初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课前预习课件ppt

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课前预习课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了导入新课，情境引入，讲授新课，探究交流，数量关系，典例精析，-10x，20−x，∴75≤x≤90，知识要点等内容，欢迎下载使用。

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商家，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期的销售额是 元，销售利润是 元.
（1）销售额 = 单价×销售量；
（2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量；
（3）单件利润 = 售价 - 进价.
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每件每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空：
(20 + x)(300 - 10x)
所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x)
= -10x2 + 100x + 6000.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30.
③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
y = -10x2 + 100x + 6000 (0≤x≤30).
即每件涨价 5 元时，利润最大，最大利润是 6250 元.
降价销售①设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空：
(300 + 20x)
(20 − x)(300 + 20x)
所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x)
= −20x2 + 100x + 6000.
综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20 − x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤20.
③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
即每件降价 2.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元.
y = −20x2 + 100x + 6000 (0≤x≤20).
由 (1) (2) 的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45 元/件，每销售一件需缴纳平台推广费 5 元，该款小电器每天的销售量 y (件)与每件的销售价格 x (元)满足函数关系：y = −2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件．(1) 写出每天的销售利润 w (元) 与销售价格 x (元) 的函 数关系式；
解：由题意可得 w=(x−50)(−2x+180)=−2x2+280x−9000.
∴ 当 x = 75 时，有最大利润，最大利润为 750 元.
(2) 每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大是多少元？
解：w = −2x2 + 280x − 9000 = −2(x − 70)2 + 800.
∵ 销售价格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件，
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 总售价 - 总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
练一练 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①设该商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的总利润为 y 元，填空：
(10 + x)(180 - 10x)
建立函数关系式 y = (10 + x)(180 - 10x)
= -10x2 + 80x + 1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤18.
y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960 (0≤x≤18).
当 x = 4，即每件涨价 4 元 (销售单价为 34 元) 时，有 y最大值 = 1960.
答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 1960 元.
例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为 30 元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为 y 件，售价为 x 元/件，每月的总利润为 Q 元.
(1) 当售价在 40～50 元/件时，每月销售量都为 60 件， 则此时每月的总利润最多是多少元？
答：此时每月的总利润最多是1200元.
解：由题意知，当 40≤x≤50 时，
Q = 60(x − 30)
∵ y = 60 > 0，Q 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x最大 = 50 时，Q最大 = 1200.
= 60x −1800.
(2) 当售价在 50～70 元/件时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价 x 是多少元/件时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
解：当 50＜x≤70 时，设 y 与 x 函数关系式为 y = kx + b，∵线段过 (50，60) 和 (70，20).
50k + b = 60，70k + b = 20.
∴y = −2x + 160 (50＜x≤70).
k = −2，b = 160.
∴ Q = (x − 30)y = (x − 30)(−2x + 160) = −2x2 + 220x − 4800 = −2(x −55)2 +1250 (50＜x≤70). ∵ a = −2＜0，图象开口向下，∴ 当 x = 55 时，Q最大= 1250.∴ 当售价在 50～70 元/件时，售价 x 是 55 元时，获利 最大，最大利润是 1250 元.
解：∵ 当 40≤x≤50 时， Q最大 = 1200＜1218， 当 50≤x≤70 时， Q最大 = 1250＞1218， ∴ 售价 x 应在 50～70 元/件之间. ∴ 令 −2(x −55)2 +1250 = 1218. 解得 x1=51，x2=59. 当 x1 = 51 时，y1 = −2x + 160 = −2×51 + 160 = 58 (件)；
(3) 若 4 月份该商品销售后的总利润为 1218 元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
∴ 此时，该商品售价为 51 元/件或 59 元/件， 当月的销售量分别为 58 件或 42 件.
当 x2= 59 时，y2 = −2x + 160 = −2×59 + 160 = 42 (件).
由例2 可知：若 40≤x≤50，则当 x = 50 时，Q最大 = 1200，若 50＜x≤70，则当 x = 55 时，Q最大 = 1250.∵1200＜1250，∴ 售价 x 是 55 元/件时，获利最大，最大利润是 1250 元.
变式1 若该商品售价在 40～70 元/件之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润 Q 元与售价 x 元/件的函数解析式；并说明，当该商品售价 x 是多少元/件时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
解：Q 与 x 的函数解析式为
60x −1800 （40≤x≤50 ），−2(x−55)2 + 1250（50＜x≤70）.
变式2 若该商店销售该商品所获利润不低于 1218 元，试确定该商品的售价 x 的取值范围；
① 当 40≤x≤50 时， ∵ Q最大= 1200＜1218， ∴ 此情况不存在.
60x −1800 （40≤x≤50 ），−2(x −55)2 + 1250 （50＜x≤70）.
②当 50＜x≤70 时，Q最大 = 1250>1218，令 Q = 1218，得 −2(x −55)2 +1250=1218.解得 x1 = 51，x2 = 59.由 Q = −2(x −55)2 + 1250 的图象和性质可知：当 51≤ x ≤59 时，Q≥1218.∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价 x 的取值范围为 51≤x≤59.
变式3 在变式2 的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于 1620 元，则售价 x 为多少元/件时，利润最大？最大利润是多少元？
51≤x≤59，30(−2x +160)≥1620.
解得 51≤x≤53.
又∵a = −2＜0，∴当 51≤x≤53 时 ， Q 随 x 的增大而增大.∴当 x = 53 时，Q最大 = 1242.∴此时售价 x 应定为 53 元/件，利润最大，最大利润是 1242 元.
1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
2. 进价为 80 元/件的某衬衣定价为 100 元/件时，每月可卖出 2000 件；每件价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出该衬衣的总件数 y (件) 与衬衣售价 x (元/件) 之间的函数关系式为 ，每月利润 w (元) 与衬衣售价 x (元/件) 之间的函数关系式为 (以上关系式只列式不化简).
y = 2000 - 5(x - 100)
w =[2000 - 5(x - 100)](x - 80)
3. 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次. 第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元. 产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件. 如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产 x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元， 则
w = [12 + 2(x－1)][80－4(x－1)] = (10 + 2x)(84－4x) = －8x2 + 128x + 840 = －8(x－8)2 + 1352.
因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且 w最大 = 1352.
答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大，最大利润为 1352 元.
4. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图.(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由题中条件可求 y = -x2 + 20x - 75
∵-1 < 0，对称轴 x = 10，
∴当 x = 10 时，y 值最大，最大值为 25.即销售单价定为 10 元时，销售利润最大，为 25 元.
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？
解：由对称性知 y = 16 时，x = 7 或 13.故销售单价在 7≤x≤13 时，利润不低于 16 元.