2022-2023学年江西省吉安市井冈山市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省吉安市井冈山市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “共圆冰雪梦，一起向未来．”年月日至日，第届冬奥会在中国北京和张家口举行．以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为纳米，纳米米，若用科学记数法表示纳米，则正确的结果是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 打开电视，它正在播广告 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上
C. 打雷后会下雨 D. 人中有至少两人的生日相同

5.  如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的(    )

A. 三边高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边中线的交点

6.  小明观看了中国诗词大会第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做的依据______．

8.  如图，在直角中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为______ ．

9.  若，，则 ______ ．

10.  已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______ ．

11.  如图，用每张长的纸片，重叠粘贴成一条纸带，纸带的长度与纸片的张数之间的关系式是______．

12.  等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，这个三角形的各个内角的度数为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：

先化简，再求值：化简并求值：其中．

14.  本小题分
如图，点，在线段上，，，请你添加一个条件，使≌，并加以证明．不再添加辅助线和字母

15.  本小题分
某课题小组为了了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专卖店第一季度该品牌、、、四种型号的销售做了统计，绘制成如下两幅统计图均不完整
该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆？
把两幅统计图补充完整；
若该专卖店计划订购这四款型号的电动自行车辆，求型电动自行车应订购多少辆？

16.  本小题分
作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
经过点，画线段平行于所在直线．
过点，画线段垂直于所在直线．

 

17.  本小题分
如图，，，，．
求的度数；
如果是的平分线，那么与平行吗？请说明理由．

18.  本小题分
如图，大小两个正方形边长分别为、．
用含、的代数式阴影部分的面积；
如果，，求阴影部分的面积．

19.  本小题分
公路上依次有，，三个汽车站，上午时，小明骑自行车从，两站之间距离站处出发，向站匀速前进，他骑车的速度是小时，若，两站间的路程是，，两站的路程是．
在小明所走的路程与骑车的时间这两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？
设小明出发小时后，离站的路程为，请写出与之间的关系式．
小明在上午时是否已经经过了站？

20.  本小题分
如图，中，为的中点，厘米，，厘米．
若点在线段上以厘米秒的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动，若点的速度与点的速度相等，经秒钟后，请说明≌；
若点以厘米秒的速度从点向点运动，同时点以厘米秒的速度从点向点运动，它们都依次沿三边运动，则经过多长时间，点第一次在的哪条边上追上点？

21.  本小题分
点为直线上一点，过点作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点处．
如图，将三角板的一边与射线重合时，则 ______ ；
如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转一定角度，当恰好是的角平分线时，求的最小度数；
将图中的三角尺绕点逆时针旋转的过程中，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使？若能，求出的度数；若不能，说明理由．

 

22.  本小题分
【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按如图的形状拼成一个正方形请解答下列问题：
请用两种不同的方法求如图中阴影部分的面积：
方法：______ ；
方法：______ ；
由此可以得出，、之间的等量关系是______ ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
根据如图，写出一个代数恒等式：______
已知，，利用上面的规律求的值．

23.  本小题分
已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
如图，试说明：≌；
如图，若，则______；如图，若，则______；如图，若，则______；
如图，若，求的值用含的代数式表示；
若、、三点不在同一直线上，线段与线段交于点交点至少在、中的一条线段上，如图，若，试判断与的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：，正确；
      ：因为，与不是同类项，不能合并，所以选项错误；
      ：，所以选项错误；
      ：，所以选项错误；
               故：选A
合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及其指数都不变，而的错误之处是把合并同类项与同底数幂的乘法混为一谈了
本题容易出错的选项是选项，有些学生把合并同类项与同底数幂的乘法运算混为一谈，需要注意．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
首先根据纳米米，把纳米化成以米为单位的量；然后根据绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，用科学记数法表示纳米即可．
解：纳米米，
纳米米米米．
故选：．
 

4.【答案】 

【解析】解：、打开电视，它正在播广告是随机事件，故A不符合题意；
B、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、打雷后会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、人中有至少两人的生日相同是必然事件，故D符合题意．
故选D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的重心的概念和性质，注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点解答．
【解答】

解：支撑点应是三角形的重心，
三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，，不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：．
开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

7.【答案】三角形的稳定性 

【解析】解：为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，形成三角形的结构，这样做的理由是利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于，
平分，，，
，
故答案为：．
作于，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把两边平方得：，即，
把代入得：，
故答案为：
把两边平方，利用完全平方公式展开，将代入计算即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当腰长是时，因为，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是时，因为，符合三角形三边关系，此时周长是．
故答案为：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据纸带的长度随着纸片的张数的变化规律得，
，
故答案为：．
根据纸带的长度随着纸片的张数的变化规律，得出相应的函数关系式．
本题考查列函数关系式的方法，理解题目中的数量关系是得出函数关系式的前提．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，

