2023年广东省梅州市平远县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省梅州市平远县中考一模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省梅州市平远县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B．2023 C． D．
2．2023年第一季度，广东省国民生产总值超过30000亿元，比去年同期增长．将“30000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角为（  ）
A． B． C． D．
4．以下标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．   B．   C．   D．  
5．如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在Rt中，的垂直平分线分别交于两点，则的周长等于（　　）
  
A．12 B．14 C．16 D．17
7．“阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页，若小明、小颖平均每天分别阅读页、页，则下列方程组正确的是（    ）
A． B． C． D．
8．下列问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．圆的面积y与圆的半径x
B．汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x
C．小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x
D．三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x
9．如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）
  
A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
10．在平面直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，已知点，，连接，则下列说法错误的是（    ）
A．点C可能在反比例函数的图象上 B．直线与反比例函数的图象必有一个交点
C．n的值不可能为2 D．在反比例函数图象的一个分支上，可能存在y随x的增大而减小

二、填空题
11．单项式的系数是 ．
12．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
13．如果和互为相反数，那么 ．
14．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 .
15．正方形中的边长为6，对角线、交于点，为边上一点，连接交于，于点，连接，若，则 ．
  

三、解答题
16．计算：．
17．先化简：（）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18．某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．
  
请你根据图中信息，回答下列问题：
(1)本次共调查了_________名学生．
(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于_________度．
(3)补全条形统计图（标注频数）．
(4)根据以上统计分析，估计该校1500名学生中最喜爱小品的人数为_________人．
(5)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
19．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
20．如图，AB是O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．

(1)求证：AD是⊙O的切线：
(2)若AB＝10，AC＝8，求AD的长．
21．图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．

(1)求该支架的边的长；
(2)求支架的边的顶端D到地面的距离．（结果精确到米）
（参考数据：，，，，，）
22．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．

(1)操作发现：
如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长．
(3)拓展延伸：
如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
23．如图1，若二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接，当的面积最大时，求出点P的坐标；
(3)如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点Q坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】解：的相反数是2023，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的求解，理解相反数的定义是解题关键．
2．C
【分析】利用科学记数法的定义表示即可
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查较大数的科学记数法，正确求出指数是解题的关键
3．C
【分析】先设出这个角，再分别表示出这个角的补角和余角，根据题干中的等量关系进行计算即可求解．
【详解】解：设这个角为，
这个角的补角为，这个角的余角为，
这个角的补角比这个角的余角的倍少，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是利用补角和余角的关系列出方程．
4．A
【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：  既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
  是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
  既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
  既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转180度，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形．．
5．C
【分析】先设每个正六边形的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个正六边形的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
6．D
【分析】根据垂直平分线的性质得出，即可将求的周长的问题转化为求与的和，再根据已知条件进一步计算即可得解．
【详解】解：∵垂直平分
∴
∵
∴
∴
故答案是：D
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长公式，其中利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等进行转化是解题的关键．
7．C
【分析】设小明平均每天阅读页，小颖平均每天阅读页，根据题中的等量关系即可列出方程组．
【详解】解：设小明平均每天阅读页，小颖平均每天阅读页，
由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适合的等量关系，列出方程组．
8．C
【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
【详解】解：A．圆的面积与圆的半径的函数关系式为，
，
该函数图象的开口应朝上，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B．设汽车的速度为为常数），
则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数），
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C．小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧，
变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；
D．设三角形的面积为为常数），
则，
为常数），
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系．
9．D
【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D．
【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定．
10．B
【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵点是反比例函数的图象上一点，
，且，
把点在反比例函数的图象上，可得：，
，
，
，点D的坐标为，
∴点C可能在反比例函数的图象上，故A选项不符合题意；
当，直线在x轴上，与反比例函数的图象没有交点，故B选项符合题意；
，即，
即，故C选项不符合题意；
当即时，，反比例函数图象的的两个分支分别位于第一、三象限，在每个分支上y随x的增大而减小，故D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
11．
【分析】根据单项式的系数为代数式的数字部分即可解题.
【详解】解：由单项式定义可知的系数是.
【点睛】本题考查了单项式的定义,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
12．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
13．0
【分析】利用非负数的性质，构建方程组解决问题．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：0．
【点睛】本题考查二元一次方程组，非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用转化的思想解决问题．
14．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的定义，得出，，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．/1.2
【分析】过作，交的延长线于，交于，过作于，由可证，得，由全等三角形的性质可求，通过相似三角形的性质可求求和的长，根据同高三角形面积的比等于对应边的比可得结论．
【详解】解：过作，交的延长线于，交于，过作于，
  
