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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--1.1.2空间向量的数量积运算 练习（含解析）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--1.1.2空间向量的数量积运算 练习（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选修一1.1.2空间向量的数量积运算
（共18题）
一、选择题（共11题）
1. 已知四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，则 GE⋅GF 等于
A． 1 B． −1 C． 4 D． −4
2. 已知 O 为原点，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点 Q 在直线 OP 上运动，则 QA⋅QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为
A． 12,34,13 B． 12,23,34 C． 43,43,83 D． 43,43,73
3. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，M，N 分别为 A1C1，BC 的中点，则 AB⋅NM=
A． 2 B． −2 C． 10 D． −10
4. 设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足 AB⋅AC=0，AB⋅AD=0，AC⋅AD=0，则 △BCD 是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
5. 已知向量 a=1,2,3，b=−2,−4,−6，∣c∣=14，若 a+b⋅c=7，则 a 与 c 的夹角为
A． 30∘ B． 60∘ C． 120∘ D． 150∘
6. 已知空间三点 A−2,2,1，B−1,1,−2，C−4,0,2，若向量 3AB−AC 与 AB+kAC 垂直，则实数 k 的值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，若平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，则 cosθ=
A． n1⋅n2n1n2 B． n1⋅n2n1n2
C． n1n2n1⋅n2 D． n1n2n1⋅n2
8. 已知向量 a=1,1,0，b=−1,0,2，且 ka+b 与 2a−b 互相垂直，则实数 k 的值是
A． −1 B． 43 C． 53 D． 75
9. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是
A． 2AB⋅CA B． 2AC⋅FG C． 2AD⋅DC D． 2EF⋅DB
10. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 AE⋅AF 的值为
A． a2 B． 12a2 C． 14a2 D． 34a2
11. 设 A，B，C，D 是不共面的四点，且满足 AB⋅AC=0，AC⋅AD=0，AB⋅AD=0，则 △BCD 是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
二、填空题（共4题）
12. 已知空间向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，∣a∣=3，∣b∣=1，∣c∣=4，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a 的值为 ．
13. 正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为 ．
14. 已知向量 a，b 的夹角为 π3，且 a=2，b=1，则 a 与 a+2b 的夹角为 ．
15. 已知 O0,0,0，A1,2,1，B2,1,2，P1,1,2，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA⋅QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 ．
三、解答题（共3题）
16. 如图所示，在三棱锥 A−BCD 中，DA，DB，DC 两两垂直，且 DB=DC=DA=2，E 为 BC 的中点．
(1) 证明：AE⊥BC；
(2) 求直线 AE 与 DC 所成角的余弦值．
17. 已知四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，且 PA⊥底面ABCD，如果 BC⊥PB，求证四边形 ABCD 是矩形．
18. 如图所示，已知在一个 60∘ 的二面角的棱上，有两个点 A，B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，且 AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm，求 CD 的长．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】A
【解析】取 BD 的中点 M，连接 AM，CM，如图所示：
四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，
所以 GF=12AC=1，AM⊥BD，CM⊥BD，且 AM∩CM=M，
所以 BM⊥平面AMC；
又 AC⊂平面ACM，
所以 BD⊥AC；
又 EF∥BD，
所以 EF⊥AG；
又 AC∥FG
所以 FG⊥EF，
所以
GE⋅GF=GF+FE⋅GF=GF2+FE⋅GF=12+0=1.
2. 【答案】C
【解析】点 Q 在直线 OP 上运动，设 OQ=λOP=λ,λ,2λλ∈R，则 QA=OA−OQ=1−λ,2−λ,3−2λ，QB=OB−OQ=2−λ,1−λ,2−2λ，
所以 QA⋅QB=6λ−432−23，
当 λ=43 时，QA⋅QB 最小，此时，Q43,43,83，
故选C．
3. 【答案】B
【解析】因为直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，
所以 AA1⊥AB，∣AB∣=2，
所以 AA1⋅AB=0，
又 M，N 分别为 A1C1，BC 的中点，
所以 AM=AA1+12AC，AN=12AB+12AC，
所以
AB⋅NM=AB⋅AM−AN=AB⋅AA1+12AC−12AB−12AC=AB⋅AA1−12AB2=0−2=−2.
