2023年山西省吕梁市临县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山西省吕梁市临县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约万亿元，其中第三产业约占，由此可知，第三产业总值为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.  如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在立方体六个面上，分别标上“爱、我、洛、湾、中、学”，如图是立体的三种不同摆法，则三种摆法的左侧面上三个字分别是(    )

A. 中、洛、湾 B. 我、洛、学 C. 我、学、洛 D. 中、学、湾

6.  学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上任意一点与点不重合，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，二次函数为常数，且的图象过点，对称轴为直线，且，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 为任意实数
D.
 

10.  如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算的结果是______ ．

12.  密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，若，二氧化碳密度的变化范围______ ．

13.  某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩单位：秒如表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______ ．

14.  某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买，两种型号的放大镜，型号的放大镜每个元，型号的放大镜每个元，且所需购买型号放大镜的数量是型号放大镜数量的倍，且总费用不超过元，则最多可以购买型号放大镜______ 个
 

15.  如图，正方形的边长为，点，分别是边和的中点，连接，在上取点，连接，若，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图所示，已知电脑显示屏与底板的夹角为，，于点，．
求的度数；
若保持显示屏与底板的夹角不变，将电脑平放在桌面上如图中的所示，则显示屏顶部比原来顶部大约下降了多少？参考数据：结果精确到参考数据：，，
，，

 

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
；
下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
经检验是原方程的根第六步
任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

18.  本小题分
如图，．
请在边上确定点，使得点到直线的距离等于的长尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明；
若，，求的长．

19.  本小题分
习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费元集中采购了种树苗株，种树苗株，已知种树苗单价是种树苗单价的倍．
求、两种树苗的单价分别是多少元？
红旗村决定再购买同样的树苗株用于补充栽种，其中种树苗不多于株，在单价不变，总费用不超过元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

20.  本小题分
某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，每名学生的成绩记为分分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题：

的值为______ ，的值为______ ，的值为______ ；
请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“”的圆心角的度数为______ ；
竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

21.  本小题分
阅读与思考
下面是小安同学的数学日记．请仔细阅读，并完成相应的任务．

年月日
星期一
从圆周角定理想到的
今天．我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现那就先从特殊情况开始思考吧．
思考一：如图，是的直径．点在上不与点、重合则这一命题我们已经证明过，若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图，已知线段和直线外一点，且则点在以为直径的圆上．命题
思考二：若将图中的改为，点的位置会有怎样的特点呢？
经过不断尝试．我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆．则点在弦所对的优弧上．

任务：
小安发现命题是真命题，请按照下面的证明思路．写出该证明的剩余部分．
证明：在图中取线段的中点，连接则是边上的中线．

请根据思考二，在图中利用尺规作出符合要求的点保留作图痕迹．不写作法
若将图中的改为，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．

22.  本小题分
综合与实践：【问题背景】：如图，平行四边形中，，，点、分别是和边的中点，过点、分别作和的平行线，两线交于点，显然，四边形是平行四边形．

【独立思考】：线段和线段的数量关系是：______ ；
将平行四边形绕点逆时针旋转，当落在边上时，如图，连接和．
求的长；
猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】：将平行四边形继续绕点逆时针旋转，当，，三点在同一直线上时如图，与交于点，请直接写出线段的长和的度数．

23.  本小题分
综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，连接．
求，，三点及抛物线顶点的坐标；
点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接，当的面积最大时，求的值；
试探究：在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的性质．
根据绝对值的性质和相反数的性质逐一计算可得．
【解答】
解：、，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合四种标志的特点求解．
考查中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：数轴上表示的解集是，
A、，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，故本选项不符合题意；
B、
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，故本选项不符合题意；
C、
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，故本选项符合题意；
D、
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，与“爱”相邻的字有“学、洛、中、我”，
“爱”的相对面是“湾”，
与“中”相邻的字有“我、爱、洛、湾”，
“中”字的相对面是“学”，
“我”与“洛”是相对面，
因此，三种摆法的左侧面上三个字分别是：我、学、洛．
故选：．
观察图形，根据与“爱”相邻的字有“学、洛、中、我”可知，“爱”的相对面是“湾”，然后可得与“中”相邻的字有“我、爱、洛、湾”，从而得到“中”字的相对面是“学”，然后求出“我”与“洛”是相对面，最后按照图形排列即可得解．
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，找出同一个字的相邻的四个字，第六个字就是相对面上的字，根据此方法求解是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设三辆车记为、、，
树状图如下图所示：

由上可得，一共有种可能性，其中他俩搭乘同一辆车的可能性有种，
他俩搭乘同一辆车的概率是，
故选：．
根据题意，不妨设三辆车为、、，然后即可画出相应的树状图，从而可以得到他俩搭乘同一辆车的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键连接，，根据四边形是正方形可知，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】
解：连接，，

四边形是正方形，
，
．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，
故，不正确，不符合题意；

B.函数的对称轴为直线，则，
从图象看，当时，，
故不正确，不符合题意；

C.当时，函数有最大值为，
为任意实数，
，
，
为任意实数
故不正确，不符合题意；


D.，故，
，，故，
，
，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故选：．
取的中点，连接，作于，作于，设，分别表示出，，，，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：密度与体积是反比例函数关系，
设，
当时，，
，
，
密度关于体积的函数解析式为：，
观察函数图象可知，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
当时，，
即二氧化碳密度的变化范围是，
故答案为：．
设，由时，求出的值，得到解析式，求出和时对应的的值，即可得到结果．
本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲的平均数是：，
乙的平均数是：，
甲的方差为：，
乙的方差为，
，
即甲的方差乙的方差，
甲的成绩比较稳定．
故答案为：甲．
直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案．
本题考查了方差的定义．一般地，设个数据，，，的平均数为，则方差为．
 

