2022-2023学年广西南宁市经开区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市经开区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平行四边形中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  网络购物与大众生活密不可分，广西邮政管理局检测数据显示，截止月日，年全区快递包裹揽收量已达件，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组，，线段能够组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5.  学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有条对称轴的图形是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列调查方式选择不适宜的是(    )

A. 调查某批次汽车的抗撞击能力采用抽样调查
B. 企业对应聘人员采用抽样调查
C. 地铁安检部对乘客采用全面调查
D. 检测飞机的零部件采用全面调查

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，，，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  与九章算术的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上设善行者每刻钟行尺，则列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若的值为，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若二次根式有意义，则的取值范围是______．

14.  在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则点的坐标是______ ．

15.  因式分解： ______ ．

16.  如图，某人在处通过平面镜看见在正上方处的物体，已知物体到平面镜的距离为，则点到物体的像的距离是______．

17.  千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是：，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是______ 米

18.  如图，四边形中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
如图，在▱中，为对角线．
求证：≌．
尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，不写作法，保留作图痕迹；
若的周长为，求▱的周长．

22.  本小题分
初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图均不完整，请根据图中所给信息解答下列问题：

在这次评价中，一共抽查了______名学生；
在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为______度；
请将频数分布直方图补充完整；
如果全市有名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？

23.  本小题分
如图，同学们想测量旗杆的高度他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处．
请你按小明的方案求出旗杆的高度；
已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
 

24.  本小题分
疫情开放以来，今年的月是春游最好的季节，为了让学生体验春游活动，周末，红星中学班的家长将组织该班学生参加春游活动，计划在某商家采购、两种水果各元，其中购买种水果数量比种水果数量多千克，该商家种水果的单价是种水果单价的倍．
求、两种水果每千克的售价是多少元？
经过家长和商家的协商，现商家决定给该班购买的、两种水果进行优惠，将、两种水果都打折出售，因此，家长将调整购买、水果共千克，但购买的总费用不能超过元，则至少购买种水果多少千克？

25.  本小题分
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，老师采用小组合作探究的形式给各小组都发放长为，宽为的长方形纸片，让他们通过折纸提出问题和探究．
【操作发现】第组的同学连接对角线，将矩形分别沿，折叠，使点落在上点处，点落在上的点处，请你判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
【操作探索】第组的同学是在边上取中点，连接，然后沿折叠，使得点的对应点在矩形的内部，连接，且，如图，请你求的长．
【问题解决】第组的同学对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点对应点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，连接，则 ______ ．
 

26.  本小题分
如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点．
如图，连接，若平分，，试求的长度；
求证：；
如图，连接，若，，，试求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
．
故选：．
根据有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的两组对边分别平行是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
，
不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能组成三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：该图形有无数条对称轴，故此选项不合题意；
B.该图形有条对称轴，故此选项不合题意；
C.该图形有条对称轴，故此选项符合题意；
D.该图形有条对称轴，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的特点：如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查轴对称图形的概念及性质，能够根据其特点解决有关的问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：调查某批次汽车的抗撞击能力采用抽样调查，调查方式选择适宜，故此选项不合题意；
B.企业对应聘人员采用全面调查，调查方式选择不适宜，故此选项符合题意；
C.地铁安检部对乘客采用全面调查，调查方式选择适宜，故此选项不合题意；
D.检测飞机的零部件采用全面调查，调查方式选择适宜，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用全面调查以及抽样调查的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了全面调查以及抽样调查，正确掌握抽样调查与全面调查的意义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
．
故选：．
由三角形中位线定理求出，根据勾股定理即可求出．
本题主要考查了三角形中位线定理和勾股定理，根据三角形中位线定理求出是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
，
菱形的面积．
故选：．
由菱形的性质得出，，，在中，由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，得出，由菱形的面积公式即可得出结果．
本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，求出是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
即，
故选：．
根据题意，可知善行者行尺的时间不善行者走尺用的时间，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：设四个直角三角形的面积之和为，
，
，
即，
解得，
正方形的边长为，
故选：．
先设出四个直角三角形的面积之和为，然后根据，可以得到，即可求得的值，根据正方形的性质即可得到结论．
本题考查勾股定理的证明、正方形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由正方形的性质可得，可得，可得，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了正方形的性质，平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用平行线的知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，使二次根式有意义，即，
解得；
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式求范围．
本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于等于即可．
 

