小学数学人教版六年级上册8 数学广角——数与形教案设计

这是一份小学数学人教版六年级上册8 数学广角——数与形教案设计，共13页。教案主要包含了创设情境，导入新课，自主探索，互动授新，课堂回顾，交流收获，作业设计，巩固提升等内容，欢迎下载使用。

第八单元《数学广角——数与形》

本单元的主要内容：一是通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律；二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、难以解释的问题。
数与形是教材新增添的内容，但是数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是。小学生思维的抽象程度还不高，经常需要借助直观模型来帮助理解。数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得更直观。教学数与形，旨在引导学生通过数形结合寻找事物的规律，懂得运用一定的规律去解决较复杂的数学问题。整个教学过程逐步让学生体会化难为易的数学思想，体会数形结合作为解决问题的方法和策略在学习、生活中的应用。通过让学生经历运用数形结合寻找规律的过程，使学生的数学思维得到训练，进一步培养学生的归纳能力、比较能力、观察能力、分析能力和解决问题的能力。
本单元的内容是学生在对数形结合的思想有初步认识的基础上进行教学的。为了使学生更直观地理解知识，同时又促进学生发展逻辑思维能力，教材在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力服务。六年级的学生思维水平处于快速发展的阶段，在这时候引进学习数形结合思想，符合学生的思维水平和发展需求。
教学目标
1.使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。
2.使学生会利用图形来解决一些有关数的问题。
3.使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
课时安排

教学建议
1.引导学生数形结合，相互印证。
形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决。教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合：既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律；也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。
2.充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。
例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”，从而进一步感受到“化数为形”直观、形象、简捷的特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解。
3.引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。
小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。

第1课时
数与形（1）
课时内容
教材第105页例1及相关习题
课时
目标
1.通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系。
2.使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合与合情推理的数学思想，进一步积累运用数形结合和合情推理解决问题的活动经验，从而提高解决实际问题的能力。
3.培养学生运用数形结合思想的意识，感受数学的魅力，体验思想方法的价值，激发学生学习数学的兴趣。
重点
难点
重点：引导学生理解图形和数的对应关系，在探索规律的过程中体会数形结合的数学思想。
难点：理解“从1开始的连续奇数相加的和等于加数个数的平方”的道理。

一、创设情境，导入新课
师：最近老师发现自己有一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如，1+3，1+3+5，…像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？
课件依次出示习题。

教师和同学们比赛，看谁算得快，教师的速度明显快。
师：你们想知道老师有什么秘密武器吗？这节课就来探究这个有趣的问题：如何又对又快地计算从1开始的几个连续奇数相加的和？［板书课题：数与形（1）］
设计意图：通过设置悬念和师生比赛，激发学生的好奇心和求知欲；以问题为驱动，引发学生积极思考、动手探究、合作交流。
二、自主探索，互动授新
1.探究从1开始的连续奇数相加的和。
师：我是用了什么计算方法算得这么快呢？我是借助图形。那我又是怎样借助图形发现的呢？我是根据算式中的加数，拿出对应的图形，比如1+3，先拿1个小正方形，再拿3个小正方形，这些数量的小正方形刚好能拼成一个更大的正方形。
接着，我观察图形和算式之间的关系，发现了可以快速算得结果的方法，1+3=2×2=22。你们想不想自己试试看？
（1）小组合作摆一摆，试一试。
下面请同学们小组合作摆一摆算式：1+3+5。摆好后仔细观察算式与图形，你有什么发现？把你的发现告诉本组同学。
小组合作，教师巡视。
【学情预设】
师：我们来看看这个正方形，有几行、几列？
【学情预设】 3行3列，1+3+5=3×3=32。
（2）探究发现形与数的关系。
师：请大家结合图形与算式，看看能发现什么规律？拼这样的图形，一共需要多少个小正方形？
课件集中呈现。

