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2023-2024学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省吉安市遂川县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. x(x−1)=0B. x2−ax2=2C. x2−1x=0D. xy−1=0
2.若点A(m,n)在反比例函数y=6x的图象上，则下列结论正确的是( )
A. m+n=6B. m−n=6C. mn=6D. mn=6
3.如图所示，由三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，且斜边长分别2和4，则两个三角形的面积比为( )
A. 1： 2B. 1：2C. 1：4D. 1：8
5.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )
A. 38B. 58C. 23D. 12
6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE=2，AF=6，AE//CF，则△ABE的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若ab=13，则a+ba的值为______．
8.一元二次方程x2−2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为______．
9.若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为______．
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB=______．
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，AC=2，AD⊥BC，垂足为D，DE//AC，则ED长为______．
12.如图，菱形ABCD中，AD=4，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，点P在菱形的边上，若DE=DP，则CP的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程：x2−4x+3=0；
(2)如果四条成比例线段的长分别为2，3，6，a，求a的值．
14.(本小题6分)
新能源汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2023年中旬某市新能源汽车拥有量为18.9万辆，已知2021年中旬该市新能源汽车拥有量约为2.1万辆，求2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率．
15.(本小题6分)
如图是4×6正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，以AB为对角线，作一个正方形；
(2)在图2中，取格点C，作∠BAC，使sin∠CAB= 22．
16.(本小题6分)
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过点D作DE//AC，交BC于点E.求证：BDAB=ECAC．
17.(本小题6分)
在一个不透明的袋中装有一个红球和两个2个绿球，这些球除颜色外都相同．
(1)随机摸一个球，摸到的是红球的概率为______，摸到的是黄球是______事件；
(2)小新从袋中随机摸出一个球，放回后，又再摸出一个球，求摸到一个红球和一个绿球的概率．
18.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D为AB的中点，DE⊥BC，垂足为E，DE=2，求EC的长．
19.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=34x+m的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=24x(x>0)的图象交于点B(4,n)，BC⊥x轴，垂足为C．
(1)求m，n的值；
(2)求AC的长．
20.(本小题8分)
如图1是某校操场上的一种漫步机，图2是其侧面结构示意图，已知主支架AB长为120cm，且与水平地面基架BD的夹角为70°，前支架CD与AB所成的∠DCB=45°，扶手AE长为30cm，∠EAB=135°．
(1)求∠CDB的度数；
(2)求漫步机的高度(点F到BD的距离)．
(参考数据：cs70°≈0.342，sin70°≈0.940，tan70°≈1.222，cs25°≈0.906，sin25°≈0.423，tan25°≈0.466，结果精确到0.1cm)
21.(本小题9分)
九年级某班在学习了教材P23页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程：将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题：
问题提出
(1)在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有______个，图2中共有______个，图3中共有______个；
操作发现
(2)按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为______个；
数学思考
(3)按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为265个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由．
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，AC=8，BC=10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．
(1)求BE的长；
(2)求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．
23.(本小题12分)
