2022-2023学年广西南宁市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  如图，在中，，点为的中点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  要使二次根式有意义，的值不可以取(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，矩形中，对角线，交于点，如果，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小明用四根长度相同的木条制作了如图所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图所示的正方形，则图中的对角线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列二次根式中，能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，平行四边形中，、分别在边、上，添加下列条件后不能使四边形为平行四边形的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在和中，，，，连接，交于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

12.  如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠之后得到等腰直角三角形，其中点恰好与点重合，若，则的长度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．

14.  比较大小：______填，或．

15.  在▱中，若，则 ______ 度
 

16.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接，若，菱形的面积是，则的长为______ ．

17.  观察下列各式：当时，，当时，，当时，，根据以上规律，写出当时的等式是______ ．

18.  如图，在▱中，垂直平分，且，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
已知，，求的值．

21.  本小题分
如图，在中，于点，，，．
求的长；
求的面积；
判断的形状．

22.  本小题分
如图，在矩形中，为对角线．
用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别交，于点，；保留作图痕迹，不写作法
在所作的图形中，若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在▱中，点，分别是，的中点，连接，．
求证：≌；
请判断与的位置关系，并说明理由．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，为对角线的中点，为边的中点，连接，．
求证：四边形为菱形；
连接交于，若，，求四边形的面积．

25.  本小题分
【阅读理解】：，，，两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号例：；例：．
【问题解决】：
的有理化因式是______ ；
化简：；
化简：的值．

26.  本小题分
如图，四边形是正方形，点是平面内异于点的任意一点，以线段为边作正方形，连接，．
如图，求证：；
如图，若点在线段上，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，
，点为的中点，，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上中线的性质得出，代入求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，能根据直角三角形斜边上中线的性质得出是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，
则，
解得：，
故的值不可以取．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，

，
．
故选：．
只要证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法，除法，减法，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
图中正方形的对角线的长为，
故选：．
先证是等边三角形，可得，由正方形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
本题考查同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，
由不能判定四边形为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：菱形，，
，，
，
，
，
设，
，
，
解得，
，
，

故选：．
求出，根据直角三角形的性质得出的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
此题考查菱形的性质，勾股定理，关键是根据菱形的性质得出解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
．
．
在和中，

≌．
．
．
在，
，
，．
，
．
即．
．
，
．
．
故选：．
依据题意，从问题出发，把要求的放在中．结合已知条件，我们可以得到≌，进而得到，又，从而可以得到，故，又，这样，所以可以得到在中，，由勾股定理得，，从而可以求出的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及含角的直角三角形的性质，需要熟练运用角的转化来解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，，
原式

，
故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：由折叠补全图形，
四边形是矩形，
，，，
由第一次折叠得：，，
，
，
根据勾股定理得，，
由第二次折叠，得，
，
．
故选：．
根据矩形的性质可得，，，然后再根据折叠的性质得出，进而得出，利用勾股定理的长，再由第二次折叠，得，进而得出的长，最后利用线段的关系，即可得出结果．
此题考查的是图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点，
点到原点的距离是：．
故答案为：．
点到原点的距离为点横坐标与纵坐标的平方和的平方根．
本题主要考查了勾股定理和点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系．
本题考查了实数的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．
 

15.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，，
，
．
故答案为．
根据“平行四边形的两邻角互补”可知：，把代入可求解．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
平行四边形两组对边分别平行；
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，菱形的面积为，
，
解得：，
，，，
又点是中点，
是的中位线，
在中，，
则．
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，从而可判断是的中位线，在中求出，继而可得出的长度．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：类比上述式子可得：，
即，
故答案为：．
利用题目中反映的数字的规律即可得出．
本题主要考查了算术平方根，数字变化的规律，利用类比的方法解答是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
过点作，交的延长线于，利用平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，，，




． 

【解析】根据、的值，可以求得、和的值，然后将所求式子变形，再将、和的值代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，，
，
的长为；
，，
，
，，
的面积，
的面积为；
是直角三角形，
理由：在中，，，
，
，，
，
是直角三角形． 

【解析】根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
利用的结论可求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答；
先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及勾股定理解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示．

连接，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为矩形，
，
设，
则，
由勾股定理得，，
解得，
的长为． 

【解析】根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
由线段垂直平分线的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求得的值，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤以及性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
点，分别是，的中点，
，
在与中，
，
≌；
解：，理由如下：
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和证明≌即可；
根据全等三角形的性质和平行四边形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 

24.【答案】证明：为对角线的中点，为边的中点，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形；

解：如图，与交于点，

四边形为菱形，，
，，，
，
在中，，
，
四边形的面积为：． 

【解析】由三角形中位线定理可得，，，可得，，由菱形的判定可得结论；
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，得到的长后，根据菱形的面积公式可得答案．
本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
的有理化因式是．
故答案为：；


；
原式



．
根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可；
进行分母有理化计算即可；
根据已知算式得出规律，再根据得出的规律进行变形，最后根据平方差公式进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，数字的变化类和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
 

26.【答案】证明：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：作于，

四边形和四边形都是正方形，
，．
由勾股定理得：，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
． 

【解析】根据正方形性质求出，，，求出，根据推出≌即可；
根据勾股定理求出、，求出，根据全等得出，即可求出答案．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出≌是解此题的关键．