人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程优秀习题

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第01课 一元二次方程
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学习目标
（1）会设未知数，列一元二次方程.
（2）了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
知识精讲

知识点01 一元二次方程的概念
1、对“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有 未知数；
②二次：未知数的 为2；
2、一元二次方程满足的三个条件
①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有 个未知数；
③未知数的 为2；
知识点02 一元二次方程的一般形式
1、一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成
的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左边为关于x的 ，等式右边 ；
2、一元二次方程的项和系数













a为
b为
3、一元二次方程的特殊形式：






【注意】
（1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化为 ；
（2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程 ，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的 ；
（3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为 ；
知识点03 一元二次方程的根
一元二次方程的根满足两个条件：
（1）根就是未知数的值；
（2）使方程两边相等；
用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。
应用：
1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边 , 则是,否则不是.
2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值.
知识点04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根
（1）首先观察下表：
已知方程的根
得出等式
x=1

x=

x=2

x=

（2）由上表，根据a、b、c的等式，得出方程的根
已知等式
方程的根




















【注意】
①由a、b、c的等式，判断方程的根时，要将a、b、c放在等号的一侧；
②根据一元二次方程的一般式可知，c的系数为 ，故一定要将c的系数化为 ；
③根据一元二次方程的一般式可知，一次项bx可知，b的 即为方程的根x；
能力拓展

考法01 一元二次方程的判断
【例题1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　)
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【即学即练1】下列哪个方程是一元二次方程（　　）
A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3
【即学即练2】下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ）
A． B． C．=0 D．
考法02 一元二次方程的定义
【例题2】若关于x的方程是一元二次方程，则(     )
A． B． C． D．
【即学即练1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
【即学即练2】已知方程.
（1）当取何值时是一元二次方程？
（2）当取何值时是一元一次方程？
考法03 一元二次方程的一般式
【例题3】填空：
（1）一元二次方程的一般式是 __________．
（2）把一元二次方程化成一般式是__________．
（3）把一元二次方程化成一般式是__________．
（4）一元二次方程的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是__________．
（5）一元二次方程的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______．
（6）当__________ 时，关于的方程是一元二次方程．
【即学即练1】下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【即学即练2】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【即学即练3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是(　　)
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
考法04 一元二次方程的根
【例题4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（     ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【即学即练1】如果关于x的一元二次方程有一个解是0，那么m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3
【即学即练2】若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【即学即练3】已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【即学即练4】关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【即学即练5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【即学即练6】两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ）
A．2020 B． C．-2020 D．
考法05 由a、b、c的等式得出方程的根
【例题5】若方程中，满足和，则方程的根是（       ）
A． B． C． D．无法确定
【即学即练1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．

考法06 整体代换思想
【例题6】已知整式的值为6，则整式2x2-5x+6的值为（          ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【即学即练1】已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．2
【即学即练2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【即学即练3】已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．
【即学即练4】是方程的根，则式子的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
考法07 列一元二次方程
【例题1】根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）一个长方形的长比宽多，面积是，求长方形的长x；
（2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x；
（3）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有x人．
【即学即练1】根据下列问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.
分层提分

题组A 基础过关练
1．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ）
A． B．
C． D．
3．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是(    )
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
6．若是方程的根，则的值为（       ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（       ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a)必有一个根是（   ）
A．0 B．1 C．-1 D．
9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
11．下列说法正确的是（        ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
12．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（             ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
题组B 能力提升练
13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
14．若关于x的方程有一个根是1，则_________．
15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
16．若a是方程的解，计算：=______.
17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
18．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________．
19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
21．已知=0        是关于 x 的一元二次方程，则 k 为___________．
题组C 培优拔尖练
22．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
23．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
24．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
26．试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；