4. 【答案】C
5. 【答案】C
【解析】由题意可得 ∣a∣=14，且 b=−2a，又 a+b⋅c=7，
所以 −a⋅c=7，
又 cos⟨a,c⟩=a⋅c∣a∣∣c∣=−714=−12，
所以 ⟨a,c⟩=120∘．
6. 【答案】B
7. 【答案】B
【解析】由两个平面的夹角概念知，cosθ=n1⋅n2n1n2=n1⋅n2n1n2．
8. 【答案】D
9. 【答案】B
【解析】由题意易得 AB 与 CA，AD 与 DC 的夹角均为 π−π3=2π3，EF 与 DB 的夹角为 π，AC 与 FG 的夹角为 0，
故 2AB⋅CA=−a2，
2AD⋅DC=−a2，
2EF⋅DB=−a2，
2AC⋅FG=a2，故选B．
10. 【答案】C
【解析】 AE⋅AF=12AB+AC⋅12AD=14AB⋅AD+AC⋅AD=14a×a×cos60∘+a×a×cos60∘=1412a2+12a2=14a2.
故选C．
11. 【答案】C
【解析】因为 AB⋅AC=0，AB⋅AD=0，AD⋅AC=0，
所以 AB⊥AC，AB⊥AD，AD⊥AC．
如图所示，
设 AB=a，AC=b，AD=c，
所以 BC2=a2+b2，BD2=a2+c2，CD2=b2+c2．
由余弦定理知 BC2=BD2+CD2−2BD⋅CD⋅cos∠BDC，
所以 a2+b2=a2+c2+b2+c2−2a2+c2⋅b2+c2⋅cos∠BDC，
所以 cos∠BDC=2c22a2+c2⋅b2+c2>0，
所以 ∠BDC 是锐角．
同理可知 ∠DBC，∠BCD 都是锐角，
故 △BCD 是锐角三角形．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 −13
【解析】因为 a+b+c=0，
所以 a+b+c2=0，
所以 a2+b2+c2+2a⋅b+b⋅c+c⋅a=0，
所以 a⋅b+b⋅c+c⋅a=−32+12+422=−13．
13. 【答案】 2
【解析】 EF2=EF2=EC+CD+DF2=EC2+CD2+DF2+2EC⋅CD+EC⋅DF+CD⋅DF=12+22+12+21×2×cos120∘+0+2×1×cos120∘=2,
所以 EF=2，所以 EF 的长为 2．
14. 【答案】 π6
【解析】根据题意，设 a 与 a+2b 的夹角为 θ，
由向量 a，b 的夹角为 π3，且 a=2，b=1，
得 a⋅b=2×1×12=1，
则 a⋅a+2b=a2+2a⋅b=6．
因为 a+2b2=a2+4a⋅b+4b2=12，
所以 a+2b=23．
故 cosθ=a⋅a+2ba⋅a+2b=643=32．
又 0≤θ≤π，
所以 θ=π6．
15. 【答案】 (1,1,2)
【解析】由题意，设 OQ=λOP，则 OQ=λ,λ,2λ，
即 Qλ,λ,2λ，则 QA=1−λ,2−λ,1−2λ，QB=2−λ,1−λ,2−2λ，
所以
QA⋅QB=1−λ2−λ+2−λ1−λ+1−2λ2−2λ=6λ2−12λ+6=6λ−12,
当 λ=1 时取最小值，此时 Q 点坐标为 1,1,2．
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) AE=DE−DA=12DB+DC−DA，BC=DC−DB，
所以
AE⋅BC=12DB+12DC−DA⋅DC−DB=12DB⋅DC−12DB⋅DB+12DC⋅DC−12DC⋅DB−DA⋅DC+DA⋅DB=0−2+2−0−0+0=0,
所以 AE⊥BC．
(2) AE⋅DC=12DB+12DC−DA⋅DC=12DB⋅DC+12DC⋅DC−DA⋅DC=0+2−0=2,
AE=22+22=6，
所以 cosAE,DC=AE⋅DCAEDC=26×2=66，
即直线 AE 与 DC 所成角的余弦值为 66．
17. 【答案】因为 PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥BC，
所以 PA⋅BC=0，
又 BC⊥PB，
所以 PB⋅BC=0．
由 AB=PB−PA，得 AB⋅BC=PB−PA⋅BC=PB⋅BC−PA⋅BC=0，
所以 AB⊥BC，
又四边形 ABCD 是平行四边形，
所以四边形 ABCD 是矩形．
18. 【答案】因为 CD=CA+AB+BD=AB−AC+BD，
所以
CD2=AB−AC+BD2=AB−AC2+BD2+2AB−AC⋅BD=AB2+AC2−2AB⋅AC+BD2+2AB⋅BD−2AC⋅BD=16+36+64−2×6×8×cos60∘=68,
所以 CD=217 cm．
人教A版（2019）选修一1.1.2空间向量的数量积运算
（共18题）
一、选择题（共11题）
1. 已知四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，则 GE⋅GF 等于
A． 1 B． −1 C． 4 D． −4
2. 已知 O 为原点，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点 Q 在直线 OP 上运动，则 QA⋅QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为
A． 12,34,13 B． 12,23,34 C． 43,43,83 D． 43,43,73
3. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，M，N 分别为 A1C1，BC 的中点，则 AB⋅NM=
