2023年广东省梅州市大埔县中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省梅州市大埔县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是(    )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

3.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，已知，于点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一元二次方程的解是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为，则不等式的解集是(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D.

8.  高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型科普，文学，体育，其他数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是(    )
 

A. 样本容量为 B. 类型所对应的扇形的圆心角为
C. 类型所占百分比为 D. 类型的人数为人

9.  如图，在矩形中，，，点、分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  年月日，编号为的大飞机首飞成功．数据显示，大飞机的单价约为元，数据用科学记数法表示为______．

12.  因式分解：______．

13.  东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：，，，，，，则这组数据的中位数为______ ．

14.  已知，那么代数式的值是______．

15.  在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则与的数量关系是______ ．

16.  孙子算经中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？
大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中有户人家，则可以列得方程为______．

17.  南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．







则展开式中所有项的系数和是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答．
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是______ ．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中是已知两边分别为和的三角形的第三边长，且是整数．

20.  本小题分
北京时间年月日时分，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课．为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了“中国梦航天情”系列活动．下面是八年级甲、乙两个班各项目的成绩单位：分：

如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按：：的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班哪个班级获胜；
学校决定从八年级演讲比赛表现优秀的名男生和名女生中任选两名学生参加市级演讲比赛，请用列表法或画树状图法求选中一名男生一名女生的概率．

21.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：；
四边形是平行四边形．
 

22.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
根据图象，直接写出满足的的取值范围；
若点在线段上，且：：，求点的坐标．

23.  本小题分
如图，为的直径，点为上一点，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，的半径为，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

若用元购进甲种衬衫的数量与用元购进乙种衬衫的数量相同．
求甲、乙两种衬衫每件的进价；
要使购进的甲、乙两种衬衫共件的总利润不少于元，且不超过元，问该专卖店有几种进货方案；
在的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．

求抛物线的表达式；
在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．
【解答】
解：的相反数为：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：．
根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
本题考查了几何体的展开图，掌握棱柱的底面是边形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题的关键是掌握合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
解得，
故选：．
利用配方法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式与根的关系可得：且，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
不等式的解集为：或，
故选：．
根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式的解集，此题得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键．
根据类人占可计算样本容量，根据占可计算其所对扇形的圆心角度数，根据类人总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去，，三类人数即可得类人数．
【解答】
解：人，
样本容量为人，
故A正确．
，
类型所对应的扇形的圆心角为，
故B正确．
，
类型所占百分比为，
故C错误．
人，
类型的人数为人，
故D正确，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题知，为直径，
，
，
，
，
为三角形的中位线，
，
又，
，
，
，点是中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用科学记数法的定义解决．
考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
原式

．
故答案为：．
将代入原式即可求出答案．
本题考查代数式求值，解题的关键是将整体代入原式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，直角三角形角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：设城中有户人家，
依题意，得：．
故答案为：．
设城中有户人家，根据“今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取一头，恰好取完”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，

当时，展开式的项系数和为．
故答案为：．
由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键．
 

18.【答案】

把不等式和的解集在数轴上表示出来；

   

【解析】解：
解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是．
先解出两个不等式，然后在数轴上表示出它们的解集，即可写出不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

19.【答案】解：原式



，
是已知两边分别为和的三角形的第三边长，
，即，
为整数，
、、，
由分式有意义的条件可知：、、，
，
原式． 

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：甲的平均成绩为分，
乙的平均成绩为分，
乙班获胜；
列表如下：

所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种，
选中一名男生一名女生的概率为． 

【解析】根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的表格，求出相应的概率．
 

21.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
；
由得：，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由证明即可；
由全等三角形的性质得，，则根据等角的补角相等可得，即，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明是解题的关键．
 

22.【答案】解：反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在反比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
观察图象，的的取值范围是或；
设，
：：，
， 即，
，

解得，舍去，
点坐标为 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了待定系数法求函数解析式，数形结合解不等式，三角形面积问题，勾股定理等．
把的坐标代入即可求得，得到反比例函数的解析式，再把代入反比例函数的解析式即可求得点的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据图象即可求得；
设，利用三角形面积公式得到，即，根据勾股定理得到，然后解方程求出符合题意的即可得到点坐标．
 

23.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则，
在中，，，
，，
，
，
，
，


． 

【解析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据垂径定理得到，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

24.【答案】解：依题意得：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价元，乙种衬衫每件进价元；
设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有种进货方案；
设总利润为，则
，
当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫件，乙种衬衫件；
当时，，，
中所有方案获利都一样；
当时，，随的增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫件，乙种衬衫件．
综上：当时，应购进甲种衬衫件，乙种衬衫件；当时，中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫件，乙种衬衫件． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，要根据一次项系数的情况分情况讨论．
用总价除以单价表示出购进衬衫的数量，根据两种衬衫的数量相等列出方程求解即可；
设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据衬衫的件数是正整数解答；
设总利润为，根据总利润等于两种衬衫的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
 

25.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
；
连接交对称轴于点，如图，

，
抛物线的对称轴为直线，
、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
当时，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
点的坐标为或或． 

【解析】见答案；
见答案；
分情况讨论：
当时，，
点与点重合，
； 
当时，，
如图，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，

，
，
，
同角的余角相等，
在和中，


，，
设，则，
，
解得或，
或，
点在对称轴的左侧，
点坐标为；
如图，当点在点下方时，

同理可得，
，
解得舍或，

综上所述：点的坐标为或或．

用待定系数法求函数的解析式即可；
连接交对称轴于点，当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，再求点坐标即可；
分当时和当时两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．