初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时教学设计

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

第二十一章 一元二次
21.3实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形问题与一元二次方程
一、教学目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
二、教学重难点
重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
三、教学过程
【新课导入】
[复习引入]
[课件展示] 问题：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意列的方程：




【新知探究】
[课件展示] 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
[分析]这本书的长宽之比 9 ：7
正中央的矩形长宽之比 9 ：7 ，
上下边衬与左右边衬之比 9 ：7 .
解：设中央长方形的长和宽分别为9acm和7acm,由此得
到上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为：


解：设上下边衬的高为9xcm，左右边衬宽为7xcm，依题意得：

解方程得
故上下边衬的宽度为：
故左右边衬的宽度为：
[提出问题] 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽.
　　解：设长方形框的边宽为xcm,依题意,得：
　30×20–(30–2x)(20–2x)=400
　得：x1＝20 ，x2＝5
　当x=20时，20－2x＝ －20(舍去)；当x＝5时，20－2x＝10
答:这个长方形框的框边宽为5cm

[课件展示]
例1：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？
[思考]你有几种方法解决这个问题？
方法一：
　　解：设道路的宽为 x 米，列方程得
　　　　（32－x）（20－x）=540
　　整理，得x2－52x＋100=0
　　解得 x1=2，x2=50
　　当x=50时，32－x＝－18,不合题意，舍去.
　　∴取x=2
　　答：道路的宽为2米.

[思考]你还有其他解法吗？
[交流讨论]　如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
可列方程为 (32-x)(20-x)=540











[归纳总结]
　　我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
[课件展示]
　　例2：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
　　解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm²
　　　　根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm，列方程
　　　　
　　整理，得　.解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².

[变式训练]　如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
　　解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
　　　　则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
　　　　由题意得 x(25－2x＋1)=80
　　　　解得 x1＝5，x2＝8
　　　　当x=5时，26－2x=16>12 (舍去）
　　　　当x=8时，26－2x=10<12
　　答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
【课堂小结】

【课堂训练】
　　1．客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.两船相遇之处E点(D )
　　A.在线段AB上;
　　B.在线段BC上;
　　C.在线段AC上;
　　D.可在线段AB上,也可以在线段BC上;




　　2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（Ｂ ）
　　A．x2＋130x－1400=0
　　B．x2＋65x－350=0
　　C．x2－130x－1400=0
　　D．x2－65x－350=0

3.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，  然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
　　解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
　　　　5(2x－10)(x－10)=3000
　　　　解得 x1＝25 x2＝－10(舍去）
　　　　所以 2x＝50
　　答：铁板的长50cm,宽为25cm.

［拓广探索］
　　4．如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风.
设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示：
则可知AC＝20t，AE＝100－40t，
根据勾股定理得：EC 2=AC 2+AE 2　
当EC=20时，
整理得出：
由于求最初遇台风时间，因此t=1
答：会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时.

【布置作业】



【教学反思】
与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.