某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，正方形ABCD中，P在CD边上任意一点(不与点C重合)，以P为旋转中心，将PA逆时针旋转90°，得到PM，连接AM，AM，PM分别交BC于点E，F．
操作发现
(1)当∠DAP=35°时，∠BAE的度数为______，∠EFM的度数为______；
数学思考
(2)连接BM，当P为CD中点时，求证：∠CBM=45°；
拓展应用
(3)若AB=4，AF是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、去括号整理可得x2−x=0，是一元二次方程，符合题意；
B、由x2−ax2=2得到(1−a)x2−2=0，当a=1时，该方程不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、该方程不是整式方程，不符合题意；
D、方程xy−1=0中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的判断，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】C
【解析】解：∵点A(m,n)在反比例函数y=6x的图象上，
∴n=6m，
∴mn=6，
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积相等解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积相等是关键．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看可以得到从左到右共两列，正方形的个数依次是1，1，
因此主视图为．
故选：D．
根据主视图的定义即可判断，从正面看到的图形即是主视图．
本题考查了三视图的知识，解题的关键在于准确识图．
4.【答案】C
【解析】解：设等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF的直角边长分别为a、b，
则a2+a2=22，b2+b2=42，
∴a2=2，b2=8，
∵S△ABC=12a2=1，S△DEF=12b2=4，
∴两个三角形的面积比=1：4，
故选：C．
由勾股定理和三角形面积公式分别求出两个三角形的面积，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．
【解答】
解：由题意可得，所有的可能性为：
∴共有8种等可能情况，其中至少有两枚硬币正面向上的有4种，
∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：48=12，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形是ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=BC，∠B=90°，
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE=AF=6，
∵BE=2，
∴BC=BE+CE=2+6=8，
∴AB=8，
∵∠B=90°，
∴△ABE的面积=12⋅AB⋅BE=12×8×2=8．
故选：B．
先根据正方形的性质可得：AD//BC，AB=BC，∠B=90°，证明四边形AECF是平行四边形，可得CE=AF=6，由此计算AB=BC=8，最后由直角三角形的面积公式可得结论．
本题考查正方形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质知识，熟练掌握相关知识是解答的关键．
7.【答案】4
【解析】【分析】
此题考查了分式的化简求值以及比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，是一道基础题．
根据ab=13，得出b=3a，再代入a+ba进行计算即可得出答案．
【解答】
解：∵ab=13，
∴b=3a，
∴a+ba=a+3aa=4；
故答案为：4．
8.【答案】0
【解析】解：∵x2−2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0，
故答案为：0．
根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．
9.【答案】2 2
【解析】解：设正方形的边长为a，
∵正方形ABCD的周长为8，
∴4a=8，即a=2，
∴对角线AC= 2a=2 2．
故答案为：2 2．
由正方形的周长可得正方形的边长，再由对角线等于边长的 2倍，可得结论．
本题主要考查正方形的性质，属于简单题目，知道对角线与边长的关系是解题关键．
10.【答案】10
【解析】解：∵∠C=90°，sinA=BCAB=35，BC=6，
∴AB=53BC=53×6=10；
故答案为：10．
根据三角函数的定义即可得出结果．
本题主要考查了解直角三角形、正弦函数的定义；熟练掌握正弦函数的定义是解决问题的关键．
11.【答案】32
【解析】解：∵∠BAC=90°，BC=4，AC=2，
∴AB= BC2−AC2= 42−22=2 3，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AB⋅AC，
∴AD=AB⋅ACBC=2 3×24= 3，
∴BD= AB2−AD2= (2 3)2−( 3)2=3，
∵DE//AC，
∴∠DEB=∠BAC=90°，
∴DE⊥AB，
∴S△ABD=12AB⋅ED=12AD⋅BD，
∴ED=AD⋅BDAB= 3×32 3=32，
故答案为：32．
由勾股定理和三角形面积面积求出AD的长，再由勾股定理求出BD的长，然后由三角形面积求出ED的长即可．
本题考查了勾股定理、平行线的性质以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.【答案】2 2
【解析】解：过点P作PH⊥CD于H点，如图，
在Rt△ADE中，∵∠A=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE= 22AD= 22×4=2 2，
