2021-2022学年湖南省益阳市高一上学期期末数学试题（解析版）

益阳市2021年下学期普通高中期末考试

高一  数学试题卷

注意事项：

1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

试 题 卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的定义直接得解.

【详解】由，，

得，

故选：B.

2. 的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用两角差的正弦公式计算可得结果.

【详解】.

故选：B.

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.

【详解】因为，则，可得，

故函数的定义域为.

故选：D.

4. 已知：，：，，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由可得，或，，

所以由推不出，，由，，可以推出，

故是的必要不充分条件.

故选：B

5. 若，，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用不等式的性质及基本不等式分别判断即可.

【详解】因为，所以，

所以，故A错误，

当时，，故B错误，

因为，所以，

而，所以，故C正确，

由，所以，故D错误，

故选：C.

6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数图象变换可得结论.

【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度.

故选：C.

7. 已知函数，则它的部分图像大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决问题.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

而，且，

所以函数为非奇非偶函数，故C，D错误，排除；

当时，，故B错误，

故选：A.

8. 某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ）

A. 当生产万件时，当月能获得最大总利润万元

B. 当生产万件时，当月能获得最大总利润万元

C. 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元

D. 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元

【答案】D

【解析】

【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.

【详解】由题意可得，

故当时，取得最大值，

，

当且仅当时，等号成立，

因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，

当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数， 则（    ）

A. 当时，函数取得最大值2 B. 函数在上为增函数

C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象关于原点对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】代入，计算出，A正确；利用整体法得到，数形结合得到其不单调，B错误；利用求出最小正周期，C正确；先求出定义域，结合得到D正确.

【详解】对A，当时，函数为的最大值，A正确；

对B，当时，，因为在上不单调，故在上不单调，B错误；

对C，由，故函数的最小正周期为，C正确；

对D，的定义域为R，且，

故函数的图象关于原点对称，D正确.

故选：ACD

10. 已知函数，则（    ）

A. 是偶函数 B. 值域为

C. 在上递增 D. 有一个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】画出的函数图象即可判断.

【详解】画出的函数图象如下：

由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

值域为，故B正确；

在单调递减，在单调递增，故C错误；

有一个零点1，故D正确.

故选：BD.

11. 已知，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用对数函数的单调性可判断CD选项.

【详解】因为，且，，

对于A选项，函数为上的减函数，则，A错；

对于B选项，函数为上的增函数，则，B对；

对于C选项，函数在上为增函数，则，C对；

对于D选项，取，，则，D错.

故选：BC.

12. 已知是定义在R上的函数，且，则（    ）

A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于点对称

C. 函数的图象关于直线x=1对称 D. 函数是以2为周期的周期函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用奇偶性定义和已知可判断A；利用和奇偶性可判断BC；利用和周期定义可判断D.

【详解】因为是定义在R上的函数，由可得，

所以是奇函数，函数的图象关于原点对称，故A正确；

因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确，C错误；

因为，所以，，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 化简求值：__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.

详解】.

故答案为：.

14. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这一天时的最大温差是__________，函数的解析式中常数的值为__________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据图形可得出这一天的最高温度和最低温度，可求得最大温差，根据题意可得出关于、的方程组，即可解得的值.

【详解】由题可知，这一天时的最高温度为，最低温度为，

所以，这一天时的最大温差为，

不妨设，由图象可得，解得.

故答案为：；.

15. 若点 在角的终边上，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数定义式可得三角函数值，再利用诱导公式化简得解.

【详解】由诱导公式可知，

又点 在角的终边上，

所以，

即，

故答案为：.

16. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】画出与的图象，数形结合得到当时，满足要求

【详解】画出与图象如下：

由图象可知：将代入，解得：，

与相切，故联立，得到，

整理得到，

由得：，

解得：或

由图象可知，所以，

当时，关于的方程有三个不同的实数根，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设集合，．

（1）当时，求；

（2）若，且，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，求出集合，即可根据集合的并集运算得出答案；

（2）由已知得出，即可根据列出不等式，解出答案.

【小问1详解】

当时，，

，

【小问2详解】

，

，

，

，解得：，

的取值范围为.