14.【答案】 

【解析】解：与点关于轴对称，则点的坐标是，
故答案为：．
根据关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
本题考查了关于坐标轴对称点的坐标，解题关键是熟记关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

根据平面镜成像的性质得：，
在正上方，
，
根据勾股定理，得，
故答案为：．
根据平面镜成像的性质得到的长，然后利用勾股定理解答即可．
本题考查勾股定理应用，涉及平面镜成像，解题的关键是掌握平面镜成像的性质，能熟练运用勾股定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：设边衬的宽度是米，则整幅图画宽为米，整幅图画长为米，根据整幅图画宽与长的比是：，得：
 ，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
边衬的宽度是米．
故答案为：．
根据题意列出方程，求解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．
 

18.【答案】或或，只要答案正确即可 

【解析】解：四边形的四个顶点、、、分别为、、、的中点，
，．
∽．
和的面积比是相似比的平方，即．
即，同理可证：，
，，
，
同法可证，
又四边形的对角线，，，
四边形的面积是．
四边形的面积．
故答案为或或，只要答案正确即可．
根据三角形的面积公式，可以求得四边形的面积是；根据三角形的中位线定理，得，，则∽，得和的面积比是相似比的平方，即，因此四边形的面积是四边形的面积的，即；推而广之，则，，四边形的面积．
此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
 

19.【答案】解：当时，
原式



 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键的是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用有理数的乘方运算法则以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，即为所作；

解：垂直平分，

，
的周长为，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长． 

【解析】根据平行线的性质得到，利用即可证明≌；
以，分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；
利用垂直平分线的性质可以得到，结合，得到，根据平行四边形的性质即可求得结论．
本题考查三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，准确作图是解题的关键．
 

22.【答案】解：；
  ；
“讲解题目”的人数是：人．
 ；
在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：人． 

【解析】

【分析】
本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与比．
根据专注听讲的人数是人，所占的比例是，即可求得抽查的总人数；
利用乘以对应的百分比即可求解；
利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图；
利用乘以对应的比例即可．
【解答】
调查的总人数是：人，
故答案是：；
“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：，
故答案是：；
见答案；
见答案．  

23.【答案】解：如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
故旗杆的高度为米；
由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得：，
解得：，
米，
米．
故绳结离地面米高． 

【解析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：设该商家种水果每千克的售价是元，则种水果每千克的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：该商家种水果每千克的售价是元，种水果每千克的售价是元；
设购买千克种水果，则购买千克种水果，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少购买种水果千克． 

【解析】设该商家种水果每千克的售价是元，则种水果每千克的售价是元，利用数量总价单价，结合用元购买种水果数量比用元购买种水果数量多千克，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出种水果每千克的售价，再将其代入中，即可求出种水果每千克的售价；
设购买千克种水果，则购买千克种水果，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，
四边形是平行四边形，理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
由折叠的性质得到，，
，
，
四边形是平行四边形；
如图，连接交于，
，
，，
是中点，
，
，
由折叠的性质得到：，，，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
，
，
，
；
如图，延长交于，
在上，
，
，，
，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由矩形的性质得到，由此，由折叠的性质得到，因此，得到四边形是平行四边形；
连接交于，证明是直角三角形，由三角形面积公式求出的长，得到的长，由勾股定理求出的长；
延长交于，由平行线分线段成比例定理，得到垂直平分，因此，由等腰三角形的性质，折叠的性质求出，即可求出的长，于是得到答案．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，熟练掌握并综合应用以上知识点是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，连接，
、分别是边、边上的中线，
是的中位线，
，且，
，
平分，
，
，
，
即的长度为；
证明：、分别是边、边上的中线，
是的中位线，
，且，
∽，
，
；
延长交于点，
，、分别是、边上的中线，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，，
≌，
，
是等腰三角形的顶角平分线，
，，

即，
，
，
又，，
，，
，


． 

【解析】根据三角形中位线定义以及角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质可得即可；
利用三角形中位线定理可得，，再根据相似三角形的判定和性质，得出即可；
根据全等三角形、等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系判断是等腰直角三角形，再根据三角形面积的计算方法以及的结论进行计算即可．
本题考查三角形中位线定理，角平分线的性质，掌握三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．