一腰上的高与底边的夹角为，
底角，
顶角．
故答案为：如图，等腰三角形为锐角三角形，

，，
，
即顶角的度数为．
如图，等腰三角形为钝角三角形，

，，
，
．
故答案为：或或．
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，根据直角三角形两锐角互余求出底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，需要注意等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为中等腰三角形是钝角三角形时不成立．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
 

13.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，
原式


． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
直接去括号，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键．
 

14.【答案】添加条件：．
证明：，
，
，
在和中，

≌． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．
先求出，添加条件，根据推出两三角形全等即可．
 

15.【答案】解：
辆．
答：该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共辆．

品牌：；
品牌：；品牌：．

辆．
答：型电动自行车应订购辆． 

【解析】根据品牌辆占总体的，即可求得总体；
根据中求得的总数和扇形统计图中品牌所占的百分比即可求得品牌的数量，进而补全条形统计图；根据条形统计图中、的数量和总数即可求得所占的百分比，从而补全扇形统计图；
根据扇形统计图所占的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．
 

16.【答案】解：如图，线段即为所求答案不唯一；
如图，线段即为所求．
 

【解析】本题考查作图应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
根据平行线的定义，画出图形即可；
根据垂线的定义，画出图形即可．
 

17.【答案】解：，
，
又，
，
又，
；

．
证明：，，
，
又是的平分线，
，
又，
，
． 

【解析】根据平行线的性质和已知求出，即可得出答案；
求出，根据平行线的性质求出，求出，即可得出，根据平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

18.【答案】解：大小两个正方形边长分别为、，
阴影部分的面积为：；

，，
． 

【解析】利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积求出即可；
利用完全平方公式结合已知条件求出即可．
此题主要考查了整式的混合运算以及化简求值，正确利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积是解题关键．
 

19.【答案】解：骑车的时间是自变量，所走的路程是因变量；
小明骑车的速度是小时，
离站的路程为：；
当时，，
可知上午时小明还没有经过站． 

【解析】此题主要考查了函数关系式以及常量与变量，正确得出函数关系式是解题关键．
直接利用自变量以及因变量的定义分析得出答案；
利用小明骑自行车从，两站之间距离站处出发，向站匀速前进，他骑车的速度是小时，进而得出离站的路程；
利用出发时间为小时，进而得出答案．
 

20.【答案】解：，，
，
为的中点，
，
，
，
在与中，
，
≌；
设经过秒后，点第一次追上点，由题意得，
解得：，
点运动的路程为，
，
此时点在边上，
经过秒，点第一次在边上追上点． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，再加上，，则可判断与全等；
设经过秒后，点第一次追上点，由题意得，解方程得到点运动的路程为，得到此时点在边上，于是得到结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，与射线重合，
，
，
，
，
故答案为：；
由得，，
是的角平分线，
，
，
；
能，
当时，有：
，，
则，
解得：；
时，有：
，，
则，
解得：；
时，有：
，，
则，
解得：舍去；
时，有：
，，
则，
解得：舍去；
时，有：
，，
则，
解得：舍去．
综上所述，的度数为或．
由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
分种情况讨论：；；；；分析清楚角关系求解即可．
本题属于三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
 

22.【答案】      ； 

【解析】解：方法一：根据图知阴影边长为的正方形，
面积为：，
方法二：根据图知阴影面积是边长为的正方形的面积减去个长为，宽为的长方形的面积，
面积为：，
，、之间的等量关系是，
故答案为：，，；
根据图看作棱长为的正方体，则体积为：，
图又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该正方体体积为：，
，
故答案为：；
由知：，

，
，，

，
，
故答案为：．
利用面积相等推导公式；
利用体积相等推导；
利用中结论进行变形计算即可．
本题考查完全平方公式的几何意义：能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：，
，
，
在和中，
，
；

如图，，，
所以是等边三角形．
，，
所以是等边三角形．
由知≌．
．
是的外角．
；
如图，，，，
≌．
，
又，，
．
；
如图，，
．
．
又，，
≌．
．
，
．
．
故答案为：，，；

，
．
．
由可知，
．
．
；

，
理由如下：，
，
，
在和中，
，
，
，
．
由“”可证≌；
如图，由知≌，得出，再根据是的外角求出其度数．
如图，首先证明≌，得出，又有，进而得出．
如图，首先证明≌，得出，又有得到，进而求出．
由得到，由可知，，从而得出，得到结论．
由得到，通过证明≌得，由三角形内角和定理得到结论．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形的内角和定理的应用，关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理．