2022-2023学年江西省吉安市遂川县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省吉安市遂川县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省吉安市遂川县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−a2)3的结果是(    )
A. a5 B. −a5 C. a6 D. −a6
2. 已知一个角的度数为30°，则下列角中，与已知角的度数为互补关系的可能是(    )
A. B.
C. D.
3. 下列四个世界名牌大学校徽图案中，是轴对称图形的个数是(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列运算中，正确的是(    )
A. 7m−3m=4 B. −m4⋅2m2=−2m8
C. (m+3)2=m2+3m+9 D. (m−2)(m−3)=m2−5m+6
5. 如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是(    )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
6. 某地美丽乡村建设中，对某一路段进行硬化，如图是某日上午4小时硬化公路长l(单位：m)与施工时间t(单位：h)的函数关系的图象，则下列说法正确的是(    )

A. 施工队休息了2h B. 休息后施工速度为50m/h
C. 两个时间段修建的公路长相等 D. 休息前后每小时修建的公路长相等
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 已知∠A=20°，则∠A的余角的度数为______ ．
8. 人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061，将0.0000061用科学记数法表示应为______ ．
9. 在变量x与y的关系式y=x+4中，当自变量x=−2时，因变量y的值为______ ．
10. 若a+b=−2，则a2+2ab+b2的值为______ ．
11. 如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOC=44°，则∠DOE的度数为______ ．


12. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点P是AB上一动点，当△BPC为等腰三角形时，∠BPC的度数为______ ．


三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题3.0分)
计算：(2a3)3÷(−2a3).
14. (本小题3.0分)
如图，AB//CD，CD交AE于点F，∠A=55°，∠E=20°，求∠C的度数．

15. (本小题6.0分)
一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：5，判断这个三角形的形状．
16. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a+2b)(a−2b)+(a−2b)2，其中a=−1，b=−12．
17. (本小题6.0分)
如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作∠AOB的平分线；
(2)在图2中，作△ABC的BC边上的高．
18. (本小题6.0分)
如图，已知AB=DE，AC=FD，∠B=∠DEF=90°，点E在BC上，点F在BC的延长线上.求证：BE=CF．

19. (本小题8.0分)
一个正方体的棱长为3×103mm，求它的底面周长和体积．
20. (本小题8.0分)
一个不透明的袋中装有2个红球、3个黄球和1个白球，它们除颜色外都相同．
(1)从中随机取出一个球是红球是______ 事件，随机取出一个球是黑球是______ 事件；
(2)求从袋中任意摸出一个球是黄球的概率．
21. (本小题8.0分)
如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE是射线，∠AOE=2∠AOC，∠EOD比∠BOD大20°，求∠BOD的度数．

22. (本小题9.0分)
一菜农带了若干千克的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用.在市场先售出一些后，又降价出售.售出土豆千克数x与他手中持有的钱数y(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)农民自带的零钱是______ 元；
(2)求降价前他每千克土豆出售的价格；
(3)降价后他按每千克0.8元将剩余的土豆售完，这时他手中的钱(含备用的钱)是66元，问进城时他一共带了多少千克的土豆？

23. (本小题9.0分)
七年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，34×43…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律：
12×21=121×(12+1)+10；
23×32=121×(22+2)+10：
34×43=121×(32+3)+10；
…
(1)根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式；
(2)请用含n的代数式直接表示[10n+(n+1)]与[(10n+10)+n]之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性．
24. (本小题12.0分)
某数学小组在探究角平分线上的点与角的顶点、以及射线上的点构建等腰三角形的问题中，经历了如下过程：
问题发现
如图，P为∠MON内部的一点，OP平分∠MON，B是∠MON的边OM上的点，连接PB，分别以BP，OP为腰向右侧作等腰△BPC和等腰△OPA，使得PB=PC，PO=PA，BC交OP于点D，且∠BPC=∠OPA=∠BOP．
(1)当MON=100°时，∠MOP的度数为______ ，∠PBC的度数为______ ．
猜想论证
(2)当∠OPA=∠BPC=∠BOP时，OB与AC存在什么数量关系？请说明理由．
拓展思考
(3)设∠MON=α，当∠PBC与α满足什么数量关系时，点C落在ON的下方？直接写出数量关系，不必说明理由．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
先确定符号，再按幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】
解：(−a2)3=−a2×3=−a6．
故选：D．  
2.【答案】A 
【解析】解：∵一个角的度数为30°，
∴它的补角为180°−30°=150°，
则该角的补角是钝角，
A选项中的角是钝角，符合题意；
B，C，D选项中的角都不是钝角，它们均不符合题意；
故选：A．
根据补角定义求得30°的补角后结合各选项即可求得答案．
本题考查补角的定义，结合已知条件求得30°的角的补角为150°是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：第1个图形不是轴对称图形；
第2、3、4个图形是轴对称图形，轴对称图形共有3个．
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．要注意：轴对称图形的定义：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

