【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 平面向量及其应用B

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 平面向量及其应用B，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

平面向量及其应用
一、单选题
1．已知向量且，则m＝（       ）
A．－5 B．－3 C．3 D．5
2．已知单位向量，满足，则向量与的夹角是（       ）
A．0 B．π C．0或π D．
3．若非零向量、满足，且，则与的夹角为(       )
A． B． C． D．
4．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（       ）

A． B．
C． D．
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（       ）
A． B． C．3 D．
6．在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（       ）
A． B． C． D．
7．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（       ）
A． B． C． D．
8．气象台正南方向的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（     ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如果，，都是非零向量.下列判断正确的有（       ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（       ）
A．sin(B+C)=sinA
B．cos(B+C)=cosA
C．若，则为直角三角形
D．若，则为锐角三角形
11．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若，，则下列各式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
12．（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（       ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知(，是同一平面内的两个不共线向量)，则________.(用，表示)
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，则△ABC的面积等于__________.
15．已知锐角的面积为9，，点D在边上，且，则的长为__________．
16．已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于____；
四、解答题
17．在中，a＝3，，，解这个三角形，并求的面积．
18．（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求；
（2）设O是正n边形的中心，求．
19．已知任意两个非零向量，，若，，，你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？
20．在中，角A，，所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小，
(2)若，求面积的最大值，并求出此时对应，的值．
21．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角B的值；
(2)若，点D是边BC的中点，且，求b.
22．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)在中，，，且锐角B满足，求b的值．

参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据向量的线性坐标运算求得向量，再由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.
【详解】
解：由题意得.
又，∴ ，解得m＝－5.
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
由得到，进而化简求得答案.
【详解】
设向量与的夹角为，单位向量，满足，
，解得．，．
故选：B．
3．B
【解析】
【分析】
根据数量积的定义和运算法则即可计算.
【详解】
，

，
∴，
.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB.
【详解】
在中，，
所以，有，所以，
在中，，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得

，
所以，即两个基站A、B之间的距离为.
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
由正弦定理求b，再由三角形面积公式求解.
【详解】
因为，
由正弦定理化角为边可得，所以，
所以的面积.
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
在中，利用余弦定理先求得，再在中利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理求得的长．
【详解】
在中，由余弦定理有，
所以，
在中，由余弦定理有，
又，所以，
在中，由余弦定理有
，
所以．
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：




,
解得.
故选：.
8．D
【解析】
【分析】
利用余弦定理进行求解即可.
【详解】
如图所示：设台风中心为，，小时后到达点处，即，

当时，气象台所在地受到台风影响，
由余弦定理可知：
，于是有：，
解得：，
所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是，
故选：D
9．ACD
【解析】
【分析】
利用平行向量的定义可判断AD，利用数量积的概念及性质可判断BC.
【详解】
∵，，都是非零向量，
∴若，，则，故A正确；
若，，则，但不一定等于，故B错误；
由，可得，整理可得，所以，故C正确；
若，则，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.
【详解】
依题意，中，，，A正确；
，B不正确；
因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；
因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.
故选：AC
11．ACD
【解析】
【分析】
根据欧拉线定理可判断A；利用向量的加、减运算可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断D.
【详解】
A，由题意可得，即，故A正确；
B，由是的重心可得,
所以，故B错误；
C，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，

易知分别是的中点，则

，故C正确；
D，因为是的重心，所以，
故
，
由欧拉线定理可得,
所以，故D正确.
故选：ACD
12．AC
【解析】
【分析】
先将化简，进而根据平面向量的定义判断答案.
【详解】
由题意，，易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
13．
【解析】
【分析】
设，可得，联立方程，即可求得答案.
【详解】
设
则
，
，不共线，
，解得
故
故答案为：.
14．1
【解析】
【分析】
由正弦定理得出，再由公式得出面积.
【详解】
由正弦定理可知，因为，所以，即△ABC的面积为.
故答案为：
15．4
【解析】
【分析】
先求出，利用面积为9求出，在中，由余弦定理求出．
【详解】
因为，所以，所以，则，所以，所以，，所以．
在中，由余弦定理得，解得．
故答案为：4
16．##120°
【解析】
【分析】
利用夹角公式求出向量与的夹角.
【详解】
因为，所以，即，
所以，所以.
而，所以，
因为，所以.
故答案为：
17．，，，或，，，
【解析】
【分析】
由正弦定理求，再由角的关系判断三角形形状可解三角形，最后用面积公式直接求面积.
【详解】
因为a＝3，，
所以，得
因为，所以或
当时，，故
此时
当时，，故
此时
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据正多边形的性质，将正边形绕中心顺时针旋转，易知中心与各顶点的连线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果.
【详解】
（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图：

向量在旋转后对应位置为，
所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
（2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，
同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
19．A，B，C三点共线
【解析】
【分析】
利用向量的减法运算律和共线向量定理求解即可.
【详解】
由题意得
∵，
，
∴，即向量和向量共线，
∴A，B，C三点共线.
20．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）用诱导公式化简，整理后由三角形射影定理可得；
（2）余弦定理结合重要不等式可解.
(1)
由，得
所以
所以，即
因为，所以
(2)
由余弦定理得：
所以
所以
所以，
当且仅当时，有最大值
21．(1)
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；
（2）分别在和△中使用余弦定理即可求解.
(1)
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，
又∵，∴.
(2)
在中，，，，
由余弦定理得，
整理得，解得（舍去）
在△中，由余弦定理得，
即，解得.
22．(1)；
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先把化简为，即可求出值域；
（2）先求出角B，利用余弦定理即可求出b.
(1)
.
当时，，所以，所以，
即函数的值域为.
(2)
因为锐角B满足，所以，解得：
在中，，，，
由余弦定理得：.
即边长.