，所以λTn≤·2n，即λn·2n＋1≤·2n，即λ≤＝，因为≥2 ＝3，当且仅当n＝3时，等号成立，所以λ≤3.
巩固训练2　解析：(1)因为a1＋a2＋…＋an－1－an＝－2，所以a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－2，
两式相减得an＋1＝2an(n≥2)，
当n＝2时，a1－a2＝－2，又a2＝4，所以a1＝2，a2＝2a1，
所以an＋1＝2an.
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an＝2n；
(2)证明：＝＝，
所以Tn＝＋…＋＝1－0，(n∈N*)，所以