2022-2023学年江西省吉安市青原区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省吉安市青原区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省吉安市青原区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 甲骨文是汉字的早期形式，如图所示甲骨文中，不是轴对称的是(    )
A. 射 B. 鼎 C. 北 D. 比
2. 下列运算中，正确的是(    )
A. a2⋅a3=a6 B. (−a)6÷(−a)3=−a3
C. (ab2)3=ab6 D. (−3a3)2=6a6
3. 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是(    )


A. ∠3=∠4 B. ∠D+∠ACD=180°
C. ∠D=∠DCE D. ∠1=∠2
4. 下列事件中，是必然事件的是(    )
A. 水中捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 百步穿杨
5. 如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、B的距离，用合适的方法使BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°，因此测得DE的长就是AB的长，在这里判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是(    )

A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA
6. 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A5→A4→A3→A2→A1爬行，那么蚂蚁爬行时高度h随时间t变化的图象大致是(    )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 科学记数法表示0.00000102= ______ ．
8. 已知a+b=2，a−b=3.则a2−b2的值为______．
9. 如图，在△ABC中，AC=4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为__________cm．
                                
10. 等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为______．
11. 已知2a=2，2b=6，2c=3，则2a+b+c= ______ ．
12. 如图，直角△ABC中，∠A=20°，∠BCA=90°，点P在AB上，过点P作PM⊥AC，垂足为M，当△BCP为等腰三角形时，∠CPM的度数为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题3.0分)
计算：(−1)2023+(−12)−2−(3.14−π)0；
14. (本小题3.0分)
如图，AB、CD交于点O，EO⊥AB，若∠AOD的补角是40°，求∠COE的度数．

15. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+y)(x−y)+(x−y)2−(6x2y−2xy2)÷2y，其中x=−1，y=2．
16. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，BE⊥AC交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，过点C作AB边上的高线CE；
(2)在图②中，过点E作BC的平行线EF．

17. (本小题6.0分)
在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的4倍少10°，求这两个锐角的度数．
18. (本小题6.0分)
不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同．
(1)求从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率；
(2)现在要放入黄球若干个，使袋中任意摸出一个球是黄球的概率为12，求放入黄球个数．
19. (本小题8.0分)
填空，将本题补充完整．
如图，已知EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=75°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF//AD(已知)，
∴∠2= ______ ，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1= ______ (等量代换)，
∴AB//GD(______ )，
∴∠BAC+ ______ =180°(______ )，
∵∠BAC=75°(已知)，
∴∠AGD= ______ °.

20. (本小题8.0分)
青原区某校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．

立柱根数
1
2
3
4
5
…
护栏总长度(米)
0.2
3.4
______
9.8
______
…
(1)根据如图所示，将表格补充完整；
(2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是______ ；
(3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？
21. (本小题8.0分)
如图所示，已知等腰△ABC中，AC=BC，∠ACE与∠BCF互余，∠AEC=∠CFB=90°．
(1)试说明：△ACE≌△CBF；
(2)若AE=4cm，BF=10cm，求EF的长度．

22. (本小题9.0分)
“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC分别表示乌龟和兔子赛跑的路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)赛跑的全程是______ 米，兔子在起初每分钟跑______ 米，乌龟每分钟爬______ 米；
(2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
(3)兔子醒来，以12千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？

23. (本小题9.0分)
阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2−12x+37的最小值；
解：x2−12x+37=x2−2x⋅6+62−62+37=(x−6)2+1；
因为不论x取何值，(x−6)总是非负数，即(x−6)2≥0；
所以(x−6)2+1≥1；
所以当x=6时，x2−12x+37有最小值，最小值是1．

根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：
x2−8x+18=x2−8x+16+ ______ =(x−______ )2+2；
(2)将x2+16x−5变形为(x+m)2+n的形式，并求出x2+16x−5最小值；
(3)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．
24. (本小题12.0分)
在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，BD，CE相交于点P．
(1)如图1，如果∠A=60°，∠ACB=90°，则∠BPC=______；
(2)如图2，如果∠A=60°，∠ACB不是直角，请问在(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)小月同学在完成(2)之后，发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系，于是她在边CB上截取了CF=CD，连接PF，可证△CDP≌△CFP，请你写出小月同学发现，并完成她的说理过程．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项D不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】B 
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，计算错误，不符合题意；
B、(−a)6÷(−a)3=a6÷(−a3)=−a3，计算正确，符合题意；
C、(ab2)3=a3b6，计算错误，不符合题意；
D、(−3a3)2=9a6，计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，幂的乘方指数是相乘．