14.【答案】 

【解析】解：设型放大镜个，则型放大镜为个，
根据题意可得：．
解得：．
故答案为：．
设出型放大镜为个，根据等量关系列出方程求解．
考查一元一次不等式的实际应用，本题解题关键为设出未知数，由题意列出不等式即可解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接交于，

四边形是正方形，
，，
点、分别是边，的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：于点，，，
在中，．
；
如图，过点作，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，，，
，
在中，，
，

，
，
在中，
，

答：显示屏顶部比原来顶部大约下降了． 

【解析】在直角三角形中，求出的正弦值即可求出的度数；
过点作，过点作于点，过点作，交的延长线于点，求出的值即可得到显示屏顶部比原来顶部下降了多少．
本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

17.【答案】二  去分母时，方程右边常数项没有乘 

【解析】解：原式
；
任务一：以上解方程步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时，方程右边常数项没有乘；
故答案为：二，去分母时，方程右边常数项没有乘；
任务二：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：，
经检验是原方程的根；
任务三：解分式方程注意要检验．
原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
任务一：查找方程出错的步骤，分析其原因即可；
任务二：写出正确的结果即可；
任务三：提出一条解分式方程注意的事项即可．
此题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图：点即为所求；

过点作于点，
则，
． 

【解析】作的角平分线即可；
根据含的直角三角形的性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质和含的直角三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设种树苗每株元，种树苗每株元，由题意，得
，
解得，
答：种树苗每株元，种树苗每株元；
设购买种树苗株，则购买种树苗株，总费用为元，
由题意得：，，
，
，
解得：，
，
是整数，
取，，，，，，
共有种购买方案，
方案一：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案二：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案三：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案四：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案五：购买种树苗株，购买种树苗株，
方案六：购买种树苗株，购买种树苗株，
，，
随的增大而减小，
时，最小，
第六种方案费用最低，最低费用是元．
答：共有种购买方案，费用最省的购买方案是购买树苗株，种树苗株，最低费用是元． 

【解析】设种树苗每株元，种树苗每株元，根据条件“种树苗单价是种树苗单价的倍，种树苗株，种树苗株共需元”建立方程求出其解即可；
设种树苗购买株，则购买种树苗株，根据条件种树苗不多于株，总费用不超过元，建立不等式，求出其解再设计购买方案即可．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式的运用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组，找出不等关系列出不等式．
 

20.【答案】       

【解析】解：，
，
，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

扇形统计图中表示“”的圆心角的度数为：，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，
恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
由的人数除以所占百分比得出的值，即可求出、的值；
由的结果补全频数分布直方图，再由乘以“”所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：补全过程如下：
，
，
点在以为直径的上；
如图，作的垂直平分线，以中点为圆心，截取长，与垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，则点在优弧上，

先画出，分别以、为圆心，长为半径向上画弧相交于点，连接，，则为等边三角形，
再画出边上的垂直平分线，交边上的垂直平分线于，以为圆心为半径画等边三角形的外接圆，则在的下方，的垂直平分线与交于点，或当点与点重合时，即得，
即点在弦所对的劣弧上或外接圆的圆心处． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，补全证明过程即可；
根据题意画出图形即可；
以线段为边构造等边三角形，再作的外接圆，则点在弦所对的劣弧上或外接圆的圆心处．
本题主要考查与圆有关的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的画法以及同弧所对的圆心角是圆周角的倍等圆的性质是解题的关键．
 

22.【答案】或或或等 

【解析】解：点、分别是和边的中点，
，
在平行四边形中，
，，，
，，
，
线段和线段的数量关系是：或或或等；
故答案为：或或或等；
如图，过点作于点，

在中，，，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：；
或或或等，证明如下：
由题可知：，，
，
∽，
，
即或或或等；
过点作于，如图所示：

，
，
，
，
∽，
，，
在平行四边形中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
．
根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；
利用三角函数值求线段长，再根据勾股定理求解即可；利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；
利用三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用“”字形的两个三角形角度关系得到即可求解．
本题考查四边形综合，涉及到平行四边形的性质、中点性质、旋转不变性的运用、相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理求线段长、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关性质及判定，结合图形准确作出辅助线是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：将代入，得．
解得：，．
，．
将代入，得．
．
 ，
抛物线顶点坐标为；

过点作轴，交于点．

设直线的函数表达式为．
将，代入，
得解得，
直线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．
轴，
．
，
当最大时，最大．
 ．
，
当的面积最大时，的值为；

，，
，，
，
作平分交于点，过点作于点，

，，平分，
，
，
，
，
又，
，，
，，
∽，
，即，
，
同理求得，
， 

【解析】将、代入，求解可得，，三点坐标，将解析式化成顶点式即可求得抛物线顶点坐标；
利用待定系数法求得直线的函数表达式，用表示出点、的坐标，利用三角形面积公式以及二次函数的性质求解即可；
作平分交于点，过点作于点，利用面积法求得，得到，，再证明∽，利用相似三角形的性质即可求解．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．