【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 三角函数B

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 三角函数B，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

三角函数
一、单选题
1．已知函数（其中）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（       ）

A． B．
C． D．
2．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（       ）

A．
B．
C．
D．
3．设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的说法正确的是（       ）
A．图象关于直线对称 B．图象关于对称
C．图象关于点中心对称 D．图象关于点中心对称
5．将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．则图象的一个对称中心为（       ）
A． B． C． D．
6．与-2022°终边相同的最小正角是（       ）
A．138° B．132° C．58° D．42°
7．已知函数在上恰有三个零点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
8．将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，已知的图象关于原点对称，则的最小正值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多选题
9．下面选项正确的有（       ）
A．分针每小时旋转弧度
B．中，若，则
C．在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点
D．函数是奇函数
10．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．函数在区间上单调递减
C．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若对任意的恒成立，则
11．已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．下列函数中，最小正周期为的有（       ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．
14．若，则________.
15．已知函数的部分图象如图所示．

①函数的最小正周期为；
②函数在单调递减；
③函数的图象关于直线对称；
④该图象向右平移个单位可得的图象，则下列说法正确的是__________．
16．已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则________．
四、解答题
17．已知函数，函数的最小正周期为.
(1)求函数的解析式，及当时，的值域；
(2)当时，总有，使得，求实数m的取值范围.
18．已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.

(1)求函数的解析式：
(2)设函数，若在区间上单调递减，求的最大值.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.
19．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求sin的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）．
20．已知函数，函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，再将图像向左平移个单位得到.
(1)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
21．已知函数．
(1)求的最小正周期及最大值；
(2)求在区间上的值域．
22．函数的部分图象如图所示.

(1)求A，，的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式.
【详解】
由图知：且，则，
所以，则，即，
又，可得，，则，，
又，即有.
综上，.
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据图象求出函数的解析式，再根据平移变换求出的解析式.
【详解】
由图可知；设周期为，则，所以；
又，所以.
由，，令，得.
所以；
因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，
所以.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数以及三角函数的单调性分别判断的范围，即可比较大小.
【详解】
因为，即；，即可；
，即，故.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的平移变换可得，结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.
【详解】
由题意得，，
∴，，，
故A，B，D错误，又，
∴图象关于点中心对称．
故选：C．
5．A
【解析】
【分析】
利用正弦函数的对称中心，结合伸缩变换，即可求解的对称中心.
【详解】
正弦函数的对称中心是，若图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，那么对称中心是，，当时，对称中心是
，A符合，其他选项不成立.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.
【详解】
由-2022°，
所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
根据题意，将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，
由正弦函数的性质可知，，
所以，即的取值范围为.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
根据图象平移求出g(x)解析式，g(x)为奇函数，则g(0)＝0，据此即可计算ω的取值.
【详解】
根据已知，可得，
∵的图象关于原点对称，所以，从而，Z，
所以，其最小正值为3，此时．
故选：B．
9．BD
【解析】
【分析】
A选项，按照角的定义进行判断；B选项，结合三角形中角的范围可以求解；C选项，画出函数图象即可确定交点个数；D选项，利用定义判断函数的奇偶性.
【详解】
分针每小时旋转一圈且顺时针旋转，即弧度，A错误；
中，，若，则，B正确；
在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象如图所示，

两图象只有一个交点，C错误；
函数定义域为，且，故函数是奇函数.
故选：BD
10．ACD
【解析】
【分析】
直接利用函数的关系式，利用正弦型函数的性质的应用和恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】
函数，
对于A：f（）＝＝1，故A正确；
对于B：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故B错误；
对于C：将函数的图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，故C正确；
对于D：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，
由于，
所以，故当x＝0时取得最小值，故a＜﹣1，故D正确．
故选：ACD．
11．ABC
【解析】
【分析】
由所在的象限求出的范围，再求出的范围，最后对分类讨论，即可判断；
【详解】
解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；
故选：ABC
12．AB
【解析】
【分析】
逐项分析即得.
【详解】
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，的最小正周期为，故B正确；
对于C，的最小正周期为，故C错误；
对于D，的最小正周期为2，故D错误.
故选：AB.
13．(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数解析式.
【详解】
由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，
所以满足题设要求.
故答案为：(答案不唯一)
14．
【解析】
【分析】
由，可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简，再代值计算即可
【详解】
由，得，
所以