4.【答案】D 
【解析】解：A、7m−3m=4m，故A不符合题意；
B、−m4⋅2m2=−2m6，故B不符合题意；
C、(m+3)2=m2+6m+9，故C不符合题意；
D、(m−2)(m−3)=m2−5m+6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，多项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5.【答案】C 
【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和30°，
∴第三个内角的度数为：180°−50°−30°=100°，
∴这个三角形的是钝角三角形．
故选：C．
根据三角形的内角和求得第三个角为100°，则可判定三角形的形状．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是利用三角形的内角和求得第三个内角的度数．

6.【答案】B 
【解析】解：由题意得：
施工队休息了：2−1=1(h)，故选项A不符合题意；
休息后施工速度为：(160−60)÷(4−2)=50(m/h)，故选项B符合题意；
休息前修建的公路长60m，休息后修建的公路长100m，故选项C不符合题意；
休息前施工速度为60m/h，休息后施工速度为50m/h，故选项D不符合题意．
故选：B．
根据函数图形，结合“工作效率=工作总量÷工作时间”可得答案．
此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

7.【答案】70° 
【解析】解：因为∠A=20°，
所以∠A的余角的度数为90°−20°=70°，
故答案为：70°．
根据和为90°的两个角互为余角，计算即可．
本题考查了余角和补角，掌握余角和补角定义是解题的关键．

8.【答案】6.1×10−6 
【解析】解：0.0000061=6.1×10−6．
故答案为：6.1×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

9.【答案】2 
【解析】解：已知变量x与y的关系式为y=x+4，
则当x=−2时，y=−2+4=2，
故答案为：2．
将x=−2代入y=x+4中计算即可．
本题主要考查求函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

10.【答案】4 
【解析】解：∵a+b=−2，
∴a2+2ab+b2=(a+b)2=(−2)2=4，
故答案为：4．
根据完全平方公式求解即可．
此题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．

11.【答案】68° 
【解析】解：∵∠AOC=44°，∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠AOD=180°−∠AOC=136°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD=12××136°=68°，
故答案为：68°．
根据邻补角的概念求出∠AOD，再根据角平分线的定义求出∠DOE．
本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义，掌握邻补角之和为180°是解题的关键．

12.【答案】65°或80°或50° 
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=90°−∠A=50°，
当BP=BC时，
∠BPC=∠BCP=12×(180°−∠B)=65°；
当BP=PC时，
∠B=∠BCP=50°，
∴∠BPC=180°−(∠B+∠BCP)=80°；
当BC=PC时，
∠BPC=∠B=50°．
∴当△BPC为等腰三角形时，∠BPC的度数是65°或80°或50°．
故答案为：65°或80°或50°．
分三种情况，应用等腰三角形的性质，即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形三角形的性质，关键是分情况讨论．

13.【答案】解：(2a3)3÷(−2a3)
=−(2a3)2
=−4a6． 
【解析】利用同底数幂的除法的法则及积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法及积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

14.【答案】解：∵AB//CD，
∴∠DFE=∠A=55°，
∵∠E=20°，
∴∠C=∠DFE−∠E=35°． 
【解析】由平行线的性质得到∠DFE=∠A=55°，由三角形外角的性质即可得到∠C=∠DFE−∠E=35°．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到∠DFE=∠A=55°，由三角形外角的性质即可求出∠C的度数．

15.【答案】解：设这个三角形的三个内角度数分别为x，3x，5x，
根据题意得x+3x+5x=180°，
解得：x=20°，
当x=20°时，3x=60°，5x=100°．
所以这个三角形为钝角三角形． 
【解析】由于三个内角度数的比为1：3：5，则可设这个三角形的三个内角度数分别为x，3x，5x，利用三角形内角和定理得到x+3x+5x=180°，再解方程求出x，从而得到三角形三个内角的度数，然后根据三角形分类判断三角形的形状．
本题考查了三角形内角和定理，解答的关键是利用三角形内角和定理可求三角形中角的度数．

16.【答案】解：原式=(a−2b)(a+2b+a−2b)
=2a(a−2b)
=2a2−4ab，
当a=−1，b=−12时，原式=2×12−4×(−1)×(−12)=2−2=0． 
【解析】根据整式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是整式的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．

17.【答案】解：(1)取格点K，作射线OK，如图：

射线OK即为∠AOB的平分线；
理由：由勾股定理可知，OA=AK=BK=OB，
∴四边形AOBK是菱形，
由图可知，OK=AB，即四边形AOBK对角线相等，
∴四边形AOBK是正方形，
∴AK⊥OA，BK⊥OB，
∴K到OA，OB的距离相等；
∴OK平分∠AOB；
(2)由正方形性质可知，BC经过格点T，连接AT，如图：