A． 2 B． −2 C． 10 D． −10
4. 设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足 AB⋅AC=0，AB⋅AD=0，AC⋅AD=0，则 △BCD 是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
5. 已知向量 a=1,2,3，b=−2,−4,−6，∣c∣=14，若 a+b⋅c=7，则 a 与 c 的夹角为
A． 30∘ B． 60∘ C． 120∘ D． 150∘
6. 已知空间三点 A−2,2,1，B−1,1,−2，C−4,0,2，若向量 3AB−AC 与 AB+kAC 垂直，则实数 k 的值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，若平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，则 cosθ=
A． n1⋅n2n1n2 B． n1⋅n2n1n2
C． n1n2n1⋅n2 D． n1n2n1⋅n2
8. 已知向量 a=1,1,0，b=−1,0,2，且 ka+b 与 2a−b 互相垂直，则实数 k 的值是
A． −1 B． 43 C． 53 D． 75
9. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是
A． 2AB⋅CA B． 2AC⋅FG C． 2AD⋅DC D． 2EF⋅DB
10. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 AE⋅AF 的值为
A． a2 B． 12a2 C． 14a2 D． 34a2
11. 设 A，B，C，D 是不共面的四点，且满足 AB⋅AC=0，AC⋅AD=0，AB⋅AD=0，则 △BCD 是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
二、填空题（共4题）
12. 已知空间向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，∣a∣=3，∣b∣=1，∣c∣=4，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a 的值为 ．
13. 正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为 ．
14. 已知向量 a，b 的夹角为 π3，且 a=2，b=1，则 a 与 a+2b 的夹角为 ．
15. 已知 O0,0,0，A1,2,1，B2,1,2，P1,1,2，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA⋅QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 ．
三、解答题（共3题）
16. 如图所示，在三棱锥 A−BCD 中，DA，DB，DC 两两垂直，且 DB=DC=DA=2，E 为 BC 的中点．
(1) 证明：AE⊥BC；
(2) 求直线 AE 与 DC 所成角的余弦值．
17. 已知四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，且 PA⊥底面ABCD，如果 BC⊥PB，求证四边形 ABCD 是矩形．
18. 如图所示，已知在一个 60∘ 的二面角的棱上，有两个点 A，B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，且 AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm，求 CD 的长．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】A
【解析】取 BD 的中点 M，连接 AM，CM，如图所示：
四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，
所以 GF=12AC=1，AM⊥BD，CM⊥BD，且 AM∩CM=M，
所以 BM⊥平面AMC；
又 AC⊂平面ACM，
所以 BD⊥AC；
又 EF∥BD，
所以 EF⊥AG；
又 AC∥FG
所以 FG⊥EF，
所以
GE⋅GF=GF+FE⋅GF=GF2+FE⋅GF=12+0=1.
2. 【答案】C
【解析】点 Q 在直线 OP 上运动，设 OQ=λOP=λ,λ,2λλ∈R，则 QA=OA−OQ=1−λ,2−λ,3−2λ，QB=OB−OQ=2−λ,1−λ,2−2λ，
所以 QA⋅QB=6λ−432−23，
当 λ=43 时，QA⋅QB 最小，此时，Q43,43,83，
故选C．
3. 【答案】B
【解析】因为直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，
所以 AA1⊥AB，∣AB∣=2，
所以 AA1⋅AB=0，
又 M，N 分别为 A1C1，BC 的中点，
所以 AM=AA1+12AC，AN=12AB+12AC，
所以
AB⋅NM=AB⋅AM−AN=AB⋅AA1+12AC−12AB−12AC=AB⋅AA1−12AB2=0−2=−2.
