湖南省益阳市南县立达中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市南县立达中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

南县立达中学2022-2023学年高一上学期期中考试
数 学 试 卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 下列各组函数中，表示同一函数的是
A. x与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
【详解】对于A：定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；对于B：的值域为，的值域为，故不为同一函数；对于C：，定义域相同，对应关系也相同，故两者为同一函数；对于D：的定义域为，的定义域为，故不为同一函数，故选C.
点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
5. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（ ）
x
1
2
3

2
3
0

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可得，进而根据表格得.
【详解】由题图可知，由题表可知，故．
故选:D．
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴和单调性可直接构造不等式求得结果.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
又在上单调递减，，解得：.
故选：B.
7. 已知，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数是减函数，则由每一段是减函数，且左侧的函数值不小于右侧函数值求解.
【详解】由已知，在上单调递减，
∴，.①
在上单调递减，
∴解得，②
且当时，应有，
即，∴，③
由①②③得，的取值范围是，
故选：C.
8. 若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解.
【详解】由题得不等式对任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.
【详解】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
10. 已知，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用换元法求出的解析式，再对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】令，∴.
∴.
故选：BD.
【点睛】本题考查换元法求函数的解析式、函数值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 不等式的解集是
B. “”是“”成立的充分条件
C. 命题，则
D. “”是“"的必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】将分式不等式转化为求解，判断A;根据充分条件以及必要条件的概念可判断;根据全称命题的否定可判断C.
【详解】对于A，不等式即，
即，
则不等式的解集是，A正确；
对于B, 当时，一定有成立，
故“”是“”成立的充分条件，故B正确；
对于C，命题，则，故C错误；
对于D, 当时，不一定成立，当时，一定成立，
故“”是“"的必要条件，D正确，
故选：
12. 已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确
由选项A有，设，则在上单调递减.
所以，所以选项B正确
(当且仅当时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知集合，，若，则_______．
【答案】5
【解析】
【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得，得.
【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以.
故答案为：5.
【点睛】（1）集合的充要条件是，且；
（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.
14. 若函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（）的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据可得答案.
【详解】因为函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，
则，解得，
即函数y＝f（）的定义域为
故答案为：
15. 函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案
【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
16. 已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知.

考点：分段函数图像与性质

四、解答题：本大题共6小题，满分70分，写出必要的文字说明、推演步骤．
17. 已知集合，，若，求实数，的值.
【答案】或.
【解析】
【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b的值．
【详解】解：由已知，得（1）或.（2）
解（1）得或，
解（2）得或，
又由集合中元素的互异性
得或.
【点睛】本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.
18. 已知，
（1）求函数的最小值，并指出此时的取值；
（2）用定义法证明在区间上为增函数.
【答案】（1）最小值4，；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用对勾函数的性质得出函数的单调区间，利用单调性即可求解.
（2）利用证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.
【详解】解：（1）由对勾函数的性质，
函数在上单调递减，
在单调递增，
即当时，函数取最小值4.
（2）任取，且，则

由且知，∴
从而有，故在区间上为增函数.
19. 已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.
（1）求集合；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.
【答案】（1）{x|﹣2≤x≤1}
（2）
【解析】
【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．
【小问1详解】
，则，
又，则；
【小问2详解】
∵，∴，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围为:
20. 已知二次函数满足，且.
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】（1）设二次函数，由得到的值，再由求得的值，从而得到函数的解析式；
（2）函数的开口向上，对称轴穿过区间，可得函数在对称轴取得最小值，再判断端点与对称轴的距离，从而求得最大值.
【详解】（1）设二次函数，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以.
（2）函数的对称轴为，开口向上，
所以当时，；
当时，.
【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数在闭区间上的最值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.
21. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】
【分析】（1）解出不等式即可；
（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度，然后利用基本不等式求出，然后解出不等式即可
【详解】（1）因为一次喷洒个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为，
当时，令，解得，所以；
当时，令，解得，所以．
综上，可得，即一次投放个单位去污剂，有效去污时间可达6天．
（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度，
因为，而，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，令，解得，
所以的最小值为．
22. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，
（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，
【小问1详解】
由题意得在时恒成立，
∴，得，即.
【小问2详解】
不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件.
③当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时，
综上①②③可得.