冀教版七年级上册2.7 角的和与差优质导学案

这是一份冀教版七年级上册2.7 角的和与差优质导学案，共11页。学案主要包含了我的疑惑，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

2.7 角的和与差
学习目标：
1.理解角的和差、角平分线的几何意义；(重点）
2.掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算；（难点）
3.了解余角与补角的概念，理解余角与补角的性质并会进行运用.（重点、难点）
学习重点：理解角的和差、角平分线的几何意义，了解补角和余角的概念.
学习难点：角的和差计算、余角及补角性质及其运用.
自主学习

一、 知识链接
1. 线段的和与差
Ｂ
Ｃ
A
如图1，AC=_______+________;
图1
　　　BC=_______-_________;
AB=_______-_________.
2.线段的中点
如图1，若点B是线段AC的中点，则AB=_______=_________;AC=_____=________.
3. 计算
45°26’40’’=_______°； 56.435°=___°____’_____’’ .
A
B
4.等式的性质：等式的两边同时__________同一个数，等式仍然成立.
C
二、 新知预习
O
1. 角的和与差
图2
如图2：∠AOB=∠ +∠ ，∠AOC=∠ -∠ ,
∠COB=∠ -∠ .
2.角的平分线
(1) 如图2，如果∠AOC=∠BOC，那么射线OC是∠AOB的角平分线.
角平分线的定义：_______________________________________________
符号语言：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
(∠AOB=2∠ 或∠AOB =2∠ ;或∠AOC=∠ ，∠BOC =∠_____ )
D
S
F
E
(2)
A
B
O
C
(1)
3.补角与余角




在图（1）中，∠AOB=90°;在图（2）中，∠DSF=180°,显然有
∠ +∠ =∠AOB=90°;
∠ +∠ =∠DSF=180°.
①如果两个角 ，我们就称这两个角互为余角，简称 .其中一个角叫另一个角的 .
②如果两个角 ，我们就称这两个角互为补角，A
B
C
D
O
图3
简称 .其中一个角叫另一个角的 .
三、 自学自测
1.如图3，填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB+∠BOC= ;
(2) ∠BOC=∠BOD- ;
(3) ∠AOD=∠AOB+∠COD+ ;
D
(4) ∠BOD=∠DOA-∠COA+ .
C
2、如图4，若∠AOB =∠BOC =∠COD，则OB 是 的平分线，
B
= ∠AOC，
图4
A
O
∠BOC = = = = .
3.若∠A=34°,则∠A的余角的度数是________;∠A的补角的度数是_______.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

合作探究

一、 要点探究
探究点1：角的和差关系及运算
例1：如图，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC＝51°.

(1)求∠AOD的度数．
(2)求∠AOB和∠DOC的度数．
(3)∠AOB与∠DOC有何大小关系？
【归纳总结】在利用角的和、差关系进行计算时，首先要弄清题意，理清各角之间的数量关系，用两个角的和或差表示第三个角，如果知道任意两个角的度数，第三个角的度数可以通过运算求出来．
例2：两个角的度数之比为7：3，它们的差为36°，求这两个角.

【归纳总结】根据题意，列出方程，求出这两个角的度数.

【针对训练】
1．已知∠AOB＝138°，∠AOC＝∠BOD＝90°.求∠COD的度数．

2．已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3的两个角，那么∠AOC的度数为( )
A． 40° B．40°或80° C．30° D．30°或90°


探究点2：角的平分线的应用
例2：如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．


【归纳总结】解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量．
【针对训练】
1．如图，射线OC平分∠AOD，射线OD平分∠COB，则下列结论错误的是(　　)

A．∠AOC＝∠BOD B．∠AOD＝2∠BOD
C．∠BOC＝2∠COD D．∠AOB＝2∠AOD
2．如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，ON平分∠MOB，则∠AON＝______.

探究点3：角的度、分、秒的计算
例3：计算：
(1)12°59′57″＋57′58″； (2)97°3′12″－1°45′53″.

【归纳总结】角的度、分、秒进行加、减运算时，度与度加、减，分与分加、减，秒与秒加、减．分秒相加时逢60要进位，相减时要借一作60.
注意：角的度、分、秒进行加减运算时，运算时需将单位化成一致，再进行运算.
【针对训练】
计算：
(1)103.3°＋176°42′－98.34°.
(2)24°22′36″×3.

