2023年广东省梅州市梅县区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省梅州市梅县区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若直线、、、在同一平面内，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将不等式的解集表示在数轴上，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，正方形的边长为，为对角线，取中点，与交于点则
(    )

A.
B.
C.
D.

6.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各儿何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列问题中，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A. 圆的面积与圆的半径
B. 汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间
C. 小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间
D. 三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高
 

9.  如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点，于点则以下结论错误的是(    )

A. 是等边三角形 B.
C. ≌ D. 四边形是菱形

10.  如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  “嫦娥三号”在月球着陆地点为虹湾，这是月球上最美丽的地标之一，它其实是一个直径达米的巨型陨石坑壁虹湾的直径用科学记数法表示为______ 米

12.  方程的根是______ ．

13.  如图，是的中位线，，则        ．

14.  已知：，，则______．

15.  如图，在等边三角形中，，为上一点与点、不重合，连接，以、为邻边作平行四边形，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知关于、的方程组根据要求，解答下列问题：
当时，解这个方程组；
若此方程组的解也是方程的一个解，则 ______ ．

18.  本小题分
如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．
求证：四边形是矩形；
若：：，求的度数．

19.  本小题分
年月日至日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

表中______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若某班恰有名女生和名男生的初赛成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

20.  本小题分
某超市以每千克元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式．
若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

21.  本小题分
如图，是的直径，是弦，且于点，交于点，连接、，若．
求证：是的切线：
若，，求的长．

22.  本小题分
综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”【操作实践】：如图，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点作交的延长线于点，令．

【问题探究】：求证：四边形为“标准矩形”；
如图，数学活动小组的同学在图的基础上隐藏了线段，在线段上取一点，连接，．
当平分时，求的长；
当的周长最小时，求的正切值．

23.  本小题分
如图，若二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接、．
求二次函数的解析式；
若点是抛物线在第一象限上一动点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标；
如图，若点是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所以的相反数是，
故选：．
这类题是易错题，首先要看清楚是哪个数，再求哪个数的相反数．细心才行．
本题考查的是相反数，解题关键是看清楚是哪个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是合并同类项，应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选：．
根据积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得的积相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；完全平方公式，对各选项分析后利用排除法求解．
本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
根据平行线的判定方法解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟记同时垂直与同一直线的两直线平行是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
表示如下：

故选：．
求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接与交于点，

四边形为正方形，
，，，，，
，，，
为中点，
，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
连接与交于点，利用勾股定理求得，，根据正方形的性质证明∽，然后根据相似三角形的性质求得，进而可求．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键：连接构造直角三角形，证明∽，然后利用相似的性质求．
 

6.【答案】 

【解析】原式通分后并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
解：原式，
故选：．

本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“人出五，不足四十五；人出七，不足三”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】A.圆的面积与圆的半径的函数关系式为，
，
该函数图象的开口应朝上，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B.设汽车的速度为为常数，
则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C.小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧，
变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；
D.设三角形的面积为为常数，
则，
为常数，
变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意．
故选：．
根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
，
，
是等边三角形，
的结论正确，不符合题意；
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
．
的结论正确，不符合题意；
，，
．
在和中，
，
≌．
的结论正确，不符合题意；
由作图过程可知：与不一定相等，
四边形是菱形不成立，
的结论错误，符合题意，
故选：．
利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为，
点的横坐标为．
观察函数图象，发现：
当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
当时，的取值范围是或．
故选：．
由正、反比例的对称性结合点的横坐标即可得出点的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点的横坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】， 

【解析】解：，
或，
解得，，
故答案为：，．
直接开平方即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的中位线
，
∽
：：
又，则．
故答案为：．
是的中位线，可得，可得∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出．
本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为．
根据完全平方公式即可解题．
本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是正确运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，连接，

四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，，
，，
，
，
当时，此时有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，当时，此时有最小值，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，原方程组为，
得，，
把代入得，，
方程组的解为；
由已知得，方程组，
解得：，
代入，
得，
解得：．
把代入方程组，解方程组即可；
把和组成方程组解出和，再代入原方程可得的值．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，，
，
：：，
：：，
：：：：，
，
，
． 

【解析】证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由矩形的性质得到，再由平行线的性质得到，然后由三角形的内角和求出，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
用抽取的总人数减去其他三个组的频数得出的值，再由频率的定义求出，即可；
由中求得的的值，补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：由题意得：，，，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点评】
本题考查的是频数分布表，频数分布直方图，用树状图法求概率等知识．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．  

20.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
故答案为：．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价元． 

【解析】观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

21.【答案】证明：如图，，，
，
，
，
，
经过的半径的外端，且
是的切线；
解：，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
故AD的长为． 

【解析】由及同弧所对的圆周角相等及，求得，即可证明是的切线；
先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求的长，然后证明∽，列比例式求出的长．
此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解第题的关键是探究题中的隐含条件证明三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出结果．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，．
．
．
．
四边形为“标准矩形”．

解：平分，
．
又，，
≌．
，．
，，
．
．
是等腰直角三角形．
．
设，则．
，
解得．
．

解：延长至点，使得，连接，交于点，连接，如解图所示，则此时的周长最小．

，，
．
．
由轴对称的性质，得F.
． 

【解析】由已知得，可证得，得证．
由，，可得≌，得，，设，由得，解出即可．
延长至点，使得，连接，交于点，连接，则此时的周长最小，由轴对称的性质，得，所以，分别求出，长即可．
本题考查了几何变换的综合应用，涉及的知识点有勾股定理，全等三角形的判定和性质，应用轴对称求三角形的周长最短，锐角三角函数值的求法．熟练掌握相关的知识，添加适当的辅助线进行转化是关键．
 

23.【答案】解：二次函数的图象与轴交于点、，
，
解得，
；
如图，过点作轴的垂线，交于点，

在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
得，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，
；
设，
当点在直线上方时，如图，过点作轴，过点作交于，

，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：或舍，
经检验，是原方程的解，
；
当点在直线上下方时，如图，过点作轴交于，

，，
，
，
∽，
，
，
解得舍或，
经检验，是原方程的解，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】将、代入，即可求二次函数的解析式；
过点作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，设，则，用含的代数式表示出的长，由即可用含的代数式表示出的面积，由二次函数的图象及性质可求出的面积最大时点的坐标；
设，分点在直线上方和下方两种情况，当点在直线上方时，过点作轴，过点作交于，则，可得∽，根据相似三角形的性质可求出；当点在直线上下方时，过点作轴交于，，可得∽，根据相似三角形的性质可求出
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．