【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 平面向量及其应用C

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 平面向量及其应用C，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

平面向量及其应用
一、单选题
1．已知向量，，，满足，，，，则与的夹角为（       ）
A． B．
C． D．
2．内角、、的对边分别为、、，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
3．在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．1
4．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（       ）
A． B． C． D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（       ）
A． B．1 C． D．
6．《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转，且为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从点前进到点有两条路径：①和②．假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理是（       ）

A．平面向量基本定理 B．共线向量基本定理
C．有一内角为直角的平行四边形是矩形 D．两直线平行，同旁内角互补
7．若，，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（       ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
9．在中，，，其中，，，，，则（       ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心
C．若，则N是重心 D．若，则I是内心
11．已知平面向量，，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论正确的是（       ）

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B．若，，则
C．若，则
D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的7倍
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．向量，，，，则___．
14．已知，若，则________.
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.

16．已知平面向量､的夹角为，且，，则与的夹角等于___________.
四、解答题
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求C；
(2)若，求面积的最大值．
18．已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型．

20．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
21．在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？
22．已知数轴上三点A，B，C分别代表实数－8，－2，5，求分别代表，，的实数．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】
因为，故可得，又，故，
代值得，则，则，
故可得与的夹角为.
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
利用正弦定理可求得边的长.
【详解】
由正弦定理得.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值.
【详解】
由题设，且，可得，，
所以，又，，
所以，即.
故选：B.
4．B
【解析】
【分析】
利用共线向量定理求解.
【详解】
因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可得，再根据正弦定理的边角关系有，代入整理化简即可得结果.
【详解】
由，则，
又，有，即，
所以，整理得，故.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本定理可得出结论.
【详解】
由图可知，从点到点的两条路径①和②，这两条路径的起点和终点都相同，
由平面向量的基本定理可知，若转弯不改变线条的速度，
结合图形可知，两条路径在行进的两个方向的路程相同，则两条路径所需时间一定相同.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】
因为，所以，，即.
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
由正弦定理求b，再由三角形面积公式求解.
【详解】
因为，
由正弦定理化角为边可得，所以，
所以的面积.
故选：A
9．AD
【解析】
【分析】
当时，，再把用表示可判断A；
当时是边长为4的等边三角形，由可判断B；
当时，，两边平方化简可判断C；       
当时，，计算出，
，由向量夹角公式可判断D.
【详解】
因为，所以与的夹角为，
当时，，
故A正确；

当时，，所以是边长为4的等边三角形，
，所以B错误；

当时，，所以
，
所以，故C错误；       

当时，，
，
所以
，
，
所以，
因为，所以，故D正确.

故选：AD.
10．ABC
【解析】
【分析】
根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】
根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.
故选：ABC.
11．AC
【解析】
【分析】
根据向量平行和垂直的坐标关系即可判断.
【详解】
对A，若，则，解得，故A正确；
对B，若，则，解得或3，故B错误；
对C，若，则，，则，故，故C正确；
对D，若，则，解得，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【解析】
【分析】
对于A选项，根据题意，，，进而判断；对于B选项，由题知，在中，，，，进而结合正弦定理解三角形判断；对于C选项，不妨设，进而由余弦定理得，所以，再计算比值即可判断；对于D选项，由题知，进而.
【详解】
解：对于A选项，根据题意，图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，故，，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A选项正确；
对于B选项，由题知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因为，所以，故B选项正确；
对于C选项，不妨设，所以在中，由余弦定理得，代入数据得，所以，所以，故C选项错误；
对于D选项，若是的中点，则，所以，故D选项正确.
故选：ABD
13．
【解析】
【分析】
利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.
【详解】
由已知可得，解得，则，
所以，，因此，.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
直接由勾股定理求值即可.
【详解】
由勾股定理可知，，即.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，
AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算
即可求出向量的数量积.
【详解】
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴.
16．##
【解析】
【分析】
由题可得，，再利用夹角公式即得.
【详解】
∵平面向量､的夹角为，且，，
∴，c→⋅a→=a→−b→⋅a→=a→2−b→⋅a→=1−12=12，
，
∴，
所以与的夹角等于.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化为整式，再利用正弦定理化简为，结合角的关系可求;
（2）根据及基本不等式求出的最大值，利用面积公式可得结果.
(1)
由得，
，
故，
由正弦定理得，
即，
即，
故，即，故；
或，不合题意，舍去．
故．
(2)
因为，故，
则，
当且仅当时，取得最大值，
故面积的最大值为．
18．(1)
(2)
(3)0
(4)49
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标公式进行计算；（2）利用向量的坐标线性运算法则及向量数量积的坐标公式进行计算；（3）利用向量的坐标线性运算法则及向量数量积的坐标公式进行计算；（4）先求出，进而求出.
(1)

(2)

(3)

(4)
，所以
19．.
【解析】
【分析】
在中，正弦定理可得PB，在中，由正弦定理可得，再计算，即可得出答案．
【详解】
在中，，，
由正弦定理可得，
∴，
在中，∵，，
∴，
由正弦定理可得，
∴，
∴.
20．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】
(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：

(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：

21．详见解析.
【解析】
【分析】
利用相等向量和相反向量的定义判断.
【详解】
如图所示：

因为P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，
所以，且，
所以在向量，，，，，中，
与相等的向量有，，
与的相反向量有，.
22．，，
【解析】
【分析】
根据题意结合向量坐标运算求解即可.
【详解】
由数轴上三点A，B，C分别代表实数－8，－2，5，所以代表的实数为
代表的实数为，代表的实数为.