18. 已知锐角、满足，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由二倍角的余弦公式可求得的值；

（2）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式可求得的值．

【小问1详解】

解：.

【小问2详解】

解：因为、均为锐角，则，，

所以，，，

所以，，

因此，.

19 已知函数，.

（1）若，求自变量的取值范围；

（2）设，根据定义证明在区间上单调递减．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；

（2）求得，任取、且，作差、因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立.

【小问1详解】

解：由，可得，解得或，

所以，若，自变量的取值范围为.

【小问2详解】

解：因为，

任取、且，即，所以，，，

所以，

，即，

所以，函数在上为减函数.

20. 把一个热物体放在冷空气中冷却，物体的温度将会逐渐下降． 假设某物体开始的温度为80℃（用表示），空气的温度是20℃（用表示）．某研究人员每隔5min测量一次物体的温度，得到一组如下表的数据：

为了研究物体温度（单位：℃）与时间（单位：min）的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②．（其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数）．

（1）根据表中提供的测量数据，选出一个最符合实际的函数模型，并说明理由；

（2）根据（1）中选择的函数模型，结合表中的一对对应数据：t =5，=60.0，

①求出的值；

②若该物体的温度由80℃降为25℃时，需要冷却的时间约为多少min？(精确到0.1)

（参考数据：）

【答案】（1）选函数模型②，理由见解析   

（2）① ；②30.2分钟

【解析】

【分析】（1）选函数模型②．因为当热物体放在空气中冷却时，随着时间的增加，它的温度会逐渐接近空气的温度，而不会低于空气的温度可得答案；

（2）①由函数模型得，两边取自然对数可得答案；②当时，得，两边取自然对数得可得答案．

【小问1详解】

选函数模型②．因为当热物体放在空气中冷却时，随着时间的增加，它的温度会逐渐接近空气的温度，而不会低于空气的温度，而模型①中物体的温度会低于空气的温度，且数据显示不成直线下降，所以选模型②；

【小问2详解】

①由函数模型得：，

所以：，两边取自然对数得：，

所以．

②当时，，即，

两边取自然对数得：，

解得：，

故当物体的温度冷却到时，需要的时间约为30.2分钟．

21. 已知函数的图像过点且关于直线 对称．

（1）若直线是函数的图像中与直线相邻的一条对称轴，请确定函数的解析式；

（2）若函数在区间上单调，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）13

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求出周期，进而求出的值，根据图像上点及已知条件求出的值；

（2）根据由题意得，和相减得，所以为正奇数，然后根据函数在区间上单调，从而分析出周期，进而确定的值，代回已知条件检验即可.

【小问1详解】

由题意可知：，

所以，

又因为的图像过点，

所以得,

因，所以，

所以，

【小问2详解】

由函数的图像过点得，

，①

且关于直线 对称得，

，②

由 ②—①得：，

所以为正奇数，

又因为在上单调，

所以，

因为为正奇数，取时，

由①得，

又因为，所以，

此时，，直线是它图像的一条对称轴

又因为时，，

所以在上单调，

综上所述，的最大值为13．

22. 已知函数．

（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若且，讨论函数在上的零点个数．

【答案】（1）偶函数，理由见解析   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性的定义直接判断函数的奇偶性；

（2）利用定义法判断函数的单调性，进而可将零点个数转化为方程根的个数，分情况讨论二次方程根的个数即可.

【小问1详解】

当时，，函数定义域为，

，

是偶函数；

【小问2详解】

因为函数的定义域为，设，

则，

，，

，，，

即，

故函数在上是增函数．

当时，，

即，

所以函数在上零点的个数，等价于方程在上根的个数，

令，

①当时，，，，，

且的图象对称轴，

所以，函数在上有两个不同的零点．

②当时，，方程只有一个根，

即函数在上只有一个零点．

③当时，，

，又，

且的图象对称轴，

当时，，

所以当时，，函数在上有两个不同的零点，

当时，，函数在上只有一个零点．

综上所述，当或时，函数在上有两个不同的零点；

当或时，函数在上只有一个零点．