2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课三利用导数证明不等式

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例 1[2023·河北沧州模拟]已知函数g(x)＝mx2－(4m＋2)x＋4ln x(a∈R)．
(1)当m＝1时，求g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)当m＝0时，证明：g(x)＋2x0.
题型三 双变量不等式的证明
例 3[2023·广东湛江模拟]已知函数f(x)＝x ln x－ax2＋1(a∈R)(f′(x)为f(x)的导函数)．
(1)讨论f′(x)单调性；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，证明：00时，f(x)ln (n＋1)．
高考大题研究课三 利用导数证明不等式
例1 解析：(1)当m＝1时，g(x)＝x2－6x＋4ln x，
所以g′(x)＝2x－6＋，g′(1)＝0，g(1)＝－5，
故g(x)在点(1，g(1))处的切线方程是y＝－5.
(2)证明：当m＝0时，要证明g(x)＋2xln x＋2，
令h(x)＝ex－ln x－2，(x>0)，则h′(x)＝ex－，令u(x)＝h′(x)＝ex－，
u′(x)＝ex＋>0，故h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又h′(1)＝e－1>0，h′()＝－22－2＝0.
所以ex>ln x＋2，即g(x)＋2x0时，令f′(x)>0，得00时，由g′(x)>0，得00.
⇐a>⇐>，①
不妨设01)，
构造函数f(t)＝t－－2ln t(t>1)，
则f′(t)＝1＋＝>0，
所以f(t)在(1，＋∞)上单调递增，故f(t)>f(1)＝0，
所以t－>2ln t(t>1)，原不等式得证．
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：(1)由题意得y＝xf(x)＝x ln (a－x)，
则y′＝ln (a－x)＋x[ln (a－x)]′.
因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，
所以y′|x＝0＝ln a＝0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝ln (1－x)，其定义域为{x|x0，使得当x∈(0，δ)时，g′(x)>0，此时f′(x)在(0，δ)上单调递增．
∵f′(x)>f′(0)＝0，∴f(x)在(0，δ)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝－1，这与f(x)