∴DP=DE=2 2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠A=45°，CD=AD=4，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴PH=CH，PC= 2CH，
∴DH=4−CH，
在Rt△DPH中，∵DH2+PH2=DP2，
∴(4−CH)2+CH2=(2 2)2，
解得CH=2，
∴PC=2 2．
故答案为：2 2．
过点P作PH⊥CD于H点，如图，利用△ADE为等腰直角三角形得到DE=2 2，所以DP=2 2，再根据菱形的性质得到∠D=∠A=45°，CD=AD=4，则△PCH为等腰直角三角形，所以PH=CH，PC= 2CH，则DH=4−CH，在Rt△DPH中利用勾股定理得到(4−CH)2+CH2=(2 2)2，然后解方程求出CH，从而得到PC的长．
本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
13.【答案】解：(1)x2−4x+3=0，
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
所以x1=3，x2=1；
(2)若2：3=6：a．
解得a=9，
若2：a=3：6，
解得a=4，
若a：2=3：6，
解得a=1，
综上所述，a的值为1或4或9．
【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x−3=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可；
(2)根据成比例线段的定义得到2：3=6：a或2：a=3：6或a：2=3：6，然后利用比例性质求出对应的a即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．一考查了解一元二次方程．
14.【答案】解：设2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意得：2.1(1+x)2=18.9，
解得：x1=2=200%，x2=−4(不符合题意，舍去)．
答：2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为200%．
【解析】设2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为x，利用2023年中旬该市新能源汽车拥有量=2021年中旬该市新能源汽车拥有量×(1+2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】解：(1)正方形ACBD即为所求；
(2)∠CAB即为所求．
【解析】(1)根据正方形的判定定理作图；
(2)根据网格线的特征及三角函数作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握正方形的判定定理和特殊三角函数值是解题的关键．
16.【答案】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE//AC，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠EDC=∠BCD，
∴DE=EC，
∵△DBE∽△ABC，
∴BDAB=DEAC，
∴BDAB=ECAC．
【解析】由CD平分∠ACB，DE//AC，推导出∠EDC=∠BCD，则DE=EC，而△DBE∽△ABC，则BDAB=DEAC，所以BDAB=ECAC．
此题重点考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定等知识，证明DE=EC及△DBE∽△ABC是解题的关键．
17.【答案】13 不可能
【解析】解：(1)∵在一个不透明的袋中装有一个红球和两个2个绿球，
∴随机摸一个球，摸到的是红球的概率为13，摸到的是黄球是不可能事件，
故答案为：13，不可能；
(2)树状图如下：
由上可得，一共有9种等可能事件，其中摸到一个红球和一个绿球的可能性有4种，
∴摸到一个红球和一个绿球的概率为49．
(1)根据题意和题目中的数据，可以计算出相应的概率和写出摸到的是黄球是不可能事件；
(2)先画出相应的树状图，然后计算出相应的概率即可．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
18.【答案】解：∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2×2=4，BE= 3DE=2 3，
∵D为AB的中点，
∴AB=2BD=8，
∵∠A=90°，∠B=30°，
∴AC= 33AB=8 33，
∴BC=2AC=16 33，
∴EC=BC−BE=10 33．
【解析】由垂直的定义得到∠BED=90°，由含30度角的直角三角形的性质，求出BD=2DE=2×2=4，BE= 3DE=2 3，AC= 33AB=8 33，BC=2AC=16 33，即可得到EC=BC−BE=10 33．
本题考查含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到BD=2DE，BE= 3DE，AC= 33AB，BC=2AC．
19.【答案】解：(1)∵点B(4,n)在反比例函数y=24x(x>0)的图象上，
∴n=244=6，
∴B(4,6)，
∵B(4,6)在一次函数y=34x+m的图象上，
∴34×4+m=6，解得m=3．
(2)由(1)可知，直线AB的解析式为y=34x+3，令y=0，则x=−4，
∴A(−4,0)，
∵BC⊥x轴，垂足为C．
∴C(4,0)，
∴AC=4−(−4)=8．
【解析】(1)将点B(4,n)坐标代入y=24x(x>0)求出n，将B(4,6)代入一次函数y=34x+m求出m即可；
(2)先求出直线AB的解析式为y=34x+3，令y=0，则x=−4，可得点A坐标，再求出点C坐标，继而可得线段AC的长．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，代入求值是关键．
20.【答案】解：(1)在△CDB中，
∵∠CBD=70°，∠DCB=45°，
∴∠CDB=180°−∠CBD−∠DCB=65°；
(2)过点A作BD的平行线AF，
∵∠ABD=70°，
∴∠FAB=110°，
∵∠EAB=135°，
∴∠EAF=∠EAB−∠FAB=25°，
分别过点A，E作AM⊥BD于M，EN⊥AF于N，
