沪教版 (五四制)24.6 实数与向量相乘优秀当堂检测题

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（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学24.6 实数与向量相乘 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·宝山期末）已知c为非零向量，a=2c，b=−3c，那么下列结论中，不正确的是（　　）
A．|a|=23|b| B．a=−32b C．3a+2b=0 D．a∥b
2．（2021九上·松江期末）已知a＝2b，那么下列判断错误的是（　　）
A．a﹣2b＝0 B．b=12a
C．|a|＝2|b| D．a∥b
3．（2021九上·虹口期末）已知a=7b，下列说法中错误的是（　　）
A．a−7b=0 B．a与b方向相同
C．a∥b D．|a|=7|b|
4．（2021九上·杨浦期末）已知 e1 和 e2 都是单位向量， 下列结论中，正确的是（　　）
A．e1=e2 B．e1−e2=0
C．|e1|+|e2|=2 D．e1+e2=2
5．（2021九上·黄浦期末）已知a，b，c是非零向量，下列条件中不能判定a∥b的是（　　）
A．a=12b B．a=3b
C．|a|=|b| D．a=12c，b=−2c
6．（2021九上·浦东期末）已知|a→|=3，|b→|=2，而且b→和a→的方向相反，那么下列结论中正确的是（　　）
A．3a→=2b→ B．2a→=3b→ C．3a→=−2b→ D．2a→=−3b→
7．（2021九上·松江月考）已知非零向量 a ， b ， c ，下列条件中，不能判定 a//b 的是（　　）
A．|a|=|b| ； B．a=−b ；
C．a//c ， b//c ； D．a=2c ， a=4c ．
8．（2019九上·普陀期中）已知 a 、 b 、 c 都是非零向量，下列条件中，不能判断 a//b 的是（　　）
A．|a|=|b| B．a=3b
C．a//c ， b//c D．a=2c,b=−2c
9．（2019九上·虹口期末）如果向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且长度为3，那么用向量 e 表示向量 a 为（　　）
A．a=3e B．a=−3e C．e=3a D．e=−3a
10．（2018九上·长宁期末）已知 e 是单位向量，且 a=−2e ， b=4e ，那么下列说法错误的是（　　）
A．a//b B．|a|=2
C．|b|=−2|a| D．a=−12b
二、填空题
11．（2021九上·崇明期末）计算：2(3a+2b)−5a=　 　．
12．（2021九上·虹口期末）如果向量a、b、x满足12(x+a)=a−32b，那么x=　 　（用向量a、b表示）．
13．（2021九上·奉贤期中）如果向量 a 与单位向量 e 方向相反，长度为 12 ，那么向量 a 用单位向量 e 表示为 　 　．
14．已知向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且长度为2，那么用 e 表示 a=　 　.
15．（2020九上·闵行期末）e 为单位向量， a 与 e 的方向相反，且长度为6，那么 a =　 　e .
三、解答题
16．（2019·徐汇模拟）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设 BA ＝ a ， BC ＝ b ．

（1）试用 a 、 b 表示 CD ；
（2）在图中作出 BD 在 BA 、 BC 上的分向量，并直接用 a 、 b 表示 BD ．
17．（2018九上·铜梁期末）请阅读以下材料：已知向量 a =（x1,y1）， b =(x2,y2)满足下列条件：
①| a |= x12+y12 ，| b |= x22+y22
②a⊗b=|a|×|b|cosα （角 α 的取值范围是0°< α <90°）；
③a⊗b=x1x2+y1y2
利用上述所给条件解答问题：
如：已知 a =（1， 3 ）， b =（- 3 ，3），求角 α 的大小；
解：∵| a |= x12+y12 = 12+（3）2=2 ，
b = x22+y22=（−3)2+32=12=23
∴a⊗b=|a|×|b|cosα =2×2 3 cos α =4 3 cos α
又∵a⊗b=x1x2+y1y2 = l ×（- 3 ）+ 3 ×3=2 3
∴4 3 cos α =2 3 ，
∴cos α = 12 ，∴α =60°
∴ 角 α 的值为60°．
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知 a=(1,0) ， b=(1,−1) ，求角 α 的大小．
18．已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC=2：1．
=
（1）设BA→=a→，BC→=b→，先化简，再求作：-2a→-b→--3a→-32b→；
（2）用xa→+yb→（x、y为实数）的形式表示BD→．
四、综合题
19．（2021九上·松江月考）如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．

