【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 三角函数A

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 三角函数A，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

三角函数
一、单选题
1．已知角的终边过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．半径为2，圆心角为的扇形的面积为（       ）
A． B． C． D．2
3．将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（       ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（       ）

A． B．
C． D．
5．已知函数（其中）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（       ）

A． B．
C． D．
6．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（       ）

A．2.58m2 B．2.68m2 C．2.78m2 D．2.88m2
7．在平面直角坐标系中，角终边上一点P的坐标为，则（       ）
A．－ B．－ C．－2 D．
8．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数的单调递增区间为（       ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（       ）
A．为偶函数
B．的周期为
C．在上单调递减
D．在上有3个零点
10．关于函数有下列说法：其中正确说法的是（       ）
A．的最大值为
B．是以为最小正周期的周期函数
C．在区间上单调递减
D．将函数的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合
11．下列函数中，最小正周期为的有（       ）
A． B． C． D．
12．已知，下列关系正确的是（       ）
A．“”是“为奇函数”的充分条件
B．“”是“为奇函数”的必要条件
C．函数周期为
D．函数在上递增.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知角的终边经过点，则__________.
14．若，则________．
15．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为__________.
16．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)求函数的单调递增区间．
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：



















(1)请根据上表数据，求函数的解析式；
(2)关于的方程区间上有解，求的取值范围；
(3)求满足不等式的最小正整数解．
19．已知函数.
(1)求的单调减区间；
(2)求证：的图象关于直线对称.
20．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求的值.
21．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
22．已知的部分图象如图所示，是函数图象上的一个最低点，是函数图象与x轴的一个交点.


(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的值域.

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案.
【详解】
由题意，点的坐标为，则.
故选：C.
2．D
【解析】
【分析】
利用扇形的面积公式即得.
【详解】
由题可得.
故选：D．
3．B
【解析】
【分析】
先求出平移后的函数解析式，再由偶函数的定义列方程求解即可
【详解】
将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到函数为
，
因为函数为偶函数，
所以，得，
所以只有选项B符合题意，
故选：B
4．D
【解析】
【分析】
如图，根据题意可得，利用三角函数的定义和诱导公式求出，进而得出结果.
【详解】
如图，

由题意知，，
因为圆的半径，所以，
所以，
所以，
即点.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式.
【详解】
由图知：且，则，
所以，则，即，
又，可得，，则，，
又，即有.
综上，.
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
利用扇形面积公式来求得扇环的面积.
【详解】
设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，
由题意可知，所以，
所以扇形内需要进行工艺制作的面积的估计值为：
.
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义计算可得；
【详解】
解：因为角终边上一点P的坐标为，所以，
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
由题意得，，即可求出，再根据函数过点，代入即可求出，即可可得函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：由题意得，，则，∴，∴.
∵，∴，又，∴，
∴，令，解得，∴的单调递增区间为.
故选：C.
9．AD
【解析】
【分析】
A由奇偶性定义判断；B求的解析式，判断与是否相等；C由条件可得，结合正弦函数性质判断单调性；D由题设得，根据正余弦函数的性质画出图象，数形结合判断零点个数.
【详解】
A：且定义域为R，即为偶函数，正确；
B：，错误；
C：在上，又，故在上不单调，错误；
D：在上，故其图象如下：

∴在上有3个零点，正确.
故选：AD.
10．ABC
【解析】
【分析】
由，利用余弦型函数的性质依次判断，即得解．
【详解】
当，即时，，故选项A正确；
，故选项B正确；
令，即，即当取，有在区间上单调递减，故选项C正确；
将函数的图象向左平移个单位长度后，得与已知函数的图象不重合，故选项D错误.
所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
11．AB
【解析】
【分析】
逐项分析即得.
【详解】
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，的最小正周期为，故B正确；
对于C，的最小正周期为，故C错误；
对于D，的最小正周期为2，故D错误.
故选：AB.
12．ABC
【解析】
【分析】
利用正弦函数的性质逐项判断即得.
【详解】
∵，
若，可得，
则为奇函数，故“”是“为奇函数”的充分条件，A正确；
若为奇函数，则，
∴，所以“”是“为奇函数”的必要条件，B正确；
由可知函数周期为，C正确；
取时，在上单调递减，D错误.
故选：ABC.
13．
【解析】
【分析】
根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】
解：因为角的终边经过点，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
14．##0.5
【解析】
【分析】
利用诱导公式即得.
【详解】
∵，
∴.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
先求得半径，然后求得弧长.
【详解】
设扇形的半径为，
则，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：
16．36
【解析】
【分析】
首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】
解：依题意、 cm，所以，即 cm，所以；
故答案为：
17．(1)，对称轴方程为，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用正弦函数的周期性和对称性求解；
（2）利用正弦函数的单调性求解；
(1)
解：由函数知：
的最小正周期为，
令，，得，．
故的对称轴方程为，．
(2)
令，，
得，．
故的单调递增区间为，．
18．(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由表格中的数据可得出的值，根据表格中的数据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式；
（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围；
（3）分析可得或，分别解这两个不等式，得解集，令，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.
(1)
解：由表格数据知，，由，解得，
所以.
(2)
解：当时，，则，
所以在上的值域为，
因为方程区间上有解，所以的取值范围为.
(3)
解：因为，，
所以不等式即：，解得或，
由得，所以，
所以，；
由得，所以，
所以，.
令可得不等式解集的一部分为，
因此，解集中最小的正整数为．
19．(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调减区间为，，，求出的范围即可；
（2）要证的图象关于直线对称，即证.
(1)

，
由，得：，，
的单调减区间为，；
(2)
证明：∵，
∴，
，
∴，
∴的图象关于直线对称.
20．(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的定义可求的值.
（2）利用诱导公式可求三角函数式的值.
(1)
由题意可得，
所以，整理得，
解得或.
(2)
因为，所以由（1）可得，
所以，
所以.
21．(1)；
(2)最大值为3，最小值为.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用正弦型函数周期公式计算作答.
(2)求出函数相位的范围，再利用正弦函数的性质计算作答.
(1)
因函数，则周期，
所以的最小正周期为.
(2)
当时，，而正弦函数在上递增，在上递减，且，
因此，当，即时，取最大值1，则，
当，即时，取最小值 ，则，
所以的最大值为3，最小值为.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由图可得，从而利用周期公式可求出，再将坐标代入函数中可求出的值，从而可得函数的解析式；
（2）由，得，然后根据正弦函数的性质可求得函数的值域
(1)
设的最小正周期为T，
则由图知：，解得，
所以，可得，
因为是函数图象上的一个最低点，
所以，且
所以，当时，，所以.
(2)
因为，所以
所以，
所以函数在区间上的值域.