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
同理得：，
，
，
，
，
又，，
，
，
由勾股定理得：，，
∵，
，
，
，
，
，
同理得：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定，角平分线的性质，三角函数，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，将的面积转化为的面积，根据比例解决问题．
16．2
【分析】先由绝对值运算、特殊角的三角函数值运算、负整数指数幂运算及零整数指数幂运算分别求解，再结合实数混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数混合运算，涉及绝对值运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、零整数指数幂运算、二次根式运算及实数混合运算法则等，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
17．；．
【分析】先把括号内的两项通分后利用同分母分式的加减法法则进行计算，同时把除法转化为乘法，最后约分化成最简分式，根据分式有意义的条件选择一个a值代入求值即可．
【详解】解：
=
=
=
=
当a=-3、-1、1、0时，原式没有意义，舍去，
当a=-2时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质及分式有意义的条件是解题关键．
18．(1)50
(2)72
(3)见解析
(4)480
(5)

【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（4）用1500乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；
（5）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：，
所以本次共调查了50名学生，
故答案为50；
（2）解：在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数=360°×=72°，
故答案为72；
（3）解：最喜欢舞蹈类的人数为50-10-14-16=10（人），
补全条形统计图为：
  
（4）解：1500×=480，
估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为480人，
故答案为480；
（5）解：用代表九年一班的学生，代表九年二班的学生，
画树状图为：
  
共有种等可能的结果数，其中抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数为，
所以抽取的名学生恰好来自同一个班级的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
19．(1)
(2)2240元
(3)12元

【分析】(1)运用待定系数法求解即可．
(2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可．
(3)列方程求解，且取较大值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）（元）．
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元．
（3）依题意，得，
整理，得，
解得，．
∵要让顾客获得更大实惠，∴．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由∠D=∠BFC及同弧所对的圆周角相等及∠AED=90°，求得∠DAO=90°，即可证明AD是⊙O的切线；
（2）先由垂径定理求出AE的长，再由勾股定理求OE的长，然后证明△OAD∽△OEA，列比例式求出AD的长．
【详解】（1）证明：∵∠BFC=∠ODA，∠BFC=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAO=∠BAC+∠DAC=∠D+∠DAC=90°，
∵AD经过⊙O的半径OA的外端，且AD⊥OA
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AC，AC=8，
∴AE=CE=AC=×8=4，
∵OA=OF=AB=5，
∴OE==3，
∵∠OAD=∠OEA=90°，∠AOD=∠EOA，
∴△OAD∽△OEA，
∴，
∴AD=，
故AD的长为．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解第（2）题的关键是探究题中的隐含条件证明三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出结果．
21．(1)该支架的边的长为7米；
(2)支架的边的顶端D到地面的距离为米

【分析】（1）先解求出米，进而求出米，再解求出的长即可；
（2）如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，即可证明米，，求出，即可解，求出米，则米，
【详解】（1）解：在中，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，米，
∴米，
∴该支架的边的长为7米；
（2）解：如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴米，，
∴，
∴，
在中，米，
∴米，
∴支架的边的顶端D到地面的距离为米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)3，6
(2)13
(3)42，108

【分析】（1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积；
（2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为15，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
【详解】（1）由折叠可知，，
∴，点H是中点
∵
∴
即，
过点A作于M
∵四边形是矩形
∴，，
∴
∴H是中点
∴
∵
∴
∴
∴完美长方形的面积为
故答案为：3，6

（2）由折叠可知

同理可知
∴长方形的面积为
       
∴长方形的周长为
（3）由折叠可证点E，G分别是的中点
∴
由题意知

∴
∴为平行四边形
∴
在中，设，则
由勾股定理得

∴
∴周长为：   
面积为：
故答案为：42，108
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．  
23．(1)
(2)
(3)或．

【分析】（1）将、代入即可求得函数的解析式；
（2）连接，设 ，由，然后运用二次函数求最值得到t，最后确定P的坐标；
（3）设，过点B作轴，过点Q作交于M，则，可，求出；过点Q作轴交于N，，则，求出．
【详解】（1）解：将、代入可得：
∴，解得，
∴．
（2）解：如图1：连接，设
∵
∴C点的坐标为
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4），
∴AB＝5，OC＝4，
∴
∴，
∵在范围内
∴当时，最大，=6
∴点P的坐标为 ．

（3）解：设，
如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得（舍），
∴；  
如图3，过点Q作轴交于N，

∵ ，
∴，
∴，解得（舍）或，
∴；
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握分类讨论、数形结合思想是解题的关键．