（1）求证：FG∥AB；
（2）设 CA ＝ a ， CB ＝ b ，请用向量 a ， b 表示 GF ．
20．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设 BA ＝ a ， BC ＝ b ．
（1）用向量 a 、 b 分别表示下列向量：
AE ＝　 　， EC ＝　 　， EG ＝　 　；
（2）在图中求作向量 BG 分别在 a 、 b 方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）

21．（2020九上·上海期中）已知：如图， △ABC 中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1．

（1）设 BA=a，BC=b ，先化简,再求作： (3a+b)−(2a+12b) （直接作在图中）；
（2）用 xa+yb （x、y为实数）的形式表示 BD ．
22．（2021九上·黄浦期中）如图，梯形 ABCD 中，AB//CD，且 ABCD=43 ，点 E 是 CD 的中点，AC 与 BE 交于点 F，若 AB=m，AD=n.

（1）请用 m，n 来表示 AF ；
（2）请在图中画出 EB 在 m，n 方向上的分向量.（不要求写出作法，但要指出所作图中表示 结论的向量）
23．（2021九上·奉贤期中）已知：线段DE分别交△ABC的边BA、CA的延长线于点D、E，且 ABAD=ACAE=32 ，△ABC的周长是6cm，

（1）求△ADE的周长；
（2）如果 AB=a，AC=b ，求作： (−2a−12b)+3a ．
24．（2021九上·奉贤期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE ∥ BC，DF ∥ AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且 AEEC=32 ．

（1）求 BFBC 的值；
（2）联结EF，设 BC=a ， AC=b ，用含 a，b 的式子表示 EF ．

答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：∵a=2c，b=−3c，
∴a=−23b，
∴a∥b，|a|=23|b|，3a+2b=0，
∴A，C，D符合题意，
故答案为：B．

【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】实数与向量相乘运算法则；平行向量定理
【解析】【解答】解：A、由a=2b知，a−2b=0，符合题意；
B、由a=2b知，b=12a，不符合题意；
C、由a=2b知，|a|=2|b|，不符合题意；
D、由a=2b知，a//b，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 a＝2b， 对每个选项一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：A.∵a=7b
∴a−7b=0，A符合题意；
B. a与b方向相同，不符合题意；
C. a∥b，不符合题意；
D. |a|=7|b|，不符合题意；
故答案为：A

【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：∵e1与e2都是单位向量，
∴|e1|=|e2|=1，
∴|e1|+|e2|=2，故C选项符合题意；
∵题目并没有指明e1与e2的方向，
∴并不能得到A、B、D选项中的结论，故A、B、D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先求出|e1|=|e2|=1，再对每个选项一一判断即可。
5．【答案】C
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解：A、∵a=12b，∴a与b的方向相同，∴a∥b，故此选项不符合题意；
B、∵a=3b，∴a与b的方向相同，∴a∥b，故此选项不符合题意；
C、由|a|=|b|，只能说明a与b的长度相同，并不能得到a与b的方向相同或相反，∴不能得到a∥b，故此选项符合题意；
D、∵a=12c，b=−2c，∴b=−4a，∴a与b的方向相反，∴a∥b，故此选项不符合题意；
故答案为：C．

【分析】利用平行向量定理判断各选项即可。
6．【答案】D
【知识点】实数与向量相乘运算法则；单位向量
【解析】【解答】解：∵|a|=3，|b|=2，而且b和a的方向相反
∴a=−32b
故答案为：D.

【分析】根据实数与向量相乘的运算法则以及单位向量即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】A. ∵|a|=|b| ，不能判断 a//b ，符合题意
B. ∵a=−b ，∴a//b ，不符合题意；
C.∵a//c ， b//c ，∴a//b ，不符合题意；
D.∵a=2c ， a=4c ，∴a//b ，不符合题意；
故答案为：A．

【分析】根据向量平行的判断方法逐个进行判断即可得到结果。
8．【答案】A
【知识点】平行向量定理
【解析】【解答】解：A、 |a|=|b| 只能说明 a 与 b 的模相等，不能判定 a ∥ b ，故本选项符合题意;
B、 a=3b 说明 a 与 b 的方向相同，能判定 a ∥ b ，故本选项不符合题意;
C、 a ∥ c ， b ∥ c ，能判定 a ∥ b ，故本选项不符合题意;
D、 a=2c ， b=−2c 说明 a 与 b 的方向相反，能判定 a ∥ b ，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案．
9．【答案】B
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：∵向量 e 为单位向量，向量 a 与向量 e 方向相反，
∴a=−3e ．
故答案为：B．
【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．
10．【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】∵e 是单位向量，且 a=−2e ， b=4e ，
∴a//b ， |a|=2 ， |b|=4 ， a=−12b ，
C不符合题意，
故答案为：C.
【分析】由单位向量的特点，根据平面向量的性质即可一一判断．
11．【答案】a+4b
【知识点】实数与向量相乘的运算律
【解析】【解答】解：2(3a+2b)−5a
=6a+4b−5a，
=a+4b，
故答案为：a+4b．

