湘教版八年级上册5.1 二次根式优秀课后作业题

第5章　二次根式

5.1　二次根式

基础过关全练

知识点1　二次根式的定义

1.(2022广西柳州柳南期末)下列各式中,一定是二次根式的是(　　)

A.

知识点2　二次根式有意义的条件

2.(2021湖南永州中考)已知二次根式有意义,则x的取值范围是　　　　. 

3.当x是何实数时,下列二次根式有意义?

(1).

知识点3　二次根式的性质

4.(2022湖南长沙期末)在实数范围内要使=a-2成立,则a的取值范围是(　　)

A.a=2  　B.a>2  　C.a≥2　  D.a≤2

5.计算:

(1)()2=　　　　; 

(2)=　　　　; 

(3)(2)2=　　　　; 

(4)(-3)2=　　　　. 

6.计算:

(1)=　　　　; 

(2)=　　　　; 

(3)=　　　　; 

(4)=　　　　. 

7.(2022独家原创)已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简的结果为　　　　. 

8.设a,b,c为△ABC的三边的长,化简:

.

9.当x的取值范围是不等式组的解集时,试化简:

-x.

知识点4　积的算术平方根

10.化简的结果是(　　)

A.-3　C.6　D.18

11.当a<2时,化简的结果是(　　)

A.a

C.a

12.计算:

(1)=　　　　; 

(2)=　　　　; 

(3)=　　　　. 

知识点5　最简二次根式

13.(2022湖南岳阳临湘期末)下列为最简二次根式的是(　　)

A.

14.下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.

.

能力提升全练

15.(2021黑龙江绥化中考,4,)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(　　)

A.x>-1          　B.x≥-1且x≠0

C.x>-1且x≠0　   D.x≠0

16.(2022湖南娄底娄星期末,7,)下列根式不是最简二次根式的是(　　)

A.

C.

17.(2021辽宁大连中考,7,)下列计算正确的是(　　)

A.(-)2=-3

B.

C.=1

D.(-1)=3

18.(2021湖南娄底中考,8,)2、5、m是某三角形三边的长,则等于(　　)

A.2m-10　B.10-2m

C.10　   D.4

19.(2021湖北武汉中考,11,)计算的结果是　　　　. 

20.(2021湖南岳阳华容期末,13,)若|a+1|++(c-3)2=0,则a-b+c=　　　　. 

21.(2022湖南永州期末,16,)定义一种新的运算“@”,“@”的运算法则为a@b=,则(2@3)@5=　　　　. 

22.(2020甘肃陇南中考,18,)已知y=-x+5,当x分别取1,2,3,…,2 020时,所对应y值的总和是　　　　. 

素养探究全练

23.[数学运算](2022吉林长春期末)【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b(其中a、b、m、n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:

【问题解决】

(1)若a+b)2,当a、b、m、n均为整数时,

a=　　　　,b=　　　　;(均用含m、n的式子表示) 

(2)若x+4)2,且x、m、n均为正整数,分别求出x、m、n的值;

【拓展延伸】

(3)化简:=　　　　. 

24.[数学运算](2022湖南长沙雨花期末)先观察下列等式,再回答问题.

①;

②;

③.

(1)根据上面三个等式提供的信息,请你猜想的结果;

(2)请用含n的式子表示上面各等式反映的规律;

(3)利用上面的规律计算:

+…+.

答案全解全析

基础过关全练

1.D　∵a2+1>0,∴一定是二次根式.

2.x≥-3

解析　∵二次根式有意义,

∴x+3≥0,解得x≥-3.

3.解析　(1)要使在实数范围内有意义,则3x-1≥0,解得x≥.

(2)要使在实数范围内有意义,则x-2>0,解得x>2.

(3)∵(3x-1)2≥0,

∴当x取任何实数时,在实数范围内都有意义.

4.C　∵=|a-2|=a-2,

∴a-2≥0,解得a≥2.

5.(1)3　(2)　(3)20　(4)54

解析　(1)()2=3.

(2)=.

(3)(2)2=4×5=20.

(4)(-3)2=9×6=54.

6.(1)8　(2)　(3)　(4)π-3.14

解析　根据=|a|=进行计算.

7.a

解析　由题中数轴知b<a<0,

∴a-b>0,

∴-=a-b-(-b)=a-b+b=a.

8.解析　根据a,b,c为△ABC的三边的长,得到a+b+c>0,a-b-c<0,

b-a-c<0,c-b-a<0,

则原式=|a+b+c|+|a-b-c|+|b-a-c|-|c-b-a|

=a+b+c+b+c-a+a+c-b+c-b-a=4c.

9.解析　

解不等式①,得x>,

解不等式②,得x≤2,

∴x的取值范围是<x≤2,

∴1-2x<0,x-3<0,

∴()2+-x

=|1-2x|+|x-3|-x=2x-1-x+3-x=2.

10.B　原式=×=3.

11.B　∵a<2,∴a-2<0,

∵a3(a-2)≥0,

∴a≤0,

∴=-a.

12.(1)　(2)36　(3)4

解析　(1)原式=×=6×=.

(2)原式====36.

(3)原式===4.

13.A　是最简二次根式.故选A.

14.解析　最简二次根式有,,其余的都不是最简二次根式.化简如下:=10,=4,=0.28,=.

能力提升全练

15.C　∵式子在实数范围内有意义,

∴x+1>0且x≠0,解得x>-1且x≠0.

16.D　不是最简二次根式,故选D.

17.B　(-)2=3,=2,=-1,(+1)×(-1)=2-1=1,故选B.

18.D　∵2、5、m是某三角形三边的长,

∴5-2<m<5+2,即3<m<7,

∴+=m-3+7-m=4.

19.5

解析　=|-5|=5.

20.4

解析　∵|a+1|≥0,≥0,(c-3)2≥0,且|a+1|++(c-3)2=0,

∴a+1=0,b+2=0,c-3=0,解得a=-1,b=-2,c=3,∴a-b+c=-1-(-2)+3=4.

21.3

解析　根据题意得(2@3)@5=@5=@5=3@5

===3.

22.2 032

解析　当x<4时,y=4-x-x+5=-2x+9,当x=1时,y=7;当x=2时,y=5;当x=3时,y=3,当x≥4时,y=x-4-x+5=1,∴当x分别取1,2,3,…,2 020时,所对应y值的总和是7+5+3+1+1+…+1=15+1×2 017=2 032.

素养探究全练

23.解析　(1)m2+5n2;2mn.

(2)(m+n)2=m2+2mn+3n2,

∵x+4=(m+n)2,

∴

又∵x、m、n均为正整数,

∴或

(3)原式=

=

=+,

故答案为+.

24.解析　(1)=1+-=1.

(2)=1+-=1+.

(3)++…+

=1+-+1+-+…+1+-

=1×99+1-=99.