（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学24.1 放缩与相似性 同步测试

（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学24.1 放缩与相似性 同步测试

一、单选题

1．（2021九上·内江期末）下列图形一定相似的是（　　） 

A．两个平行四边形 B．两个矩形

C．两个正方形 D．两个等腰三角形

2．（2022九上·平桂期末）下列说法正确的是（　　）

A．正五边形都相似 B．等腰三角形都相似

C．直角三角形都相似 D．钝角三角形都相似

3．（2021九上·大同期末）古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是（　　）

A．图形的轴对称 B．图形的平移

C．图形的旋转 D．图形的相似

4．（2021九上·晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（　　）

A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换

5．（2021九上·长宁期末）下列命题中， 说法正确的是（　　）

A．所有菱形都相似

B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C．三角形的重心到一个顶点的距离， 等于它到这个顶点对边距离的两倍

D．斜边和直角边对应成比例， 两个直角三角形相似

6．（2021九上·铁西期末）一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（　　）

A．3 B． C．3 D．

7．（2021九上·峄城期中）下列说法中，正确的是（　　） 

A．若点M是 上一点，且满足 ，则M是 的黄金分割点

B．所有的菱形都相似

C．所有的矩形都相似

D．所有的等腰三角形都相似

8．（2021九上·宣城期中）在下面的图形中，相似的一组是（　　） 

A． B．

C． D．

9．（2021九上·洪洞期中）如图，在测量某物体的长度时，若看不清标尺上的刻度，可利用放大镜将标尺上的数码放大，这种图形变换是（　　） 

A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换

10．（2021九上·薛城期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）    

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知：如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，则AB的长为　     　．

12．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为　     　．

13．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是　     　．

14．在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是　     　 cm2．

15．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为　     　cm．

三、解答题

16．观察下列图形，指出哪些是相似图形：

17．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．

18．图中所示为两幅形状相似的油画A和B，它们的对角线分别长42cm和48cm．问油画A的面积是油画B的百分之几？

19．（2018九上·茂名期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．

20．在长为10，宽为8的矩形ABCD中，点E在长AD上，F在BC上，若所得到的矩形EFCD∽矩形ABCD，试问AE之长是多少？请说明理由。

21．请看下图，并回答下面的问题：

（1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？

（2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？

22．如图是两个相似圆柱，它们的相似比为2：3，求它们的体积之比．

23．用木条制成如图的形式，A、B、C三点钉上钉子，在D和D′处加上粉笔，当用D′画图时，在D处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？

24．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；

B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；

C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；

D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.

故答案为：C.

 【分析】对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，据此判断.

2．【答案】A

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A、所有的正五边形都相似，选项正确，符合题意；

B、等腰三角形不一定都相似，因为底角不一定相等，选项错误，不符合题意；

C、直角三角形不一定都相似，因为另外两个角不一定相等，选项错误，不符合题意；

D、钝角三角形不一定都相似，因为角不一定对应相等，选项错误，不符合题意.

故答案为：A.

 【分析】根据相似图形的定义，各角分别相等、各边对应成比例，以及相似三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解.

3．【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：因为同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，

所以在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的相似.

故答案为：D.

【分析】根据相似图形的性质即可得出答案。

4．【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是相似变换.

故答案为：D.

【分析】根据相似图形的概念即可得出答案。

5．【答案】D

【知识点】相似图形；相似三角形的判定；三角形的重心及应用

【解析】【解答】解：A. 所有菱形不一定相似，不符合题意；

B. 两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，不符合题意；

C. 三角形的重心到一个顶点的距离， 等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，不符合题意；

D. 斜边和直角边对应成比例， 两个直角三角形相似，符合题意；

故答案为：D

【分析】根据相似图形的判定、相似三角形的判定、三角形重心的性质分别进行判断即可.