【分析】根据向量相乘的运算律计算即可。
12．【答案】a−3b
【知识点】实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解：12(x+a)=a−32b
x+a=2a−3b
x=a−3b，
故答案为：a−3b．

【分析】利用实数与向量相乘运算法则计算即可。
13．【答案】a=−12e
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：∵向量 a 与单位向量 e 方向相反，且长度为 12 ，
∴a ＝− 12e
故答案为： a ＝− 12e ．

【分析】根据单位向量及向量的线性计算求解即可。
14．【答案】−2e
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：∵向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且长度为2，
∴a=−2e ，
故填： −2e .
【分析】根据平面向量的定义及运算求解即可。
15．【答案】-6
【知识点】平面向量及其表示；单位向量
【解析】【解答】根据题意，得
a =-6 e
故答案为-6.
【分析】根据向量的性质，方向和长度确定，即可得解.
16．【答案】（1）∵BA ＝ a ， BC ＝ b ， ∴CA ＝ CB + BA ＝﹣ b + a ， ∵AD＝2CD，
∴CD＝ 13 CA，
∵CD 与 CA 同向， ∴CD ＝ 13CA ＝ 13 （﹣ b + a ）＝ 13a ﹣ 13b ；
（2）如图 BD 在 BA 、 BC 上的分向量分别为 BM ， BN ．
∵BD ＝ BC + CD ＝ b + 13a ﹣ 13b ＝ 13a + 23b ．

【知识点】平面向量及其表示；向量的加法运算律；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】（1）平面向量在图形中的基本线性运算。已知 BA、 BC，注意方向，从而求出 CA 。 由题意得CD＝ 13CA，所以CD ＝ 13CA 。
（2）根据在平面内画分向量的方法，作图即可。 BD ＝ BC + CD ，根据（1） CD 已知，注意向量方向，简单运算即可求出 BD 。
17．【答案】解： ∵|a|=x12+y12=12+02=1 ，
b=x22+y22=12+(−1)2=2 ，
∴a⊗b=|a|×|b|cosα=2cosα
又 ∵a⊗b=x1x2+y1y2=l×1+0×(−1)=1
∴2cosα=1
∴cosα=22 ，
∴α=45°
【知识点】特殊角的三角函数值；定义新运算；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】模仿例题，根据关于cosα 的方程即可解决问题
18．【答案】（1）-2a→-b→--3a→-32b→=a→+12b→.
（2）CA→=-a→+b→，DA→=23-a→+b→， BD→=BA→-DA→=a→-23-a→+b→=53a→-23b→.
【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）根据向量的加减法运算法则计算；（2）根据向量的加减法运算法则计算.
19．【答案】（1）证明：∵AD＝DE＝EB，
∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，
∵DF∥BC，
∴ADDB=AFFC=AD2AD=12 ，
∵GE∥AC，
BEEA=BGGC=BE2BE=12 ，
∴BGGC=AFFC=12 ，
∴BG+CGGC=AF+FCFC=1+22 ，
∴GCBC=FCAC=23 ，∠FCG=∠ACB，
∴△FCG∽△ACB，
∴∠FGC=∠B，
∴FG∥AB；
（2）解：∵△FCG∽△ACB，
∴FGAB=GCBC=23 ，
∴FG=23AB
∵CA ＝ a ， CB ＝ b ， CB+BA=CA
∴BA=CA−CB=a−b
∵|GF|=23|BA| ， GF∥BA；
∴GF=23BA=23(a−b)=23a−23b ．
【知识点】平行线分线段成比例；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【分析】 (1) 由AD＝DE＝EB，DF∥BC ， GE∥AC 根据平行线分线段成比例可得GCBC=FCAC，可判断
△FCG∽△ACB 进而得到结论；
(2) 由 △FCG∽△ACB 可得出FG=23AB，然后根据BA⇀=CA⇀−CB⇀即可得到结论。
20．【答案】（1）13a；b ﹣ 43a；47b ﹣ 1621a
（2）解：如图，过点G作GM∥AB交BC于M，GN∥BC交AB于N，则向量 BN 、 BM 是向量 BG 分别在 a ， b 方向上的分向量．

