初中数学第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数优秀课时作业

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第09课 二次函数的定义

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课程标准
1、掌握二次函数的定义；
2、根据二次函数的定义确定参数的值；
3、会根据实际问题列出相应的二次函数；
知识精讲

知识点01 二次函数的概念
1、有关概念
形如(a ,b,c是常数,a≠0)的函数为二次函数.其中，x是自变量,a ,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

2、二次函数的解析式必须满足的三个条件
（1）等号右边是整式;
（2）自变量的最高次数必须是2;
（3）二次项系数不为0.
3、二次函数的结构特征
等号左边是y ,等号右边是关于x的二次多项式或二次单项式.
(1)当b=0时,二次函数为 ;
(2)当c=0时,二次函数为 ;
(3)当b=0,c=0时,二次函数为.
【注意】
(1)注意二次函数与一元二次方程的异同.
(2)在二次函数的概念中，是二次函数概念的一部分,若a 为0，则函数就是,这不符合二次函数的概念.
(3)二次函数的出客教项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号,不要漏掉.
知识点02 列二次函数解析式的一般步骤

例题
解释
审题
某商场销售一批衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.为减少库存,商场决定降价处理,每件衬衫每降价1元,每天多售出2件.请写出商场每天盈利y(单位:元)与每件衬衫降价x(单位:元)之间的函数解析式.
找出已知量和未知量,分析它们之间的关系
找等量关系
解:降价后,每件衬衫的盈利为(40－x)元,每天售出(20＋2x)件.因为每天的盈利一每件衬衫的盈利×每天售出的件数,
找到两个未知量之间的关系,用等式表示
列方程
∴
结合已给或设出的未知量的字母根据等量关系列出函数的解析式注意自变量的取值范围
【注意】
实际问题中自变量的取值范围的确定
(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.
(2)确定自变量的取值范围时,需正确列出不等式或不等式组.

能力拓展


考法01 二次函数的判断
【例题1】下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x—l;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6)
【解析】
解:(l)不是二次函数,因为自变量的最高次数是1.
(2)是二次函数,因为符合二次函数的概念.
(3)不是二次函数,因为自变量的最高次数是3.
(4)是二次函数,因为符合二次函数的概念.
(5)不是二次函数,因为原式整理后为y=－x.
(6)不是二次函数,因为x－2为分式,不是整式.
故(2)(4)是二次函数.
考法02 根据二次函数的概念求字母的值
【例题2】已知函数 是关于x的二次函数,求满足条件的m的值.
【分析】
根据二次函数的概念求字母的值时，一般根据自变量的最高次数等于2列出方程,并要保证二次项系数不能等于0.
由二次函数的概念﹐得 ，且,即可解可得m的值.
【详解】
解:根据题意可得, ,且,解得m=5,即满足条件的m的值为5.
【方法总结】
要确定二次函数中待定字母的值， 需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.
考法03 列二次函数的解析式
【例题3】某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元出售,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x元,每天销售y个,每天获得利润W元.
(1)写出y 与x之间的函数解析式;
(2)求出W与x之间的函数解析式(不必写出x的取值范围).
【分析】
商品销售问题的解题关键是掌握销售利润﹑销售量与单位商品的利润之间的关系.
(1)利用每天可卖出300个,每降价1元,每天可多卖出20个,得出y与x之间的函数解析式;
(2)利用销量×每个商品的利润=总利润,得出答案.
【解析】
解:(1)已知每个降价x元,每天销售y个，
所以y与x之间的函数解析式为y=300+20x .
(2)由题意可得,W与x之间的函数解析式为W=(300+20x ) (60－40－x)=－20x2＋100x+6000.

考法04 实际问题中根据几何知识列二次函数的解析式
【例题4】某校为绿化校园,在一块长为15 m、宽为10 m的矩形空地上建造一个矩形花圃，如图,设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于15 m),并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路,设小路的宽为xm,花圃面积为y m2,求y关于x 的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围.