∵∠EAF=25°，AE=30cm，AB=120cm，∠ABD=70°，
∴EN=sin∠EAN⋅AE=sin25°×30=0.423×30≈1.27cm，
AM=AB⋅sin70°=120×0.94=112.8cm，
∴漫步机的高度为EN+AM=1.27+112.8=114.07≈114.1cm．
【解析】(1)利用三角形内角和定理计算即可求解；
(2)过点A作BD的平行线AF，过点A，E作AM⊥BD于M，EN⊥AF于N，解直角三角形AEN和直角三角形ABM即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
21.【答案】4 9 16 25
【解析】解：(1)观察图形可知，图1中标准小等边三角形的个数有1+3=4(个)，
图2中标准小等边三角形的个数有1+3+5=9(个)，
图3中标准小等边三角形的个数有1+3+5+7=16(个)；
故答案为：4，9，16；
(2)按此规律摆放下去，第四个图形中共有标准小等边三角形的数为1+3+5+7+9=25(个)；
故答案为：25；
(3)存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为265个的情况；
设最后一个图形是第n个图形，则最后一个图形标准小等边三角形的个数有(1+3+5+...+2n+1)个，
∴[1+3+5+...+2(n−1)+1]+[1+3+5+...+2n+1]=265，
即n2+(n+1)2=265，
解得n=11或n=−12(舍去)，
∴最后一个图形是第11个图形，
∵1+3+5+...+23=144(个)，
∴最后一个图形标准小等边三角形的个数有144个．
(1)观察图形可得答案；
(2)按照(1)中的规律可得答案；
(3)设最后一个图形是第n个图形，则最后一个图形标准小等边三角形的个数有(1+3+5+...+2n+1)个，可得[1+3+5+...+2(n−1)+1]+[1+3+5+...+2n+1]=265，即可解得n=11，从而得到答案．
本题考查三角形的摆放规律，解题的关键是读懂题意，找到图形变化的规律．
22.【答案】解：(1)连接DE，AD，
∵CD是直径，
∴∠DAC=∠DEC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA=DE，
∵CD=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△DAC(HL)，
∴CE=AC=8，
∴BE=BC−CE=10−8=2；
(2)∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∵∠BDE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠DCE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE，
∴BEDE=DEEC，
∴DE2=BE⋅EC=2×8=16，
∴DE=AD=4，
∴CD2=DE2+EC2=42+82，
∴⊙O的直CD=4 5，
∴tan∠ACD=ADAC=48=12．
【解析】(1))连接DE，AD，由HL证明Rt△DEC≌Rt△DAC，得到CE=AC，即可求出EB的长；
(2)由△BDE∽△DCE，求出DE的长，由勾股定理即可求出CD的长，由锐角的正切即可求出tan∠ACD的值．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
23.【答案】10° 55°
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵将PA逆时针旋转90°得到PM，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠PAM=∠M=45°，
∵∠DAP=45°，
∴∠BAE=∠BAD−∠PAM−∠DAP=10°，
∴∠AEB=∠FEM=90°−∠BAE=80°，
∴∠EFM=180°−∠FEM−∠M=55°，
故答案为：10°，55°；
(2)过点M作MQ⊥DC交DC延长线于Q，MN⊥BC于N，则∠Q=∠MNC=∠BNB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠D=∠BCD=90°，
∴∠D=∠Q=∠BCQ=∠MNC=∠BNB=90°，∠DAP+∠APD=90°，
∴四边形MNCQ为矩形，
∵将PA逆时针旋转90°得到PM，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠APD+∠MPQ=90°，
∴∠DAP=∠MPQ，
∴△ADP≌△PQM(AAS)，
∴DP=MQ，AD=PQ，
∵P为CD的中点，
∴PD=PC=12CD=12AD=12PQ，
∴MQ=PC=CQ，
∴四边形MNCO为正方形
∴MN=CN=MQ=12AD=12BC，
∴BN=CN，
∴MN=BN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠CBM=45°；
(3)存在．
连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
由勾股定理可知AF= AB2+BF2，
∴当BF取最小值时，AF有最小值，
而BF=BC−CF，
∴当CF取最大值时，BF有最小值时，
即：当CF取最大值时，AF有最小值，
设DP=x，CF=y，则PC=4−x，
由(2)可知，∠DAP=∠FPC，
∴△ADP∽△PCF，
∴ADPC=DPCF，
∴44−x=xy，
∴y=x(4−x)4=−14x2+x=−14(x−2)2+1，
∴x=2时，y有最大值1，
此时DP=2，CF=1，则BF=3，
∴AF= AB2+BF2= 42+32=5，
即：当DP=2时，AF存在最小值，此时AF取得最小值为5．
(1)由旋转的性质得出PA=PB，∠APB=90°，求出∠ABE和∠AEB的度数，则可得出答案；
(2)过点M作MQ⊥DC交DC延长线于Q，MN⊥BC于N，则∠Q=∠MNC=∠BNB=90°，证明△ADP≌△PQM(AAS)，得出DP=MQ，AD=PQ，证出△BMN是等腰直角三角形，则可得出答案；
