2023年广东省梅州市蕉岭县中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省梅州市蕉岭县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位“二万八千亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元问这个物品的价格是多少元？(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于，的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：；；扇形的面积为；四边形是菱形．其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作轴的垂线交线段于两点、当点，四边形为正方形时，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：，，，，，，则这组数据的中位数为______ ．

13.  已知，那么代数式的值是______．

14.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则线段的长为______．

15.  如图，在中，、为边的三等分点，，为与的交点若，则 ______ ．

16.  拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是，坝高，则坡面的长度是______

17.  南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．







则展开式中所有项的系数和是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
先化简，再求值：其中是已知两边长为和的三角形的第三边长，且为整数．

20.  本小题分
为纪念“五四”运动，某校举办了“青春心向党奋进新时代”的文艺汇演活动，并邀请了位评委为各节目评分，其中至号为专业评委，至号为大众评委活动策划组提出了如下评分方案：
方案一：取各位评委所给分数的平均数．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余位评委所给分数的平均数．
例如，节目演出后各个评委所给分数如表：

按照方案一，该节目的得分为分．
按照方案二，该节目的得分为分．
策划组经过讨论，认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此又设计了如下方案：
方案三：先计算至号评委所给分数的平均数，至号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且如当时，则此时该节目的得分为分．
请回答下列问题：
你认为“方案一”与“方案二”相比，哪个更合理？请说明理由．
关于评分方案，下列说法正确的有______ ．
A.当时，节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
B.当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
C.当时，节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；
D.以上说法都不对．
策划组准备从同学们推选出的，，，，这名候选人中随机抽取人作为主持人，其中同学，，三人在同一年级，请用列表或画树状图的方法求抽到的名同学恰好在同一年级的概率．

21.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：；
四边形是平行四边形．
 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
求一次函数的解析式；
根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
点是轴上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．

23.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，点为的延长线上一点，连接、、，且．
求证：为的切线；
若，的半径，求阴影部分的面积．

24.  本小题分
某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

已知用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同．
求甲、乙两种水果的进价；
若该超市购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

25.  本小题分
已知，抛物线经过、、三点，点是抛物线上一点．
求抛物线的解析式；
当点位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式；
如图，当点位于第二象限时，过点作直线，分别交轴于，两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：二万八千亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：
，，
，
过作直线，
直线，
直线直线，
，，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，过作直线，求出直线直线，根据平行线的性质得出，，即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有种．

上面等可能出现的种结果中，有种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的概率是，
故选：．
根据题意，用列表法得出所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：设共有人，这个物品的价格是元，
由题意得：，
解得：，
即这个物品的价格是元，
故选：．
设共有人，这个物品的价格是元，根据每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：解原方程组得，
，
将其代入方程得，
，
解得，
故选：．
解原方程组后，根据同解方程得到含的一元一次方程，就能求得此题结果了．
此题考查了含有字母参数的方程组问题的解决能力，关键是能准确解方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是劣弧的中点，
，所以正确；
，，
为等边三角形，
，所以错误；
同理可得为等边三角形，
，
，
扇形的面积为，所以正确；
，
四边形是菱形，所以正确．
故选：．
利用垂径定理可对进行判断；根据圆周角定理得到，则为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出，则可对进行判断；通过判断为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对进行判断；利用可对进行判断．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
 

10.【答案】 

【解析】解：把代入中得，
解得，
，
点，四边形为正方形，
，
设点横坐标为，则，
代入得，
解得或舍去．
．
故选：．
通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出，从而得出的纵坐标为，设点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．．
本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．
 

12.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
原式

．
故答案为：．
将代入原式即可求出答案．
本题考查代数式求值，解题的关键是将整体代入原式，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
在中，，
，
，
在中，，
．
．
故答案为．
利用基本作图得到垂直平分，则，，再根据含度角的直角三角形三边的关系在中求出，接着在中求出，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了含度角的直角三角形三边的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证∽，得，解得，则．
本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡比是：，坝高，
，
解得，
则．
故答案为：．
利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，

当时，展开式的项系数和为．
故答案为：．
由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
把它们的解集在数轴上表示如下：

原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：


；
是已知两边长为和的三角形的第三边长，
，
即，
为整数，
，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据三角形的三边关系可得，再代入，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，三角形的三边关系，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响，
故答案为：方案二更合理，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响．
当时，节目按照“方案三”评分的结果为分，
由于，即“方案三”评分的结果“方案一”评分的结果，
因此不正确；
B.当时，节目按照“方案三”评分的结果为分，
当时，节目按照“方案三”评分的结果分，说明“专业评委”打分所占的比例要比“群众评委”的高，说明评分更注重节目的专业性，
因此B正确；
C.当时，节目按照“方案三”评分的结果为分，
由于，即“方案三”的评分结果比“方案一”和“方案二”的评分结果都高；
因此C正确；
D.以上分析可得选项均正确，
因此不正确；
故选：．
画树状图如图：

有种等可能的结果，选中名同学恰好在同一年级的结果有种，
选中名同学恰好在同一年级的概率为．
根据平均数的计算方法，以及“绝端值”对平均数的影响进行解答即可；
根据题意逐项进行计算可得答案；
根据题意画树状图，共有种等可能的情况数，其中抽到的名同学恰好在同一年级的情况有种，再由概率公式求解即可．
本题考查平均数，加权平均数，树状图法求概率等知识，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在与中，
，
；
由得：，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由证明即可；
由全等三角形的性质得，，则根据等角的补角相等可得，即，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明是解题的关键．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

观察图象，不等式的解集为：或．

连接，，由题意，
，

设，
由题意，
解得，
或． 

【解析】利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
为的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
为的切线；
解：，，
，，
，
为等边三角形，
阴影部分的面积


． 

【解析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，由于，，所以，则可证明，然后根据切线的判定方法得到结论；
先计算出，，再证明为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和等边三角形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算．
 

24.【答案】解：设甲种水果进价为元千克，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲的进价是元千克，乙的进价是元千克；
设购买甲种水果千克，则购买乙种水果千克，总利润是元．
，
，
，
，
越小，越大，
即时，最大，为元．
答：当超市购进甲种水果千克，乙种水果千克时，利润最大是元． 

【解析】根据用元购进甲种水果的重量与用元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为，列出关于的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，求出的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
 

25.【答案】解：将、、代入，
，
，
；
过点作交于点，过点作轴交于点，
、，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
的值是为定值，理由如下：
设，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
的值是为定值． 

【解析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
将、、代入，即可求解；
过点作交于点，过点作轴交于点，由题意可得，求出，再由，求出点，求直线的解析式即为所求；
设，分别由待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，就能求出和的长，即可求解．