【知识点】平面向量及其表示；平行向量定理
【解析】【解答】解：（1）∵BA ＝ a ，AE＝ 13BA，
∴AE ＝ 13a ，
∵EC ＝ EB + BC ， EB ＝﹣ 43a ， BC ＝ b ，
∴EC ＝ b ﹣ 43a ，
∵CD∥EB，
∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，
∴EG：EC＝4：7，
∴EG ＝ 47b ﹣ 1621a ，
故答案为： 13a ， b ﹣ 43a ， 47b ﹣ 1621a ；

【分析】（1）根据线段之间的关系表示出向量即可；（2）根据向量的运算法则作图。
21．【答案】（1）解： (3a+b)−(2a+12b)=3a+b−2a−12b=a+12b ；
如图，延长CB到点F，使BF= 12 BC，连接FA， FA 即为所求．

（2）解：∵AC=BC+BA=b−aAD=23(b−a) ，AD：DC=2：1，
∴AD= 23 AC，
∴AD=23(b−a) ，
∵BD=BA+AD ，
∴BD=a+23(b−a)=13a+23b ．
【知识点】平面向量及其表示；向量的加法法则；实数与向量相乘的运算律
【解析】【分析】（1）先化简，再利用三角形法则计算即可；（2）首先求出向量AC，再根据AD：CD=2:1，求出向量AD，根据向量BD=向量BA+向量AD计算求解即可。
22．【答案】（1）解：
∵ABCD=43，
∴CD=34AB，
则 CD=34AB=34m，
点E是CD的中点，
EC=12DC=38AB，
则 EC=12DC=38m，
四边形ABCD是梯形，
∴CD∥AB，
CFAF=CEAB=38，
∴AF=811AC，
∴AF=811AC=811(AD+DC)=811(n+34m)=611m+811n.
（2）解：如图， EB 平移到点A处，过点 B′ 作 B′M ∥AD， B′N ∥AB，则 AM，AN 分别是向量 EB 在 m，n 方向上的分向量.

【知识点】向量的加法运算律；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ABCD是梯形， 再求出 CD∥AB， 最后计算求解即可；
（2）根据题意作图即可。
23．【答案】（1）解：∵∠CAB=∠EAD， ABAD=ACAE=32 ，
∴△CAB∽△EAD，
∴ABAD=ACAE=BCDE=32 ，
∴AD=23AB ， AE=23AC ， DE=23BC ，
∵△ABC的周长为6cm，
∴AB+AC+BC=6cm，
∴△ADE的周长= AD+AE+DE=23AB+23AC+23BC=23(AB+AC+BC)=4cm ；

（2）解： (−2a−12b)+3a
=−2a−12b+3a
=a−12b ，
∵AB=a ， AC=b ，
∴a−12b=AB−12AC ，
如图所示，分别以A、C为圆心，以大于AC长的一半为半径画弧，二者交于M、N，连接MN交AC于F，作向量 AF ，然后作向量 FB ，则向量 FB 即为所求．

【知识点】平行向量定理；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先证出△CAB∽△EAD，推出AD=23AB ， AE=23AC ， DE=23BC ，再根据△ABC的周长，得出AB+AC+BC=6cm，从而得出△ADE的周长；
（2）分别以A、C为圆心，以大于AC长的一半为半径画弧，二者交于M、N，连接MN交AC于F，作向量 AF ，然后作向量 FB ，则向量 FB 即为所求．
24．【答案】（1）解：∵AEEC=32
∴ECAC=25
∵DE∥BC
∴BDAB=ECAC=25
又∵DF∥AC
∴BFBC=BDAB=25 ；
（2）解：∵BFBC=25 ，
∴FCBC=35 ，
∵BC=a ， CF 与 BC 方向相反，
∴CF=−35a ，
同理可得： EC=25b ，
∴EF=EC+CF=25b−35a ，
故答案为： EF=25b−35a
【知识点】平行向量定理；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）由AEEC=32得出ECAC=25，根据DE∥BC得出BDAB=ECAC=25，由DF∥AC即可得出答案；
（2）由BFBC=25 ，得出FCBC=35 ，据此得出CF=−35a ，同理得出EC=25b ，根据平行四边形法则即可得出答案。