(3)连接AF，设DP=x，CF=y，则PC=4−x，由(2)可知，∠DAP=∠FPC，证明△ADP∽△PCF，得出ADPC=DPCF，求出x=2时，y有最大值1，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A. x(x−1)=0B. x2−ax2=2C. x2−1x=0D. xy−1=0
2.若点A(m,n)在反比例函数y=6x的图象上，则下列结论正确的是( )
A. m+n=6B. m−n=6C. mn=6D. mn=6
3.如图所示，由三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，且斜边长分别2和4，则两个三角形的面积比为( )
A. 1： 2B. 1：2C. 1：4D. 1：8
5.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )
A. 38B. 58C. 23D. 12
6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE=2，AF=6，AE//CF，则△ABE的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若ab=13，则a+ba的值为______．
8.一元二次方程x2−2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为______．
9.若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为______．
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB=______．
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，AC=2，AD⊥BC，垂足为D，DE//AC，则ED长为______．
12.如图，菱形ABCD中，AD=4，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，点P在菱形的边上，若DE=DP，则CP的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程：x2−4x+3=0；
(2)如果四条成比例线段的长分别为2，3，6，a，求a的值．
14.(本小题6分)
新能源汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2023年中旬某市新能源汽车拥有量为18.9万辆，已知2021年中旬该市新能源汽车拥有量约为2.1万辆，求2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率．
15.(本小题6分)
如图是4×6正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，以AB为对角线，作一个正方形；
(2)在图2中，取格点C，作∠BAC，使sin∠CAB= 22．
16.(本小题6分)
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过点D作DE//AC，交BC于点E.求证：BDAB=ECAC．
17.(本小题6分)
在一个不透明的袋中装有一个红球和两个2个绿球，这些球除颜色外都相同．
(1)随机摸一个球，摸到的是红球的概率为______，摸到的是黄球是______事件；
(2)小新从袋中随机摸出一个球，放回后，又再摸出一个球，求摸到一个红球和一个绿球的概率．
18.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D为AB的中点，DE⊥BC，垂足为E，DE=2，求EC的长．
19.(本小题8分)
如图，已知一次函数y=34x+m的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=24x(x>0)的图象交于点B(4,n)，BC⊥x轴，垂足为C．
(1)求m，n的值；
(2)求AC的长．
20.(本小题8分)
如图1是某校操场上的一种漫步机，图2是其侧面结构示意图，已知主支架AB长为120cm，且与水平地面基架BD的夹角为70°，前支架CD与AB所成的∠DCB=45°，扶手AE长为30cm，∠EAB=135°．
(1)求∠CDB的度数；
(2)求漫步机的高度(点F到BD的距离)．
(参考数据：cs70°≈0.342，sin70°≈0.940，tan70°≈1.222，cs25°≈0.906，sin25°≈0.423，tan25°≈0.466，结果精确到0.1cm)
21.(本小题9分)
九年级某班在学习了教材P23页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程：将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题：
问题提出
(1)在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有______个，图2中共有______个，图3中共有______个；
操作发现
(2)按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为______个；
数学思考
(3)按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为265个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由．
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，AC=8，BC=10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．
(1)求BE的长；
(2)求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．
23.(本小题12分)
某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，正方形ABCD中，P在CD边上任意一点(不与点C重合)，以P为旋转中心，将PA逆时针旋转90°，得到PM，连接AM，AM，PM分别交BC于点E，F．
操作发现