4. 【答案】C
5. 【答案】C
【解析】由题意可得 ∣a∣=14，且 b=−2a，又 a+b⋅c=7，
所以 −a⋅c=7，
又 cos⟨a,c⟩=a⋅c∣a∣∣c∣=−714=−12，
所以 ⟨a,c⟩=120∘．
6. 【答案】B
7. 【答案】B
【解析】由两个平面的夹角概念知，cosθ=n1⋅n2n1n2=n1⋅n2n1n2．
8. 【答案】D
9. 【答案】B
【解析】由题意易得 AB 与 CA，AD 与 DC 的夹角均为 π−π3=2π3，EF 与 DB 的夹角为 π，AC 与 FG 的夹角为 0，
故 2AB⋅CA=−a2，
2AD⋅DC=−a2，
2EF⋅DB=−a2，
2AC⋅FG=a2，故选B．
10. 【答案】C
【解析】 AE⋅AF=12AB+AC⋅12AD=14AB⋅AD+AC⋅AD=14a×a×cos60∘+a×a×cos60∘=1412a2+12a2=14a2.
故选C．
11. 【答案】C
【解析】因为 AB⋅AC=0，AB⋅AD=0，AD⋅AC=0，
所以 AB⊥AC，AB⊥AD，AD⊥AC．
如图所示，
设 AB=a，AC=b，AD=c，
所以 BC2=a2+b2，BD2=a2+c2，CD2=b2+c2．
由余弦定理知 BC2=BD2+CD2−2BD⋅CD⋅cos∠BDC，
所以 a2+b2=a2+c2+b2+c2−2a2+c2⋅b2+c2⋅cos∠BDC，
所以 cos∠BDC=2c22a2+c2⋅b2+c2>0，
所以 ∠BDC 是锐角．
同理可知 ∠DBC，∠BCD 都是锐角，
故 △BCD 是锐角三角形．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 −13
【解析】因为 a+b+c=0，
所以 a+b+c2=0，
所以 a2+b2+c2+2a⋅b+b⋅c+c⋅a=0，
所以 a⋅b+b⋅c+c⋅a=−32+12+422=−13．
13. 【答案】 2
【解析】 EF2=EF2=EC+CD+DF2=EC2+CD2+DF2+2EC⋅CD+EC⋅DF+CD⋅DF=12+22+12+21×2×cos120∘+0+2×1×cos120∘=2,
所以 EF=2，所以 EF 的长为 2．
14. 【答案】 π6
【解析】根据题意，设 a 与 a+2b 的夹角为 θ，
由向量 a，b 的夹角为 π3，且 a=2，b=1，
得 a⋅b=2×1×12=1，
则 a⋅a+2b=a2+2a⋅b=6．
因为 a+2b2=a2+4a⋅b+4b2=12，
所以 a+2b=23．
故 cosθ=a⋅a+2ba⋅a+2b=643=32．
又 0≤θ≤π，
所以 θ=π6．
15. 【答案】 (1,1,2)
【解析】由题意，设 OQ=λOP，则 OQ=λ,λ,2λ，
即 Qλ,λ,2λ，则 QA=1−λ,2−λ,1−2λ，QB=2−λ,1−λ,2−2λ，
所以
QA⋅QB=1−λ2−λ+2−λ1−λ+1−2λ2−2λ=6λ2−12λ+6=6λ−12,
当 λ=1 时取最小值，此时 Q 点坐标为 1,1,2．
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) AE=DE−DA=12DB+DC−DA，BC=DC−DB，
所以
AE⋅BC=12DB+12DC−DA⋅DC−DB=12DB⋅DC−12DB⋅DB+12DC⋅DC−12DC⋅DB−DA⋅DC+DA⋅DB=0−2+2−0−0+0=0,
所以 AE⊥BC．
(2) AE⋅DC=12DB+12DC−DA⋅DC=12DB⋅DC+12DC⋅DC−DA⋅DC=0+2−0=2,
AE=22+22=6，
所以 cosAE,DC=AE⋅DCAEDC=26×2=66，
即直线 AE 与 DC 所成角的余弦值为 66．
17. 【答案】因为 PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥BC，
所以 PA⋅BC=0，
又 BC⊥PB，
所以 PB⋅BC=0．
由 AB=PB−PA，得 AB⋅BC=PB−PA⋅BC=PB⋅BC−PA⋅BC=0，
所以 AB⊥BC，
又四边形 ABCD 是平行四边形，
所以四边形 ABCD 是矩形．
18. 【答案】因为 CD=CA+AB+BD=AB−AC+BD，
所以
CD2=AB−AC+BD2=AB−AC2+BD2+2AB−AC⋅BD=AB2+AC2−2AB⋅AC+BD2+2AB⋅BD−2AC⋅BD=16+36+64−2×6×8×cos60∘=68,
所以 CD=217 cm．
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