探究点4：补角与余角
合作探究
（1）图中给出的各角，那些互为补角？







（2）填下列表：
∠a
∠a的余角
∠a的补角
5°


32°


45°


77°


62°23′


x°


结论：同一个锐角的补角比它的余角大___________________.
（3）填空：
①70°的余角是　 ，补角是　 　 .
②∠a（∠a <90°）的它的余角是 ，它的补角是 .


（4） 余角与补角的性质
如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗？试着说明理由.
解：因为∠1和∠2都是∠α的余角
所以∠1+∠α= °，∠2+∠α= °，
所以∠ +∠ =∠ +∠ ，
所以∠ =∠ .
②如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3和∠4相等吗？试说明理由.
解：因为∠3和∠4都是∠β的补角
所以∠3+∠β= °，∠4+∠β= °，
所以∠ +∠ =∠ +∠ ，
所以∠ =∠ .


由此得出结论： .
例5：一个角的余角比这个角的补角的少20°，则这个角为（ ）
A.30° B.40° C.60° D.75°
【归纳总结】解有关互为余角或互为补角的问题时，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下我们可以引进未知数来构造方程求解.
例6：如果∠AOB+∠BOC=90°, ∠BOC与∠COD互余，那么∠AOB和∠COD的关系是（ ）
A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定
【归纳总结】同角（等角）的余角相等.
【针对训练】
1.若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数.
2.如图，∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？则∠3与∠2是什么关系？






二、课堂小结

内容
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条______把这个角分成的两个角_____,那么这条射线叫做这个角的___________.
余角与补角
①如果两个角 ，我们就称这两个角互为余角，简称 .其中一个角叫另一个角的 .
②如果两个角 ，我们就称这两个角互为补角，简称 .其中一个角叫另一个角的 .
余角与补角的性质
_______(或______)的余角相等；
_______(或______)的补角相等.

当堂检测


1．点P在∠MAN内，现有如下等式：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分线的等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，下列结论中正确的个数是( )
①∠AOB＝∠COD　②∠AOD＝3∠BOC
③∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOD
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，OD是∠AOC的平分线，OC是∠BOD的平分线，且∠COD＝40°，则∠AOB＝( )
A．80° B．100° C．120° D．160°
（第2题） (第3题)

4.一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ）
A.30º B.45º C.60º D.90º

D
5．如图，已知∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则下列四个结论：①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠BOC＝∠AOB；④∠DOC＝3∠BOC.其中正确的是( )
第5题
C
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
B

A
O

6.若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ）
A.∠1 B.∠1+∠2 C.（∠1+∠2） D.（∠2-∠1）
7．已知∠与∠互补，且∠=35º18′，则∠=________.
8．如图，点O是直线AB上一点，已知∠BOD＝30°，OE平分∠AOD，那么∠AOE的度数是____．
9．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则图中与∠AOD相等的角有___个，与∠AOC相等的角有___个．
10．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOC＝80°，那么∠BOC＝_______；
(2)如果∠AOC＝80°，∠COE＝50°，那么∠BOD＝____．
　
(第8题) (第9题)　 (第10题)
11．如图，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE.如果∠COE＝80°，求∠EOB与∠AOC的度数．


12．如图，∠COD是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝50°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，求∠MON的度数．



13..如图，∠AOB=90º，∠AOC=30º，且OM平分∠BOC， ON平分∠AOC，
（1）求∠MON的度数．
（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数
（4）从上面结果中看出有什么规律？




































当堂检测参考答案：
1. D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.D
7.144°42’
8.75°
9.3 2
10. 40° 65°
11.【解】　∵∠COE＝80°，AB，CD交于点O，
∴∠EOD＝180°－∠COE＝100°.
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB＝∠BOD＝∠EOD＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°.
12.【解】　∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC＝∠AOC＝×40°＝20°，
∠NOD＝∠BOD＝×50°＝25°.
又∵∠COD是平角，
∴∠MOC＋∠MON＋∠NOD＝180°，
∴20°＋∠MON＋25°＝180°，
∴∠MON＝135°.
13.（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=120°
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=60°，∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°．
（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，
∴∠BOC=α+30°
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=+15°，∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON= ．
（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，
∴∠BOC=90°+β
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=45°+ ，∠CON= ．
∴∠MON=∠COM－∠CON=45°．
（4）从上面的结果中，发现：
∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．