(1)当∠DAP=35°时，∠BAE的度数为______，∠EFM的度数为______；
数学思考
(2)连接BM，当P为CD中点时，求证：∠CBM=45°；
拓展应用
(3)若AB=4，AF是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、去括号整理可得x2−x=0，是一元二次方程，符合题意；
B、由x2−ax2=2得到(1−a)x2−2=0，当a=1时，该方程不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、该方程不是整式方程，不符合题意；
D、方程xy−1=0中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的判断，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】C
【解析】解：∵点A(m,n)在反比例函数y=6x的图象上，
∴n=6m，
∴mn=6，
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积相等解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积相等是关键．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看可以得到从左到右共两列，正方形的个数依次是1，1，
因此主视图为．
故选：D．
根据主视图的定义即可判断，从正面看到的图形即是主视图．
本题考查了三视图的知识，解题的关键在于准确识图．
4.【答案】C
【解析】解：设等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF的直角边长分别为a、b，
则a2+a2=22，b2+b2=42，
∴a2=2，b2=8，
∵S△ABC=12a2=1，S△DEF=12b2=4，
∴两个三角形的面积比=1：4，
故选：C．
由勾股定理和三角形面积公式分别求出两个三角形的面积，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．
【解答】
解：由题意可得，所有的可能性为：
∴共有8种等可能情况，其中至少有两枚硬币正面向上的有4种，
∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：48=12，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形是ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=BC，∠B=90°，
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE=AF=6，
∵BE=2，
∴BC=BE+CE=2+6=8，
∴AB=8，
∵∠B=90°，
∴△ABE的面积=12⋅AB⋅BE=12×8×2=8．
故选：B．
先根据正方形的性质可得：AD//BC，AB=BC，∠B=90°，证明四边形AECF是平行四边形，可得CE=AF=6，由此计算AB=BC=8，最后由直角三角形的面积公式可得结论．
本题考查正方形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质知识，熟练掌握相关知识是解答的关键．
7.【答案】4
【解析】【分析】
此题考查了分式的化简求值以及比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，是一道基础题．
根据ab=13，得出b=3a，再代入a+ba进行计算即可得出答案．
【解答】
解：∵ab=13，
∴b=3a，
∴a+ba=a+3aa=4；
故答案为：4．
8.【答案】0
【解析】解：∵x2−2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0，
故答案为：0．
根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．
9.【答案】2 2
【解析】解：设正方形的边长为a，
∵正方形ABCD的周长为8，
∴4a=8，即a=2，
∴对角线AC= 2a=2 2．
故答案为：2 2．
由正方形的周长可得正方形的边长，再由对角线等于边长的 2倍，可得结论．
本题主要考查正方形的性质，属于简单题目，知道对角线与边长的关系是解题关键．
10.【答案】10
【解析】解：∵∠C=90°，sinA=BCAB=35，BC=6，
∴AB=53BC=53×6=10；
故答案为：10．
根据三角函数的定义即可得出结果．
本题主要考查了解直角三角形、正弦函数的定义；熟练掌握正弦函数的定义是解决问题的关键．
11.【答案】32
【解析】解：∵∠BAC=90°，BC=4，AC=2，
∴AB= BC2−AC2= 42−22=2 3，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AB⋅AC，
∴AD=AB⋅ACBC=2 3×24= 3，
∴BD= AB2−AD2= (2 3)2−( 3)2=3，
∵DE//AC，
∴∠DEB=∠BAC=90°，
∴DE⊥AB，
∴S△ABD=12AB⋅ED=12AD⋅BD，
∴ED=AD⋅BDAB= 3×32 3=32，
故答案为：32．
由勾股定理和三角形面积面积求出AD的长，再由勾股定理求出BD的长，然后由三角形面积求出ED的长即可．
本题考查了勾股定理、平行线的性质以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.【答案】2 2
【解析】解：过点P作PH⊥CD于H点，如图，
在Rt△ADE中，∵∠A=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE= 22AD= 22×4=2 2，
∴DP=DE=2 2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠A=45°，CD=AD=4，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴PH=CH，PC= 2CH，
∴DH=4−CH，
在Rt△DPH中，∵DH2+PH2=DP2，
∴(4−CH)2+CH2=(2 2)2，