3.【答案】D 
【解析】
解：A、由∠3=∠4可判断DB//AC，故此选项错误；
B、由∠D+∠ACD=180°可判断DB//AC，故此选项错误；
C、由∠D=∠DCE可判断DB//AC，故此选项错误；
D、由∠1=∠2可判断AB//CD，故此选项正确，
故选：D．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．  
4.【答案】B 
【解析】解：A、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，符合题意；
C、守株待兔是随机事件，不符合题意；
D、百步穿杨是随机事件，不符合题意．
故选：B．
根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6.【答案】A 
【解析】解：由题意，得：蚂蚁爬行A1A2时高度逐渐增加，A2A3时高度不变，A3A4时高度逐渐增加，A4A5时高度不变．故A选项符合题意．
故选：A．
根据爬行A1A2时高度逐渐增加，A2A3时高度不变，A3A4时高度逐渐增加，A4A5时高度不变，可得答案．
本题考查了函数图象，注意B项中高度不能在某一时刻直线增加．

7.【答案】1.02×10−6 
【解析】解：0.00000102=1.02×10−6．
故答案为：1.02×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

8.【答案】6 
【解析】解：当a+b=2，a−b=3时，
a2−b2=(a+b)(a−b)=2×3=6．
故选：6．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．

9.【答案】3 
【解析】
【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB=NA，
△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，
∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，
∴BC=3cm，
故答案为：3．  
10.【答案】22 
【解析】解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9>9，
∴三角形的周长=4+9+9=22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4<9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故答案为：22．
分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．

11.【答案】36 
【解析】解：当2a=2，2b=6，2c=3时，
2a+b+c
=2a×2b×2c
=2×6×3
=36．
故答案为：36．
利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

12.【答案】55°或40°或70° 
【解析】解：∵∠A=20°，∠BCA=90°，
∴∠B=90°−∠A=70°，
∵PM⊥AC，
∴∠PMA=90°，
∴∠PMA=∠BCA=90°，
∴BC//PM，
∴∠CPM=∠BCP，
分三种情况：
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC=180°−∠B2=55°，
∴∠CPM=∠BCP=55°；
当CB=CP时，
∴∠B=∠CPB=70°，
∴∠BCP=180°−∠B−∠CPB=40°，
∴∠CPM=∠BCP=40°；
当PB=PC时，
∴∠B=∠BCP=70°，
∴∠CPM=∠BCP=70°；
综上所述：当△BCP为等腰三角形时，∠CPM的度数为55°或40°或70°，
故答案为：55°或40°或70°．
先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B=70°，再根据垂直定义可得∠PMA=∠BCA=90°，从而可得BC//PM，然后利用平行线的性质可得∠CPM=∠BCP，最后分三种情况：当BC=BP时；当CB=CP时；当PB=PC时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键．

13.【答案】解：(−1)2023+(−12)−2−(3.14−π)0
=−1+4−1
=2． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

14.【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOD的补角是40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠COE=∠AOE−∠AOC=90°−40°=50°． 
【解析】根据EO⊥AB，得∠AOE=90°，根据∠AOD的补角是40°，可得∠AOC=40°，即可求出答案．
本题考查邻补角的定义，邻补角的性质，垂线的定义，角的和与差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．

15.【答案】解：原式=x2−y2+x2+y2−2xy−3x2+xy
=−xy−x2，
当x=−1，y=2时，
原式=−(−1)×2−(−1)2=2−1=1． 
【解析】先根据多项式混合运算法则化简，再把x=−1，y=2代入计算即可．
本题考查整式的化简求值，熟练掌握多项式混合运算法则和乘法公式是解题的关键．

16.【答案】解：(1)如图①中，线段CF即为所求；
(2)如图②中，EF即为所求．
 
【解析】(1)连接AD交BE于点O，连接CO，延长CO交AB于点F，线段CF即为所求；
(2)作CF⊥AB，连接EF，EF即为所求．
本题考查作图−复杂作图，三角形的高，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

17.【答案】解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为(4x−10)°，
由题意得，x+(4x−10)=90，
解得x=20，
4x−10=4×20−10=70，
所以，这两个锐角的度数分别为20°，70°． 
【解析】设另一个锐角为x°，表示出一个锐角，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．

18.【答案】解：(1)∵袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球共12个，
∴从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率为412=13；
(2)设放入黄球的个数为x，
根据题意得4+x12+x=12，
解得x=4，
经检验，原方程的解为x=4，
所以放入黄球个数为4． 
【解析】(1)直接利用概率公式计算即可；
(2)先求出黄球的数目，利用概率公式计算即可；
此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．

19.【答案】∠3  ∠3  内错角相等，两直线平行  ∠AGD  两直线平行，同旁内角互补  105 
【解析】解：∵EF//AD(已知)，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)，
∴AB//GD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAC=75°(已知)，
∴∠AGD=105°．
故答案为：∠3；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；105．
先利用平行线的性质可得∠2=∠3，从而利用等量代换可得∠1=∠3，然后利用平行线的判定可得AB//GD，从而利用平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】6.6  13  y=3.2x−3 
【解析】解：(1)根据题意可以计算：当立柱根数为3时，护栏总长度为3.2×3−3=6.6(米)，
当立柱根数为5时，护栏总长度为3.2×5−3=13(米)，
故答案为：6.6，13．