【分析】
解与实际问题有关的几何问题时，一般要通过分析几何图形,借助几何图形的面积或周长公式建立等量关系.
【详解】
由小路的宽为xm,知矩形花圃的长为(15－2x )m,宽为(10－x)m,根据矩形面积公式即可得到解析式,由实际问题求出函数自变量的取值范围.
【解析】
解:由小路的宽为x m,知矩形花圃的长为(15－2x )m,宽为(10－x)m,
根据题意,得
.
由
,
解得 .
故所求的函数解析式为，其中
【方法总结】
解决此类问题时,一般利用“数形结合”的思想,在具体解题时，常用的建立等量关系的方法有“面积法”“周长法”“勾股法”。

【例题5】如图,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围成,设花园的边BC长为x m,花园的面积为y m2.

(1)求y与x的函数解析式;
(2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由.
【解析】
解:(1)因为边BC为x m,栅栏总长为40 m,所以花园的边 ，
所以 .
(2)不能.理由如下:
当y=200时, ,解得x=20.
因为根据实际意义,边 BC不能大于墙长15 m,所以0 即

得0 因为x=20不在此范围内,所以花园的面积不能达到200 m2.
分层提分


题组A 基础过关练
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（       ）
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
【答案】C
【解析】
解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
2．二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（　　）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
【答案】B
【解析】
二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1，故选B．
3．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠0
【答案】A
【解析】
∵y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，
∴a-1≠0，
∴a≠1，
故选A.
4．下列具有二次函数关系的是( )
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
【答案】D
【解析】
A、y=4x，是一次函数，错误；
B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y=hx，h一定，是一次函数，错误
D、y=x2，是二次函数，正确．
故选D．
5．已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）由题意得，解得；
（2）由题意得，，解得且．
题组B 能力提升练
6．如果函数 是二次函数，那么k的值一定是________．
【答案】-3
【解析】
∵函数是二次函数，
∴k2-7＝2，k-3≠0
解得k=-3．
故答案为：-3．
7．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
…
3
4
5
6
…
日销售量y（个）
…
20
15
12
10
…
则y与x之间的函数关系式为　________ 　．
【答案】y=
【解析】
因为x与y的乘积是相同的，所以可知y与x成反比例，设y，将（3，20）代入可得：20，解得：k=60．
则y与x之间的函数关系式为y．
故答案为y．
8．如图所示，是等腰直角三角形，，直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系是______．

【答案】
【解析】
解：由题意可知：当点C到点E时，x=2；当点A到点E时，x=4；
当0＜x≤2时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设AB与DG交于点H

∵AC=DE=BC=2，=x，是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，AD=AC－CD=2－x
∴△ADH为等腰直角三角形
∴DH=AD=2－x
∴y=；
当2＜x≤4，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设AB与EF交于点H

∵AC=DE= 2，=x，是等腰直角三角形，
∴∠HAE=45°，AE=DE＋AC－CD=4－x
∴△AEH为等腰直角三角形
∴HE= AE=4－x
∴y=．
综上所述：
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
9．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；(2) 450cm2
【解析】
（1）解：∵其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x．
∴S=x(60-x)，
整理得．
（2）所以时，菱形风筝面积S最大，
最大面积是．
10．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　 　件，每件盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析
【解析】
解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，
每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）由题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；
（3）不可能，理由如下：
依题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
11．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边为，若苗圃园的面积为，求的长度．

【答案】的长度为12米．
【解析】
解：根据题意知，．
∵．
∴的取值范围为：．
设这个苗圃园垂直于墙的一边为，
根据题意得：，
整理，得．
解得：，．
∵．
当时，
∴不合题意，舍去．
∴，即的长度为12米．
答：若苗圃园的面积为192平方米，则的长度为12米．
12．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
【答案】（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，见解析
【解析】
解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．
故答案为：n+3，n+2．
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
∴此时的n值为20．
（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：或
∵n是整数．
∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．