数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后练习题

2023年人教版数学九年级上册

《二次函数的图象及其性质》同步练习

一              、选择题

1.已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x﹣1)2＋2；③y＝(x＋3)2﹣2x2；④y＝＋x.

其中，二次函数的个数为(     )

A.1个        B.2个       C.3个        D.4个

【答案】答案为：B.

2.二次函数y＝x2＋2x＋3中，自变量的取值范围为(    )

A.x＞0      B.x为一切实数      C.y＞2      D.y为一切实数

【答案】答案为：B.

3.关于抛物线y＝x2﹣2x＋1，下列说法错误的是(　　)

A.开口向上                B.与x轴有两个重合的交点

C.对称轴是直线x＝1       D.当x＞1时，y随x的增大而减小

【答案】D.

4.下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x＋4具有相同对称轴的是(　   　)

A.y＝4x2＋2x＋1   B.y＝2x2﹣4x＋1     C.y＝2x2﹣x＋4     D.y＝x2﹣4x＋2

【答案】B

5.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A.y3＞y2＞y1      B.y3＞y1＝y2            C.y1＞y2＞y3        D.y1＝y2＞y3

【答案】D

6.如图，已知二次函数y＝(x＋1)2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值(　　)

A.﹣3和5      B.﹣4和5    C.﹣4和﹣3    D.﹣1和5

【答案】B

7.已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)如图所示.

下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x＝1；③若抛物线经过点(2，y1)，(4，y2)，则y1＞y2；④顶点坐标是(1，－3).其中真命题的个数是(　　)

A.1            B.2            C.3            D.4

【答案】C.

8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中正确的是

A.抛物线开口向上                                  B.y最大值为4

C.当x＞1时，y随著x的增大而减小                     D.当0＜x＜2时，y＞2

【答案】D.

9.已知点(﹣1，y1)、(﹣2，y2)、(2，y3)都在二次函数y＝﹣3ax2﹣6ax＋12(a＞0)上，则y1、y2、y3的大小关系为(　　)

A.y1＞y3＞y2       B.y3＞y2＞y1     C.y3＞y1＞y2      D.y1＞y2＞y3

【答案】D.

10.给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.

已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是(     )

A.x1＝4，x2＝﹣4           B.x1＝2，x2＝﹣2 

C.x1＝x2＝0                D.x1＝2，x2＝﹣2

【答案】答案为：B.

11.在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(    )

【答案】D

12.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为(　　)

A.3或6       B.1或6       C.1或3       D.4或6

【答案】B

：当h＝3时，二次函数y＝－(x－h)2＝－(x－3)2.该函数图象开口向下，有最大值，

当x＝3时，最大值为y＝－(3－3)2＝0，这与“当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1”不一致，故h≠3，∴排除A，C选项；当h＝1时，二次函数y＝－(x－h)2＝－(x－1)2.

该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.当x的值满足2≤x≤5时，最大值在x＝2时取到，此时y＝－(2－1)2＝－1，这与“当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1”一致，故h＝1可以；当h＝6时，二次函数y＝－(x－h)2＝－(x－6)2.该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝6，在对称轴的左侧y随x的增大而增大.当x的值满足2≤x≤5时，最大值在x＝5时取到，此时y＝－(5－6)2＝－1，这与“当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1”一致，故h＝6可以，故B选项正确.

二              、填空题

13.若是二次函数，则m的值是______.

【答案】答案为：3.

14.抛物线y＝﹣x2＋3x﹣的对称轴是　      　.

【答案】答案为：直线x＝.

15.已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________.

【答案】答案为：m≥－1.

16.二次函数y＝x2＋2x﹣4的图象的开口方向是　  　.对称轴是　   　.顶点坐标是　   　.

【答案】答案为：向上,﹣1，(﹣1，﹣5).

17.已知抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点A(﹣1，0)，求抛物线与x轴的另一个交点坐标　    　.

【答案】答案为：(﹣3，0).

18.已知二次函数y＝﹣x2﹣x＋2的图象与x轴分别交于A，B两点(如图所示)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB＋PC取得最小值时，点P的坐标为________.

【答案】答案为：(﹣1，).

三              、解答题

19.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.

(1)求S与x的函数关系式；

(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?

【答案】解：(1)S＝x(24﹣3x)，

即S＝﹣3x2＋24x.

(2)当S＝45时，﹣3x2＋24x＝45. 

解得x1＝3，x2＝5.

又∵当x＝3时，BC＞10(舍去)，

∴x＝5.

答：AB的长为5米.

20.用配方法把二次函数y＝x2﹣4x＋5化为y＝a(x-h)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，

【答案】解：y＝x2﹣4x＋5＝(x﹣4)2﹣3

∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，﹣3).

21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝7；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝9.

求它的函数表达式.

【答案】解：根据题意得，

∴它的函数表达式为y＝﹣2x2﹣5x＋7.

22.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(﹣1，0)，请解答下列问题：

(1)求抛物线的式；

(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长.

【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0， 3)，B(﹣1，0)，

∴，解得：，

∴抛物线的式为y＝﹣x2＋2x＋3.

(2)∵抛物线式为y＝﹣x2＋2x＋3，

∴顶点D的坐标为(1，4)，点E的坐标为(1，0)，

∴BE＝1﹣(﹣1)＝2，DE﹣4，

∴BD＝2.

23.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)三点.

(1)求此抛物线的函数式；

(2)P为抛物线对称轴上一点，满足PA＝PB，求点P的坐标.

【答案】解：(1)根据题意，得

解得∴抛物线的函数式为y＝x2－2x－3.

(2)抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，设P(1，t)，∵PA＝PB，

∴(1－3)2＋t2＝(1－2)2＋(t＋3)2，解得t＝－1，∴点P的坐标为(1，－1).

24.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3 ，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.

(1)求抛物线的式；

(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.

【答案】解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3 ，0)，B(0，3)，

∴解得b＝.∴抛物线的式为y＝－x2＋x＋3.

(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝.

把x＝代入y＝－x2＋x＋3得y＝4，则点C的坐标为(，4).

∵直线AB过点B(0，3)，∴设直线AB的式为y＝kx＋3.

∵A(3 ，0)，∴3 k＋3＝0，∴k＝－，

∴直线AB的式为y＝－x＋3.

过点C作CH⊥x轴于点H，

则OH＝，CH＝4，AH＝OA－OH＝3 －＝2 .

∴S△ABC＝S四边形OHCB＋S△CHA－S△AOB＝(OB＋CH)·OH＋AH·CH－OA·OB

＝×(3＋4)×＋×2 ×4－×3×3 ＝3 .

25.抛物线y＝ax2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知点B的坐标为(4，0)，

(1)求抛物线的式.

(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标.

【答案】解：(1)将B(4，0)代入抛物线的式中，得：

0＝16a﹣×4﹣2，即：a＝；∴抛物线的式为：y＝x2﹣x﹣2.

(2)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC的式为：y＝x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的式可表示为：y＝x＋b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x＋b＝x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b＝0，且△＝0；

∴4﹣4×(﹣2﹣b)＝0，即b＝4；

∴直线l：y＝x﹣4.

由于S△MBC＝BC×h，当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时，△ABC的面积最大

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

得M(2，﹣3).