2023年广东省梅州市丰顺县中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省梅州市丰顺县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是一个空心圆柱体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  据国家卫健委统计，截至年月日，个省自治区、直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约万剂次．数用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5.  同时抛掷，两个均匀的小正方体每个面上分别标有数字，，，，，，设两个正方体朝上的数字分别是，，并以此确定点，那么点落在函数上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴的交点分别为，，则不等式的解为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某班主任为调查学生课后体育锻炼的情况，其从班里的名男生和名女生中，随机调查了五名男生和五名女生的课后锻炼时长，五名男生的体育锻炼时长分别是，，，，单位：小时天，其中位数和方差分别记为和，女生的体育锻炼时长分别是，，，，单位：小时天，其中位数和方差分别记为和，则下列说法一定正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.  如图，在▱中，点，分别在，边上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形是平行四边形的是(    )
；；；

A.  B.  C.  D.

10.  如图是二次函数的图象，有如下结论：
：：；．
其中正确的结论有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  方程组的解是______ ．

13.  已知，那么代数式的值是______．

14.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则线段的长为______．

15.  如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行至点，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了______

16.  我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：

以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

18.  本小题分
化简求值：，其中整数与，构成三角形的三边．

19.  本小题分
某商场服装部为了了解服装的销售情况，月份随机抽查了名营业员的销售额，绘制出了如下的两个统计图，请根据信息解决问题：

图中的值为______ ，扇形统计图中，万元扇形的圆心角等于______ ；
统计的这组数据的平均数是______ 万元，中位数是______ 万元，众数是______ 万元；
如果规定销售额万元为等级，销售额万元到万元为等级，销售额万元为等级，从、等级中任意选出两个营业员，至少有一个是等级的概率是多少？用列表法或树形图求解

20.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，．
求证：≌；
四边形是平行四边形．

21.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数图象交于、两点，且点的横坐标，求：
反比例函数的解析式．
的面积．
直接写出满足时的取值范围．

22.  本小题分
某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

已知用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同．
求甲、乙两种水果的进价；
若该超市购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，为的直径，点为上一点，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，的半径为，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为
当点在边上时，的长为______用含的代数式表示
当点落在边上时，求的值．
求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．
求抛物线的表达式；
在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：．
找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：矩形的对角线，相交于点，
，，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：．
根据关于的一元二次方程有实数根知且，解之即可．
本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：列表得：

共有种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点落在双曲线上的有，，，，
点落在双曲线上的概率为：．
故选：．
根据题意列出表格，然后由表格求得所有种等可能的结果数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点，，，在函数上，然后根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线与两坐标轴交点分别为，，且随的增大而减小，
不等式的解集是．
故选：．
根据直线与轴交于点，以及函数的增减性，即可求出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据作图可知，
，，
，
，
，
根据勾股定理，得．
故选：．
根据作图可知，由已知条件可知，根据勾股定理，可得的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：男生体育锻炼时长重新排列为、、、、，
其中位数，平均数为，
所以其方差；
女生体育锻炼时长重新排列为，，，，，
其中位数，平均数为，
所以其方差；
所以，，
故选：．
根据中位数和方差的定义分别求解即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和中位数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确；
，不能得出边形是平行四边形，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可．
此题是平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出，解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，与轴交于正半轴，
，，
抛物线对称轴为，
，
，
错误；
当时，，
，
正确；
抛物线对称轴为，，
，
，
错误；
抛物线对称轴为，，
，
，
，
，
，
，
，
正确．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系分别判断即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案是．
按照，计算即可．
本题考查了负整数指数幂、零指数幂．注意公式的正确运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
得，，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
所以方程组的解为．
根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
原式

．
故答案为：．
将代入原式即可求出答案．
本题考查代数式求值，解题的关键是将整体代入原式，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
在中，，
，
，
在中，，
．
．
故答案为．
利用基本作图得到垂直平分，则，，再根据含度角的直角三角形三边的关系在中求出，接着在中求出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了含度角的直角三角形三边的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
故答案为：．
根据含角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，

当时，展开式的项系数和为，
故答案为：．
由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．
 

17.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
把不等式的解集表示在数轴上，

原不等式组的解集是． 

【解析】求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可．
此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
整数与，构成三角形的三边，
，即，
和，
，
则原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据三角形的三边关系求出的范围，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、三角形的三边关系是解题的关键．
 

19.【答案】         

【解析】解：，
，；
故答案为：，；
，
平均数为万元，
抽查了名营业员，
中位数为从大到小排列后的第个数据，
中位数为万元，
出现次数最多，出现了次，
众数为万元；
故答案为：；；；
等级人，等级人，列表如下：

一共有种等可能结果，至少有一个是等级的有种，
至少有一个是等级．
用减去其他情况所占的百分数，用乘上万元所占的百分数；
所有数据加起来除以数据的个数等于平均数，将一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排列，奇数个数据最中间的数据即为中位数，偶数个数据最中间两个数据的和的平均数即为中位数，一组数据中出现次数最多的数据即为众数；
用列表法将所有情况列出来即可解决问题．
本题考查了数据的分析和概率的计算，正确理解并掌握平均数、中位数、众数的概念，能熟练用列表法求概率是解决问题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
由可知，≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行线的性质得，再由证≌即可；
由全等三角形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：把分别代入得，
，
把代入得，
解得，
反比例函数的解析式为；

设与轴交点为
，
解得或，
，

；

时的取值范围是或． 

【解析】把代入可确定点坐标为，然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式；
解析式联立，解方程组求得的坐标，然后确定点坐标，再利用的面积进行计算即可．
根据图象求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
 

22.【答案】解：设甲种水果进价为元千克，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲的进价是元千克，乙的进价是元千克；
设购买甲种水果千克，则购买乙种水果千克，总利润是元．
，
，
，
，
越小，越大，
即时，最大，为元．
答：当超市购进甲种水果千克，乙种水果千克时，利润最大是元． 

【解析】根据用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为，列出关于的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，求出的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
 

23.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则，
在中，，，
，，
，
，
，
，


． 

【解析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据垂径定理得到，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

24.【答案】

． 

【解析】解：作于点，

在中，，
，
，
，
，
点为中点，
，
故答案为：
如图，

，
，
，
为等边三角形，
，即，
，
解得．
当时，作于点，

，，
，
，
．
当时，，交于点，，

，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
当时，重叠图形为等边三角形，

，
．
综上所述，．
作于点，由含角的直角三角形可得的长度，再由等腰三角形的性质可得的长度．
作出点落在边上的图象，由求解．
分类讨论，，并作出图象求解．
本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，
则 ，
解得：，
抛物线表达式为；

在中令，得，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
如图，过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形，

由题意可知，
，即，
又，
，



，
当、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，
，
当时，四边形的面积取得最小值；

存在，理由如下：
如图，连接、，过点作轴于点，过作，交点于点，则．

是等腰直角三角形，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得或舍去，
，
点的坐标为． 

【解析】利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
先求出点，则，进一步得到是等腰直角三角形，则，如图，过点作轴，垂足为，则是等腰直角三角形，由题意可知，则，即，又得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案；
连接、，过点作轴于点，过作，交点于点，则先证明≌，则，，则，又，得到点的坐标为，由点在上，则，解方程即可得到答案．
本题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．