【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 复数

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 复数，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复数
一、单选题
1．若复数，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A． B． C． D．
2．已知a，，i是虚数单位.若，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知是虚数单位，若，则复数z的虚部为（     ）
A．3 B．－3i C．-3 D．3i
4．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（       ）
A． B．y＝
C． D．
5．（       ）
A． B． C． D．
6．若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限
7．已知复数z满足，则的虚部为（       ）
A．-i B．i
C．-1 D．1
8．若，则（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（       ）
A．
B．
C．若，则的虚部为
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．定义：设非零复数z对应的点为M，角q(0≤q≤2p)的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边为射线OM，则称角q为复数的幅角，记作q=argz如图所示的阴影区域(含边界)所对应的集合是（       ）

A．{z||z|=1，≤argz≤ } B．{z||z|=1，Imz≥ }
C．{z||z|≤1，≤argz≤ } D．{z||z|≤1，Imz≥ }
11．已知复数的实部与虚部相等，则（       ）
A． B． C． D．
12．下列命题中正确的有（       ）
A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则； D．若复数，则．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知复数，则复数 的虚部为______
14．设a∈C，a≠0，化简：=______ .
15．已知方程有两个虚根，，若，则m的值是___________.
16．复数在复平面上对应的点在第______象限．
四、解答题
17．求复数的模与辐角．
18．计算i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
19．复数，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
20．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
21．已知，且，求的值．
22．已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.
【详解】

故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
利用复数相等求出a，b，再借助复数平方运算计算作答.
【详解】
因，a，，则有，
所以.
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可得答案.
【详解】
由题得，所以复数z的虚部为－3.
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
将复数化为z＝a＋bi的形式即可求出A，将A的坐标代入选项的函数验证即可.
【详解】
因为＝＝－＋i，
所以a＝－，b＝，所以A，
把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算直接计算作答.
【详解】
.
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
根据复数的分类，纯虚数的概念，求出a，即可判断出点得象限．
【详解】
∵复数﹣4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部﹣4＝0①，虚部a＋2≠0②，由①②解得a＝2.
故对应的点为(4，－2)位于第四象限.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算和复数的共轭复数以及复数的有关概念求解.
【详解】
，
，即虚部为1.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算及复数的摸公式即可求解.
【详解】
由，得，
所以，
所以.
故选：B.
9．AD
【解析】
【分析】
根据的幂指数运算的周期性可知A正确；由虚数无法比较大小知B错误；根据复数乘方运算和虚部定义可知C错误；设，化简已知等式可得所求轨迹为，知D正确.
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，虚数无法比较大小，B错误；
对于C，，则的虚部为，C错误；
对于D，设，则，，
整理可得：，即在复平面内对应的点为，轨迹为直线，D正确.
故选：AD.
10．CD
【解析】
【分析】
根据题中所给的图，可以判断出其模的范围，根据阴影区域内点的纵坐标的范围，得到其虚部的范围，结合复数幅角主值的取值范围，最后得到正确选项.
【详解】
因为阴影区都在单位圆内部，
所以，所以A、B不正确，
因为复数的幅角主值取值范围为，
所以，所以C正确，
从图中可以发现，阴影区点的纵坐标的取值范围为，
即其虚部的取值范围为，所以D正确，
故选：CD.
11．ACD
【解析】
【分析】
利用复数的除法，算出复数的实部和虚部，逐项验证即可.
【详解】
∵，
∴，解得，则，.
故选：ACD.
12．AD
【解析】
【分析】
根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.
【详解】
对于A中，设复数，
可得，
因为，可得，所以，所以A正确；
对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.
故选：AD
13．3
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，计算出复数的值，然后求出复数的共轭复数，最后写出的虚部.
【详解】
，
，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
14．－i
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算即可.
【详解】
，
故答案为：－i.
15．##2.5
【解析】
【分析】
由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出的代数形式，代入计算作答.
【详解】
因，是方程有两个虚根，设，则，
由得：，解得，
又，即，因，
于是得：，解得，，
所以m的值是.
故答案为：
16．二
【解析】
【分析】
判断复数的实部和虚部的正负后可得．
【详解】
由已知，，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．
故答案为：二．
17．答案见解析
【解析】
【分析】
根据三角函数诱导公式得到，得到答案.
【详解】
，，
故．
由此可知，这个复数的模为2，辐角为．
18．1010＋1011i
【解析】
【分析】
根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.
【详解】
原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
19．(1)或
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
(1)
因为z为实数，所以，解得或
(2)
由z为纯虚数，则解得
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或
20．(1)1＋7i
(2)1－34i
(3)－1
(4)5＋i
【解析】
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
21．
【解析】
【分析】
根据复数的乘方运算及复数的相等可求解.
【详解】
，解得.
22．(1)；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）设，得出和，根据题意即可求出；
（2）表示出，根据对应的点在第四象限可得不等关系求解.
(1)
设，则，
，
因为和均为实数，所以，解得，
所以，则；
(2)
，
因为对应的点在第四象限，所以，解得或.