6．【答案】B

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：如图所示，

由题意得，

∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，

∴

∴，

解得或（舍去），

∴，

故答案为：B．

【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可。

7．【答案】A

【知识点】黄金分割；相似图形

【解析】【解答】解：如图，点M是 上一点，

是 的黄金分割点，故A符合题意；

所有的菱形满足边对应成比例，但是不一定满足角对应相等，

所以所有的菱形都相似说法不符合题意，故B不符合题意；

所有的矩形满足角对应相等，但是不一定满足边对应成比例，

所以所有的矩形都相似说法不符合题意，故C不符合题意；

所有的等腰三角形不一定满足角对应相等，边对应成比例，

所以所有的等腰三角形都相似说法不符合题意，故D不符合题意；

故答案为：A

【分析】由黄金分割点的含义判断A，在利用多边形相似的判定方法逐一判断B、C、D从而得出答案。

8．【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项不符合题意；

B、两图形不是相似图形，故本选项不符合题意；

C、∵ ，

∴两直角三角形相似，故本选项符合题意．

D、两图形不是相似图形，故本选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可。

9．【答案】D

【知识点】相似图形

【解析】【解答】A、平移是上下左右的移动，不能放大或缩小，故A项不符题意；

B、旋转变换是绕某点旋转，不能放大缩小，故B项不符题意；

C、轴对称变换是每个点对称到对称轴的另一侧，不能放大或缩小，故C项不符合题意；

D、相似变换可以放大或缩小，故D项符合题意．

【分析】根据相似变换求解即可。

10．【答案】C

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，

∴ ，

解得： 或 （不合题意，舍去），

∴ ，

故答案为：C．

【分析】先求出 ，再计算求解即可。

11．【答案】

【知识点】相似图形；相似多边形的性质

【解析】【解答】设EB=x，

∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，

∴ ，

∵四边形AEFD是正方形，

∴AD=BC=2，

∴ ，

解得：x=-1± （负数不合题意舍去），

∴BE=-1+ ，

故AB=2-1+ =1+ ，

故答案为：1+ ．

【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值进而得出答案．

12．【答案】3：5

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.

【分析】利用相似比的定义求解即可。

13．【答案】①②⑤

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：①两个正三角形相似，正确；

②两个等腰直角三角形相似，正确；

③两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；

④两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本小题错误；

⑤两个正方形相似，正确；

综上所述，正确的结论是①②⑤．

故答案为：①②⑤

【分析】根据相似图形的定义，可得知图形是否相似。

14．【答案】18

【知识点】相似图形

【解析】【解答】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，

∴相似比=1：3，

∴面积比=（1：3）2=1：9，

∴这次复印出来的图案的面积=2×9=18（cm2）．

故答案为：18．

【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方，求解

15．【答案】13

【知识点】相似图形

【解析】【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．

故答案为：13

【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似，依据相似形的性质即可解决。

16．【答案】解：观察、分析可得上述图形中：（1）和（8）是相似图形；（2）和（6）是相似图形；（3）和（7）是相似图形.

【知识点】相似图形

【解析】【分析】利用相似图形的定义，可得出已知图形中的相似图形。

17．【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，∴四边形EAFG为矩形．∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB．又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE=GF．∴四边形EAFG为正方形．∴四边形AFGE与四边形ABCD相似

【知识点】正方形的判定与性质；相似图形

【解析】【分析】先根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形EAFG为矩形．再证明一组邻边相等的矩形是正方形，可得出四边形EAFG为正方形．继而可证得结论。

18．【答案】解：∵相似矩形的对角线分别为42cm和48cm，

∴相似比为42：48=7：8，

∴面积的比为49：64≈76.6%，

∴油画A的面积是油画B的76.6%．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方求解。

19．【答案】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°

在四边形EFGH中，∠β=360°-83°-78°-118°=81°，

∵四边形ABCD∽四边形EFGH．

∴EH：AD=EF：AB，

∴x：21=24：18，

解得x=28，

∴EH=28cm

【知识点】相似图形

【解析】【分析】利用相似多边形的对应角相等的性质以及四边形的内角和等于360°即可求出∠α、∠β的大小；再利用相似多边形对应边的比相等的性质列出比例式求解即可。

20．【答案】解：AE＝3.6．理由如下：

∵矩形EFCD∽矩形ADCB，∴ED：EF=AB：AD，得（10-AE）：8=8：10，10-AE＝6.4，则AE＝10－6.4＝3.6．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得ED：EF=AB：AD，将已知条件代入可得关于AE的方程，解方程即可求解。

21．【答案】解：（1）这两个足球的形状相同，大小不等．

（2）这两个正方形物体的形状相同．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】通过观察，（1）中的两个足球的形状是相同的，只是大小不同．（2）中的两个正方体，虽然左边正方体上有黑边，但形状还是相同的．

22．【答案】解：小圆柱的体积是：（2a）2π•2b=23a2bπ，

大圆柱的体积是：（3a）2π•3b=33a2bπ，

所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23：33．

所以它们的体积的比为：8：27．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】运用圆柱体的体积公式分别求出两个圆柱体的体积，然后求出它们的体积的比．

23．【答案】解：因为木条制成的图形固定，点D和点D′的相对位置固定，

所以点D处的粉笔画图时，点D′处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，

因此是相似图形．

【知识点】相似图形

【解析】【分析】因为A，B，C三点钉上钉子，则这个图形就固定下来，点D和点D′的相对位置确定，所以用D′画图时，D处的笔画的图与它的形状相同，是相似图形．

24．【答案】解答：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；

②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；

③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；

④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．

∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．

【知识点】菱形的性质；矩形的性质；相似图形

【解析】【分析】根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确答案．此题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．