学生观察、讨论，教师巡视。全班交流。
【学情预设】 预设1：结合算式看图形，发现图形中所包含的规律是各种颜色的小正方形的个数之和等于颜色种数的平方。
预设2：拼出的图形有多少层，层数的平方就是图中所有小正方形的个数。如拼出的图形有2层，一共有22个小正方形；拼出的图形有3层，一共有32个小正方形；拼出的图形有几层，就有几的平方个小正方形。
师：同学们真聪明，发现了形与数之间的联系。现在如果让你拼出4层，一共需要多少个小正方形？如果拼出5层呢？6层呢？
课件动态呈现拼成4、5、6层的大正方形。学生分别说出算式和得数。（课件出示）
师：同学们说得非常对。下面请大家利用发现的规律直接写一写算式。（课件出示）
引导学生归纳出数与形之间的联系，最后完成小结。
【学情预设】 从1开始，n个连续奇数的和等于n²。
师：通过探索，我们发现形与数之间存在着紧密的联系；并且还发现，图形虽然直观，但随着数量的不断增加，会变得不易操作。如果改用数来表示隐藏的规律，就可以更方便了。
设计意图：学生在计算每个大正方形所含小正方形的总个数时，是通过观察、思考，自主发现获取计算方法的，而不是模仿或教师灌输的，这有利于培养学生的抽象能力和交流能力；数形紧密结合有助于学生理解“正方形数”“平方数”的意义。
（3）运用规律。
课件出示习题。

学生独立完成，然后全班核对答案并适时板书。
设计意图：进行变式练习，可以检查学生对于数形结合思想的运用程度，又可以培养学生思维的灵活性和发散性。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第106页“做一做”第1题。
（2）完成教材第106页“做一做”第2题。（课件出示）

师：有些数的问题借助图形来思考更容易，那么图形中会不会也蕴藏着数的规律呢？
学生独立思考后交流。
师：仔细观察上面的图形与下面的数，你有什么发现？
【学情预设】 通过观察，学生发现：绿色小正方形每次增加1个，第几个图形就有几个绿色小正方形；蓝色小正方形每次增加2个。
师：照这样画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能写出来吗？
教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。
【学情预设】 图形中左右两侧的蓝色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，绿色小正方形的个数乘2就是蓝色小正方形的个数。
师小结：即使在绿色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。
设计意图：运用合情推理，引导学生体会图形问题中蕴含着数的规律，应用数的规律解决图形问题，体验用“数”解决图形问题的优越性。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第107页“练习二十二”第2题。
巩固图形和数的对应关系的理解。
2.完成教材第108页“练习二十二”第3题。
先填数，通过分析数之间的关系来找规律。

数与形（1）


从计算导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引出课题。在教学新知的过程中，充分让学生动手实践，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使“数”的问题变得更加容易解决。再通过练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用“形”来解决“数”的有关问题的直观性与简捷性。整堂课衔接紧凑，内容充实，较好地完成了教学目标。
第2课时
数与形（2）
课时内容
教材第105～106页例2及相关习题。
课时
目标
1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2.让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
重点
难点
重点：探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
难点：借助数形之间的联系发现用“形”解决“数”的问题的方法。

一、创设情境，导入新课
师：同学们，昨天我们进行了一次计算比赛，发现了一些规律，今天我们再来进行一次计算比赛，看看谁算得快？（课件出示）

师生比赛，发现老师算得快。
师：想知道老师为什么算得这么快吗？弄清了今天我们研究的内容，你们就明白了。同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。［板书课题：数与形（2）］
设计意图：通过设置悬念，再次激发学生的学习兴趣和求知欲，同时为新课的学习做好铺垫。
二、自主探索，互动授新
1.探索计算规律。（课件出示）