解得CH=2，
∴PC=2 2．
故答案为：2 2．
过点P作PH⊥CD于H点，如图，利用△ADE为等腰直角三角形得到DE=2 2，所以DP=2 2，再根据菱形的性质得到∠D=∠A=45°，CD=AD=4，则△PCH为等腰直角三角形，所以PH=CH，PC= 2CH，则DH=4−CH，在Rt△DPH中利用勾股定理得到(4−CH)2+CH2=(2 2)2，然后解方程求出CH，从而得到PC的长．
本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
13.【答案】解：(1)x2−4x+3=0，
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
所以x1=3，x2=1；
(2)若2：3=6：a．
解得a=9，
若2：a=3：6，
解得a=4，
若a：2=3：6，
解得a=1，
综上所述，a的值为1或4或9．
【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x−3=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可；
(2)根据成比例线段的定义得到2：3=6：a或2：a=3：6或a：2=3：6，然后利用比例性质求出对应的a即可．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．一考查了解一元二次方程．
14.【答案】解：设2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意得：2.1(1+x)2=18.9，
解得：x1=2=200%，x2=−4(不符合题意，舍去)．
答：2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为200%．
【解析】设2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为x，利用2023年中旬该市新能源汽车拥有量=2021年中旬该市新能源汽车拥有量×(1+2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】解：(1)正方形ACBD即为所求；
(2)∠CAB即为所求．
【解析】(1)根据正方形的判定定理作图；
(2)根据网格线的特征及三角函数作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握正方形的判定定理和特殊三角函数值是解题的关键．
16.【答案】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE//AC，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠EDC=∠BCD，
∴DE=EC，
∵△DBE∽△ABC，
∴BDAB=DEAC，
∴BDAB=ECAC．
【解析】由CD平分∠ACB，DE//AC，推导出∠EDC=∠BCD，则DE=EC，而△DBE∽△ABC，则BDAB=DEAC，所以BDAB=ECAC．
此题重点考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定等知识，证明DE=EC及△DBE∽△ABC是解题的关键．
17.【答案】13 不可能
【解析】解：(1)∵在一个不透明的袋中装有一个红球和两个2个绿球，
∴随机摸一个球，摸到的是红球的概率为13，摸到的是黄球是不可能事件，
故答案为：13，不可能；
(2)树状图如下：
由上可得，一共有9种等可能事件，其中摸到一个红球和一个绿球的可能性有4种，
∴摸到一个红球和一个绿球的概率为49．
(1)根据题意和题目中的数据，可以计算出相应的概率和写出摸到的是黄球是不可能事件；
(2)先画出相应的树状图，然后计算出相应的概率即可．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
18.【答案】解：∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2×2=4，BE= 3DE=2 3，
∵D为AB的中点，
∴AB=2BD=8，
∵∠A=90°，∠B=30°，
∴AC= 33AB=8 33，
∴BC=2AC=16 33，
∴EC=BC−BE=10 33．
【解析】由垂直的定义得到∠BED=90°，由含30度角的直角三角形的性质，求出BD=2DE=2×2=4，BE= 3DE=2 3，AC= 33AB=8 33，BC=2AC=16 33，即可得到EC=BC−BE=10 33．
本题考查含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到BD=2DE，BE= 3DE，AC= 33AB，BC=2AC．
19.【答案】解：(1)∵点B(4,n)在反比例函数y=24x(x>0)的图象上，
∴n=244=6，
∴B(4,6)，
∵B(4,6)在一次函数y=34x+m的图象上，
∴34×4+m=6，解得m=3．
(2)由(1)可知，直线AB的解析式为y=34x+3，令y=0，则x=−4，
∴A(−4,0)，
∵BC⊥x轴，垂足为C．
∴C(4,0)，
∴AC=4−(−4)=8．
【解析】(1)将点B(4,n)坐标代入y=24x(x>0)求出n，将B(4,6)代入一次函数y=34x+m求出m即可；
(2)先求出直线AB的解析式为y=34x+3，令y=0，则x=−4，可得点A坐标，再求出点C坐标，继而可得线段AC的长．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，代入求值是关键．
20.【答案】解：(1)在△CDB中，
∵∠CBD=70°，∠DCB=45°，
∴∠CDB=180°−∠CBD−∠DCB=65°；
(2)过点A作BD的平行线AF，
∵∠ABD=70°，
∴∠FAB=110°，
∵∠EAB=135°，
∴∠EAF=∠EAB−∠FAB=25°，
分别过点A，E作AM⊥BD于M，EN⊥AF于N，
∵∠EAF=25°，AE=30cm，AB=120cm，∠ABD=70°，
∴EN=sin∠EAN⋅AE=sin25°×30=0.423×30≈1.27cm，
AM=AB⋅sin70°=120×0.94=112.8cm，