，
故答案为：
15．③④
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
【详解】
解：根据函数，，的部分图象，
可得，，
所以，
利用五点法作图，可得，可得，
所以，
可得函数的最小正周期为，故①错误；
当，，，函数没有单调性，故②错误；
令，求得，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故③正确；
把的图象向右平移个单位可得的图象，故④正确.
故答案为：③④.
16．1
【解析】
【分析】
根据对数的运算及性质化简可得，再由三角函数的定义求解即可.
【详解】
由题意知，，
即，
化简得，
则
故答案为：1
17．(1)，值域为
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦函数的周期求得得解析式，利用正弦函数的性质可得函数值域；
（2）利用时，的值域是集合的子集，分类讨论求得的最大值和最小值，得出不等关系，从而得出结论．
(1)
，.
因为，所以，所以的值域为.
(2)
当时，总有，使得，
即时，函数的值域是的子集，即当时，.
函数，其对称轴，开口向上.
当时，即，可得，，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以.
当时，即，可得，，
所以，此时无解.
综上可得实数m的取值范围为.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由图象可知，若选①②可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选①③可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选②③可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式.
（2）结合（1）可得函数解析式，进而可求函数的单调区间，根据单调性可得参数的取值范围.
(1)
选条件①②：
因为，所以，即，则.
由题意可知，则.
因为，，
所以，即.
因为，所以，.
所以.
选条件①③：
因为，所以，即，则.
由题意可知，则.
因为，，
所以，即.
因为，所以，.
所以.
选条件②③：
因为，，所以，即，则.
由题意可知，则.
因为，，
所以，即.
因为，所以，.
所以.
(2)
由题意得.
函数的单调递减区间为.
由，
得.
因为函数在区间上单调递减，且，此时.
所以，所以的最大值是.
19．(1)；
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的定义直接求解；
（2）先求出角，即可写出与角终边相同的角的集合；
（3）过O作于H，表示出，，分别表示出扇形面积和三角形面积，即可求出弓形AB的面积.
(1)
因为角的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以.
由三角函数的定义，可得：.
(2)
当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则，即，
所以，即与角终边相同的角的集合.
(3)


弓形AB的面积:.
扇形的圆心角为，所以.
过O作于H，则，，
所以.
所以.
20．(1)；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数图像变换规律得函数的解析式，再由整体法，计算函数的值域，令，换元后可得，再由二次函数的性质得函数的值域，列不等式即可求解的取值范围；（2）作出函数的图像，再数形结合，由交点个数列不等式，求解的取值范围
(1)
由题意，可得，若，则，所以，令，，所以，令，对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，由题意可知，，可得的取值范围为.
(2)
由（1）知，作出函数的图像如图所示，因为函数在区间上有且只有一个零点，即函数与的图像在区间上有且只有一个交点，又，，由图可知，当或，故的取值范围为或.

【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
21．(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用周期公式及正弦函数的性质即得；
（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.
(1)
∵函数，
∴最小正周期，
∵，，
∴当时，.
(2)
当时，，
∴当时，即时，，
当时，即时，，
∴在区间上的值域为.
22．(1)，，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据函数的部分图象即可求出A，，然后代入点，由即可求出的值；
（2）根据三角函数的图象变换先求出函数的解析式，然后利用，结合即可确定的值.
(1)
解：由图可知，，，所以，即，所以.
将点代入得，，
又，所以；
(2)
解：由（1）知，
由题意有，
所以，即，
因为，所以，
所以或，即或，
所以的值为或.