(2)由题意得y与x之间的关系式为：y=(0.2+3)x−3=3.2x−3．
故答案为：y=3.2x−3．

(3)当y=93时，3.2x−3=93，
解得x=30，
答：护栏总长度为93米时立柱的根数为30．
(1)根据题意计算即可；
(2)根据等量关系：护栏总长度=(每根立柱宽+立柱间距)×立柱根数−1个立柱间距，就可以求出关系式；
(3)根据关系式就可以计算．
本题考查的是对函数的基本认识和利用关系式解决实际问题，列出关系式是解决此题的关键．

21.【答案】解：(1)∵∠ACE与∠BCF互余，∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=BC ，
∴△ACE≌△CBF(AAS)；
(2)∵△ACE≌△CBF，AE=4cm，BF=10cm，
∴AE=CF=4cm，CE=BF=10cm，
∴EF=CE−CF=6cm． 
【解析】(1)根据互余的定义及直角三角形的性质推出∠CAE=∠BCF，利用AAS即可证明△ACE≌△CBF；
(2)根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ACE≌△CBF是解题的关键．

22.【答案】1600  100  20 
【解析】解：(1)由图可知，赛跑的全程是1600米，
兔子在起初每分钟跑6006=100米，
乌龟每分钟爬160080=20米，
故答案为：1600，100，20；
(2)600÷20=30，
∴乌龟用了30分钟追上了正在睡觉的兔子，
(3)∵12千米/时=200米/分钟，
1600−600200=5(分)，
81−5=76(分)，
76−6=70(分)
∴兔子中间停下睡觉用了70分钟．
(1)根据点D实际意义知全程的距离；根据点A实际意义知兔子起初速度，由点D实际意义可知乌龟的速度；
(2)利用兔子睡觉前行驶的路程是600米，结合乌龟的速度求出所用的时间；
(3)根据比乌龟晚到了1分钟求出兔子走完全程的时间，再得出兔子醒来后奔跑所用时间，求解可得．
本题考查了一次函数图象，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．

23.【答案】2  4 
【解析】解：(1)由题意得，x2−8x+18=x2−8x+16+2=(x−4)2+2．
故答案为：2；4．
(2)由题意得，x2+16x−5=x2+16x+64−69=(x+8)2−69．
∵(x+8)2≥0，
∴(x+8)2−69≥−69．
∴x2+16x−5≥−69．
∴x2+16x−5的最小值为−69．
(3)由题意得，S1=(2a+5)(3a+2)=6a2+4a+15a+10=6a2+19a+10，S2=5a(a+5)=5a2+25a，
∴S1−S2=6a2+19a+10−5a2−25a=a2−6a+10=a2−6a+9+1=(a−3)2+1．
∵(a−3)2≥0，
∴(a−3)2+1≥1>0．
∴S1−S2>0．
∴S1>S2．
(1)依据题意，由完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，进而分析计算可以得解；
(2)依据题意，由配方法进行变形即可得解；
(3)依据题意，分别求出S1与S2，然后作差即可得解．
本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握公式并能灵活变形是关键．

24.【答案】(1)120°；
(2)结论仍然成立，
理由：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，
∴∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，
∵∠A=60°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∴2∠PCB+2∠PBC=120°，
∴∠PCB+∠PBC=60°，
在△PBC中，∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°，
∴∠BPC=180°−(∠PCB+∠PBC)=180°−60°=120°

(3)BC=CD+BE，理由：如图2，

由(2)知，∠BPC=120°，
∴∠DPC=∠EPB=60°，在边CB上截取了CF=CD，连接PF，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠DCP=∠FCP，
在△DCP和△FCP中，
CD=CF∠DCP=∠FCPCP=CP，
∴△DCP≌△FCP(SAS)，
∴∠DPC=∠FPC=60°，
∴∠FPB=∠BPC−∠FPC=60°=∠EPB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠PBF=∠PBE，
在△FPB和△EPB中，
∠FPB=∠EPBBP=BP∠PBF=∠PBE，
∴△FPB≌△EPB，
∴BF=BE，
∴BC=CF+BF=CD+BE． 
【解析】解：(1)∵∠A=60°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理得，∠ABC=180°−60°−90°=30°，
∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB平分线，
∴∠PCB=12∠ACB=45°，∠PBC=12∠ABC=15°，
在△PBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BPC=180°−∠PCB−∠PBC=180°−45°−15°=120°，
故答案为120°；

(2)(3)见答案．
(1)先根据三角形内角和定理求出∠ABC=30，再用角平分线的意义求出∠PCB=45°，∠PBC=15°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
(2)先根据角平分线的意义，求出∠ACB=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，最后用三角形内角和定理即可得出结论；
(3)先判断出△DCP≌△FCP(SAS)，得出CD=CF，∠DPC=∠FPC=60°，进而判断出∠PBF=∠PBE，即可判断出△FPB≌△EPB，最后用等量代换即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的意义，全等三角形的判定和性质，求出∠BPC=120°和构造全等三角形是解本题的关键．