2022-2023学年广西南宁市部分地区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市部分地区八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  太阳的半径约为千米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4.  下列各式中能与合并的二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，要使▱成为矩形，需要添加的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

8.  如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，▱的顶点的坐标为，若边的长为，则顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，若菱形的周长为，的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺尺，将秋千的踏板往前推两步每一步合五尺，即尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺尺，求这个秋千的绳索有多长？(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

12.  如图，正方形的边长为，点在上，且，是上的一动点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

14.  计算的结果是______ ．

15.  如图，在▱中，若，则 ______ 度

16.  如图，一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，那么这棵树折断之前的高度是______米．

17.  如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上若，，则的长为______ ．

18.  如图，等腰直角三角形的两直角边分别为，以斜边为边作第二个等腰直角三角形，再以斜边为边作第三个等腰直角三角形，如此进行下去记等腰直角三角形的直角边长为，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，已知▱，延长到，使，连接，，，若．
求证：；
求证：四边形是矩形．

22.  本小题分
如图，已知．
求作：的平分线，交于点要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
已知，求的度数．

23.  本小题分
如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．
求两条小路和的长结果保留根号
花坛的面积结果保留根号

24.  本小题分
如图，永定路一侧有、两个送奶站，为永定路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，，，．
连接，求两个送奶站之间的距离；
有一人从点处出发，沿永定路路边向右行走，速度为，多长时间后这个人距送奶站最近？

25.  本小题分
观察下列各式及其验证过程：
，
验证：．
，
验证：．
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
针对上述各式反映的规律，直接写出用的整数表示的等式．

26.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点、运动的时间为秒，过点作于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
四边形能成为菱形吗？如果能，求相应的的值，如果不能，说明理由；
当为何值时？为直角三角形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B、是二次根式，故此选项符合题意；
C、是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
D、，该代数式无意义，故此选项不合题意；
故选：．
根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式判断即可．
本题考查了二次根式的定义，关键是理解二次根式的被开方数是非负数，根指数为．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，
不能组成三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故A错误；
B、与不是同类二次根式，故B错误；
C、与不是同类二次根式，故C错误；
D、与是同类二次根式，故D正确；
故选：．
根据二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，可得答案．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项不合题意；
B、，无法计算，故此选项不合题意；
C、，故此选项合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到▱是矩形，故A符合题意；
B、，由得到，因此，所以，▱是菱形，故B不符合题意；
C、，由平行线四边形的性质，得到垂直平分，因此，▱是菱形，故C不符合题意；
D、，此时▱是菱形，故D不符合题意．
故选：．
由矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判断．
本题考查矩形的判定，平行线四边形的性质，关键是掌握矩形的判定．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由数轴知，，
原式．
故选：．
先通过数轴确定的范围，再利用二次根式的性质得结论．
本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
则其正方形的没加为，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
，
小正方形的面积为：．
故选：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，顶点的坐标为，边的长为，
，
点的坐标为．
故选：．
先根据平行四边形的性质得出，进而可得出结论．
考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，熟知平行四边形的对边相等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
菱形的周长为，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据根据菱形的周长公式计算，即可得到的长，然后根据是的中位线即可得解．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理的运用，本题解法多样，关键是掌握：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
 

11.【答案】 

【解析】解：设这个秋千的绳索尺，则尺，
尺，尺，
尺，
，
，
，
尺，
这个秋千的绳索的长是尺．
故选：．
设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长．
本题考查勾股定理的应用，数学常识，关键是应用勾股定理列出关于的方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形是正方形，
对角线是其一条对称轴，
，
，
即的最小值为的长，
在中，
，，
，
即的最小值是，
故选：．
利用轴对称将转化到的另一侧，再利用两点之间线段最短解答即可．
本题考查最短路径问题，解题的关键是将动点所在直线同侧的两条线段，利用轴对称将其中一条线段转化到动点所在直线的异侧，再利用两点之间线段最短解题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的性质可知，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，直接计算即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟记概念是解决此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据平行边形性质中对角相等可知，．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

16.【答案】 

【解析】解：一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，
折断的部分长为米，
折断前高度为米．
故答案为：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据折叠的性质可知，，，
设，则，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
根据折叠的性质可知，，，利用勾股定理求出即可．
本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
，
第个等腰直角三角形的直角边长为，
．
故答案为：．
分别求出第个、第个、第个、第个，等腰直角三角形的直角边的长，找出规律即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，根据勾股定理找出直角三角形直角边长的规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】利用二次根式的加减运算法则计算即可．
本题考查了二次公式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
 

20.【答案】解：原式
，
当时，
原式

． 

【解析】原式利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】由平行四边形的性质得到，而，得到；
由，，推出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得到，即可证明问题．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，射线即为所求；

，
，
平分，
． 

【解析】根据要求作出图形；
利用平行线的性质以及角平分线的定义求解．
本题考查作图基本作图，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：花坛是菱形，
，，，，
在中，，
，
，；
，
答：菱形花坛的面积是． 

【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，菱形的对角线平分一组对角线可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出、即可；
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，
，
过作永定路于，

是直角三角形，且，
，
，
在中，，
，
，
，
小时后这人距离送奶站最近．
最近距离为． 

【解析】首先根据勾股定理得出的长；
计算出的度数，再根据直角三角形的性质算出的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离送奶站最近．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，关键是掌握如果直角三角形的三边长，，满足．
 

25.【答案】解：，，
，
验证：，正确；
由中的规律可知，，，
，
验证：；正确； 

【解析】利用已知，观察，，可得的值；
由根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，，，
，
，，，，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
解：当时，四边形能够成为菱形．
，
，
，
当，四边形能够成为菱形，
解：若时，
，
四边形是矩形，
，
，
，
当，
四边形是平行四边形，
，
，且，
，
，

，
综上所述：当或时，为直角三角形． 

【解析】利用表示出以及的长，利用直角三角形的性质求得的长，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形；
由菱形的性质可列方程可求解；
分三种情况，建立方程求解即可．
本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．