∴漫步机的高度为EN+AM=1.27+112.8=114.07≈114.1cm．
【解析】(1)利用三角形内角和定理计算即可求解；
(2)过点A作BD的平行线AF，过点A，E作AM⊥BD于M，EN⊥AF于N，解直角三角形AEN和直角三角形ABM即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
21.【答案】4 9 16 25
【解析】解：(1)观察图形可知，图1中标准小等边三角形的个数有1+3=4(个)，
图2中标准小等边三角形的个数有1+3+5=9(个)，
图3中标准小等边三角形的个数有1+3+5+7=16(个)；
故答案为：4，9，16；
(2)按此规律摆放下去，第四个图形中共有标准小等边三角形的数为1+3+5+7+9=25(个)；
故答案为：25；
(3)存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为265个的情况；
设最后一个图形是第n个图形，则最后一个图形标准小等边三角形的个数有(1+3+5+...+2n+1)个，
∴[1+3+5+...+2(n−1)+1]+[1+3+5+...+2n+1]=265，
即n2+(n+1)2=265，
解得n=11或n=−12(舍去)，
∴最后一个图形是第11个图形，
∵1+3+5+...+23=144(个)，
∴最后一个图形标准小等边三角形的个数有144个．
(1)观察图形可得答案；
(2)按照(1)中的规律可得答案；
(3)设最后一个图形是第n个图形，则最后一个图形标准小等边三角形的个数有(1+3+5+...+2n+1)个，可得[1+3+5+...+2(n−1)+1]+[1+3+5+...+2n+1]=265，即可解得n=11，从而得到答案．
本题考查三角形的摆放规律，解题的关键是读懂题意，找到图形变化的规律．
22.【答案】解：(1)连接DE，AD，
∵CD是直径，
∴∠DAC=∠DEC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA=DE，
∵CD=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△DAC(HL)，
∴CE=AC=8，
∴BE=BC−CE=10−8=2；
(2)∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∵∠BDE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠DCE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE，
∴BEDE=DEEC，
∴DE2=BE⋅EC=2×8=16，
∴DE=AD=4，
∴CD2=DE2+EC2=42+82，
∴⊙O的直CD=4 5，
∴tan∠ACD=ADAC=48=12．
【解析】(1))连接DE，AD，由HL证明Rt△DEC≌Rt△DAC，得到CE=AC，即可求出EB的长；
(2)由△BDE∽△DCE，求出DE的长，由勾股定理即可求出CD的长，由锐角的正切即可求出tan∠ACD的值．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
23.【答案】10° 55°
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵将PA逆时针旋转90°得到PM，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠PAM=∠M=45°，
∵∠DAP=45°，
∴∠BAE=∠BAD−∠PAM−∠DAP=10°，
∴∠AEB=∠FEM=90°−∠BAE=80°，
∴∠EFM=180°−∠FEM−∠M=55°，
故答案为：10°，55°；
(2)过点M作MQ⊥DC交DC延长线于Q，MN⊥BC于N，则∠Q=∠MNC=∠BNB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠D=∠BCD=90°，
∴∠D=∠Q=∠BCQ=∠MNC=∠BNB=90°，∠DAP+∠APD=90°，
∴四边形MNCQ为矩形，
∵将PA逆时针旋转90°得到PM，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠APD+∠MPQ=90°，
∴∠DAP=∠MPQ，
∴△ADP≌△PQM(AAS)，
∴DP=MQ，AD=PQ，
∵P为CD的中点，
∴PD=PC=12CD=12AD=12PQ，
∴MQ=PC=CQ，
∴四边形MNCO为正方形
∴MN=CN=MQ=12AD=12BC，
∴BN=CN，
∴MN=BN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠CBM=45°；
(3)存在．
连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
由勾股定理可知AF= AB2+BF2，
∴当BF取最小值时，AF有最小值，
而BF=BC−CF，
∴当CF取最大值时，BF有最小值时，
即：当CF取最大值时，AF有最小值，
设DP=x，CF=y，则PC=4−x，
由(2)可知，∠DAP=∠FPC，
∴△ADP∽△PCF，
∴ADPC=DPCF，
∴44−x=xy，
∴y=x(4−x)4=−14x2+x=−14(x−2)2+1，
∴x=2时，y有最大值1，
此时DP=2，CF=1，则BF=3，
∴AF= AB2+BF2= 42+32=5，
即：当DP=2时，AF存在最小值，此时AF取得最小值为5．
(1)由旋转的性质得出PA=PB，∠APB=90°，求出∠ABE和∠AEB的度数，则可得出答案；
(2)过点M作MQ⊥DC交DC延长线于Q，MN⊥BC于N，则∠Q=∠MNC=∠BNB=90°，证明△ADP≌△PQM(AAS)，得出DP=MQ，AD=PQ，证出△BMN是等腰直角三角形，则可得出答案；
(3)连接AF，设DP=x，CF=y，则PC=4−x，由(2)可知，∠DAP=∠FPC，证明△ADP∽△PCF，得出ADPC=DPCF，求出x=2时，y有最大值1，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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