（1）初步感知规律
引导学生观察算式。
师：你们有什么发现？
【学情预设】 预设1：分数的分子都是1。
预设2：后面的分母都是前面的分母乘2。
① 分段计算。
师：你知道+等于多少吗？
【学情预设】 。
师：那++等于多少呢？
【学情预设】 。
师：观察这两组算式，你有什么想法？
【学情预设】 预设1：学生隐约发现规律，结果的分子和分母相差1，结果的分母和最后分数的分母相同。
预设2：结果是1减去最后一个分数。
师：我们再算算看，下面的算式有这样的规律吗？
学生继续计算+++。然后发现结果是，进一步验证猜想正确。
然后教师出示：++++。
师：你能用刚才的猜想算出结果吗？
【学情预设】 学生算出结果为，再次验证猜想正确。
②观察分析算式，归纳规律。
师：通过刚才的计算，你发现了什么规律？
【学情预设】 按分子是1，分母依次扩大到原来的2倍的规律加下去，结果是1减最后一个分数。
设计意图：将计算题分段计算，引导学生初步发现规律，将复杂变成简单，使学生的好奇心、求知欲在计算过程中层层推进，学生的思维逐步激活。
（2）借助圆探究计算方法。
师：通过刚才的计算，我们初步发现了一部分算式的规律，那么为什么有这样的规律呢？我们不妨用一个圆来看一看。
① 进行演示讲解。
演示+。（课件出示）
师：用一个圆表示“1”，先取它的一半就是圆的（涂红），再取剩下部分的一半就是圆的（涂黄）。
师：想一想：圆中表示＋的涂色部分与空白部分和整个圆之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分。）空白部分占圆的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（1－）也就是说＋＝1－= 。
［板书：＋＝1－= ］
继续演示++。（课件出示）
师：谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书++=1-= 。
演示+++。（课件出示）
师：那么计算+++就可以得到什么？+++=1-=。（板书）
②发现规律。
师：看到这儿，你发现什么规律了吗？
引导小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
设计意图：将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
③尝试练习。
师：这个法宝怎么样？我们来算一算。（课件出示）
学生自主计算，交流结果。
（3）知识提升，探索发现。
①感受极限思想。
师：刚才我们已经从一直加到了，如果继续加，加到，得数等于多少？()再接着加，一直加到，得数等于多少？()继续加下去，你会发现得数越来越大，无数个这样的数相加，和会是多少呢？
学生自由发言。
师：这时候你心中有没有一个大胆的猜想？
【学情预设】 这样一直加下去，得数会不会就等于1了？
师：想象一下，如果我们在刚才加的过程中在圆上不断涂色，那空白部分的面积会怎样变化？（越来越小。）而涂色部分的面积会怎样变化？（越来越大。）一直往下加，和的得数越来越接近什么数？
【学情预设】 越来越接近1。（课件出示）
②利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
师：教材上有两幅图，我们一起来看看。（课件出示）
师：一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
学生看书思考。
全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。
设计意图：利用数与形的结合，让学生直观体会极限的数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
2.巩固练习，强化新知。
（1）完成教材第110页“练习二十二”第4题。
学生小组合作，研讨解答。
【学情预设】 本题渗透着比例思想，对于学生来说，有一定的难度，教师要适当提示。
展示交流。
师：这道题跟我们以前学习的行程问题相同吗？需要知道速度和时间吗？
引导学生发现狗的速度是人的速度的2倍，用比例的知识解答。小狗与小亮的速度比为2 ∶ 1，因此相同时间内，小狗跑的路程是小亮的2倍。只要小狗中途没有停下来休息，不管它如何跑动，当小亮行走了200 m时，小狗跑的路程都是200×2=400（m）。
（2）完成教材第108页“练习二十二”第5题。
①学生仔细读图，尝试解答。
②展示交流。
师：这几个图中哪个是描述妈妈的行程的？你是怎么知道的？（课件出示）
【学情预设】 学生可能根据整幅图进行判断，也可能只根据其中的一段进行判断，还有可能是根据时间判断。
设计意图：通过练习，回顾新知，巩固新知，使学生对新知识掌握得更扎实，同时让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。
三、课堂回顾，交流收获
师：这节课学习了什么内容？大家有什么收获？
根据学生回答，教师小结。（课件出示）
四、作业设计，巩固提升
1.完成教材第109页“练习二十二”第6题。
运用连线法解决逻辑推理问题。
2.完成教材第109页“练习二十二”第7题。
通过观察、猜想、验证来发现规律，并体验学习数学的乐趣。

数与形（2）


本课教学着重引导学生在充分观察的基础上，分段进行计算，找出规律，然后层层推进，引导学生数形结合相互印证，促使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。同时，引导学生从不同角度探索数与形的通用模式，掌握推理的方法，体验数学之美。本节课学生对于++++++…这个算式的结果等于1不好理解，学生一直争论“它只是越来越接近1，结果离1还是有那么一点点距离。”教师通过课件演示，使学生直观地看到最终的结果是“1”。但这个结果是教师强加给学生的，还有些学生不是很理解。由此也可以看出，小学生对于“极限”思想还是难以接受，还需要进一步渗透。