线段AT即为BC边上的高；
理由：
由勾股定理可得，AB=AC，BT=CT，
∴AT⊥BC． 
【解析】(1)根据到两边距离相等的点在角平分线上，取格点K，作射线OK即可；(2)由等腰三角形性质(三线合一)可得答案．
本题考查作图−设计与应用作图，解题的关键是掌握并能应用正方形性质，根据网格特征作出图形．

18.【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴BC=EF，
∴BC−EC=EF−EC，
∴BE=CF． 
【解析】证明Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，可得BC=EF，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，得到Rt△ABC≌Rt△DEF是解决本题的关键．

19.【答案】解：正方体的底面周长为：4×3×103=1.2×104(mm)，
正方体的体积为：(3×103)3=27×109=2.7×1010(mm3). 
【解析】根据正方形的周长公式及正文体的体积公式进行求解即可．
本题主要考查积的乘方，科学记数法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20.【答案】随机  不可能 
【解析】解：(1)∵一个不透明的袋中装有2个红球、3个黄球和1个白球，它们除颜色外都相同，
∴从中随机取出一个球是红球是随机事件，随机取出一个球是黑球是不可能事件．
故答案为：随机，不可能；
(2)∵球的总个数为6个，黄球的个数为3个，
∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为36=12．
(1)根据随机事件的定义解答即可；
(2)先求出球的所有个数与黄球的个数，再根据概率公式解答即可．
本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．

21.【答案】解：∵∠EOD比∠BOD大20°，
∴∠EOD=∠BOD+20°，
∵∠AOE=2∠AOC，∠BOD=∠AOC，
∴∠AOE=2∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，
∴2∠BOD+∠BOD+20°+∠BOD=180°，
∴∠BOD=40°． 
【解析】利用对顶角相等及已知条件可得∠EOD=∠BOD+20°，∠AOE=2∠AOC=2∠BOD，然后根据∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°即可求得答案．
本题主要考查对顶角的性质，结合已知条件求得∠EOD=∠BOD+20°，∠AOE=2∠AOC=2∠BOD是解题的关键．

22.【答案】20 
【解析】解：(1)根据图象与y轴交点可知：菜农自带的零钱是20元；
故答案为：20；
(2)∵50−2030=1(元/千克)，
∴降价前他每千克土豆出售的价格为1元/千克；
(3)∵66−500.8+30=50(千克)，
∴进城时他一共带了50千克的土豆．
(1)根据函数图象与y轴交点坐标可得答案；
(2)由降价前出售30千克，所卖的钱是30元可得答案；
(3)用降价后卖的加上30即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．

23.【答案】解：(1)78×87=121×(72+7)+10；
(2)[10n+(n+1)][(10n+10)+n]，
=(11n+1)(11n+10)，
=121n2+121n+10，
验证：∵78×87=121×(72+7)+10=121×56+10=6776+10=6786，
78×87=121×72+121×7+10=121×49+121×7+10=5929+847+10=6786，
∴78×87=121×(72+7)+10=121×72+121×7+10，
∴[10n+(n+1)][(10n+10)+n]=121n2+121n+10． 
【解析】(1)观察已知条件中的等式，找出规律为：[10n+(n+1)][(10n+10)+n]=121×(n2+n)+10，按照此规律代入计算即可．
(2)先利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后把(1)中的算式进行代入验证即可．
本题主要考查了规律型：数字的变化类和有理数的运算，解题关键是观察等式，找出所给式子的规律．

24.【答案】50°  65° 
【解析】解：(1)∵OP平分∠MON，
∴∠MOP=12∠MON=50°．
∴∠BPC=50°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠PBC=12(180°−∠BPC)=65°，
故答案为：50°，65°；
(2)OB=AC.理由如下：
∵∠OPA=∠BPC，
∴∠OPA−∠CPD=∠BPC−∠CPD，
∴∠BPO=∠CPA．
在△BPO和△CPA中，
BP=CP∠BPO=∠CPAOP=AP，
∴△BPO≌△CPA(SAS)．
∴OB=AC．
(3)∠PBC>90°−α4，理由如下：
如图，设点C落在射线ON上．

∵OP平分∠MON，
∴∠MOP=12∠MON=α2，
∴∠BPC=α2．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠PBC=12(180°−∠BPC)=90°−α4⋅
观察图形可知，当∠PBC>90°−α4，且O，B两点不重合时，点C落在ON的下方．
(1)根据角平分线的定义以及三角形内角和即可求得答案．
(2)可证△BPO≌△CPA，即可判断OB与AC的数量关系．
(3)设点C落在射线ON上，即可求得∠PBC与α的等量关系，根据题意结合图形，即可求得答案．
本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，以及采用数形结合思想解决问题，牢记角平分线的定义和全等三角形的判定定理及性质是解题的关键．