2022-2023学年湖南省张家界市民族中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省张家界市民族中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】,所以，故选A.

【解析】集合的运算.

2．已知幂函数在上为增函数，则m值为（    ）

A．4 B．-3 C．-1 D．-1或4

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义及区间单调性有，求解即可.

【详解】由题设，知：，解得.

故选：A

3．已知集合，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，，

当时，显然，故充分性成立；

当，则或，即必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：C

4．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意得，解不等式即可得答案.

【详解】解：要使函数有意义，则需满足，解得且

所以函数的定义域为：.

故选：D.

5．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.

【详解】解：因为函数为减函数，

所以，

又因为，

所以.

故选：A.

6．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由已知中f （）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解集

【详解】∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，

∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，

∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0

当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0

综上xf（x）＞0的解集为

故选B．

【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减是解题的关键．

7．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】因为且在上单调递增，

所以，解得，即

故选：B

8．已知函数是奇函数，，且与图象的交点为，，……，，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断出函数的图象关于对称，然后判断出函数的图象也关于对称，由此求得的值.

【详解】令，则，则，

即，故函数的图象关于对称，又∵关于对称，

∴两个函数图象的交点都关于对称，设关于对称的两个点的纵坐标分别为，，则，

即．

故选：C

【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数图象的对称性，属于中档题.

二、多选题

9．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.

【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:

由图像可知函数为增函数，所以.当时，，

故选AD.

【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．“，”是“”成立的充分条件

B．“”是“”成立的充分不必要条件

C．命题“若，则”的否定是假命题

D．命题P：，，则：，

【答案】AC

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A、B，判断原命题的真假即可得到其否定的真假，从而判断C，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断D.

【详解】解：对于A：由，可以得到，故“，”是“”成立的充分条件，即A正确；

对于B：由推不出，如，满足，但是，故充分性不成立，则B错误；

对于C：命题“若，则”为真命题，则其否定为假命题，故C正确；

对于D：命题P：，，则：，，故D错误；

故选：AC

11．下列命题正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C． D．

【答案】BD

【分析】逐项判断每个选项的正误进行判断.

【详解】对于A，当时，,不满足，A错误；

对于B，当时，所以,可得，

当且仅当，即或时，等号成立,B正确；

对于C，，因为时，,不满足，C错误；

对于D，因为,所以，

当且仅当，即时，等号成立,D正确.

故选：BD.

12．定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（    ）

A．-2 B．6 C．4 D．-4

【答案】AC

【解析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．

【详解】在，上的最大值为5，

所以由，解得或，

所以时，，

所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，

当时，即时，，此时解得，符合题意；

当时，即时，，此时解得，符合题意；

故或4，

故选：AC

三、填空题

13．已知命题P:，则命题为______

【答案】，

【分析】“任意一个都符合“的否定为“存在一个不符合”.

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故命题为，.

故答案为：，.

14．若函数的定义域为，则的定义域为______

【答案】

【分析】根据的定义域求出的取值范围，即可得到，求出的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为函数的定义域为，

即，则，

令，解得，即的定义域为.

故答案为：

15．已知，且，若不等式恒成立，则实数的范围是______

【答案】

【解析】先根据基本不等式“1”的用法得的最值，进而得的取值范围.

【详解】解：根据题意不等式恒成立，

所以即可.

因为，且，

所以，

当且仅当，即时等号成立；

所以实数的范围是.

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．关于的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立，则的取值范围为___.

【答案】，

【解析】设函数，则对称轴为，分3种情况讨论，根据二次函数的图象和性质列出不等式组，解出的范围即可．

【详解】设函数，则对称轴为，

①当，即时，

则，解得，

又，

无解；

②当，即，

则△，解得，

又，

；

③当，即时，

则，解得，

又，

无解，

综上所述，的取值范围为：，．

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查了二次函数根的分布，二次函数的图象与性质，考查了解不等式组，属于中档题．

四、解答题

17．计算

(1)

(2)

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据对数运算的性质和指数运算性质求解；

（2）根据指数运算和根式的性质求解即可.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．设p：实数x满足，q：实数x满足:，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】

【分析】解不等式求出命题p，q对应的集合A，B，由p是q的充分不必要条件可得，AB，

由此建立关于a的不等式组，解之即可得到结果.

【详解】p：实数x满足,记，

由，得，

记，

∵p是q的充分不必要条件，∴AB，

则，

即．

19．已知，，．

(1)求；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)的取值范围为.

【分析】(1)化简，结合补集的运算和交集的运算法则求即可.

(2)根据题目得到，讨论，，三种情况得到答案.

【详解】（1）因为或，所以，

又，

.

（2）因为，所以.

不等式 可化为.

当时： 或，则，所以；

当时： ，满足，故符合条件；

当时： 或，则，所以；

综上知的取值范围为.

20．已知f(x)=是定义在(-1，1)上的函数.

（1）判断函数f(x)的奇偶性.

（2）利用函数单调性的定义证明f(x)是其定义域上的增函数.

【答案】（1）奇函数；（2）增函数.

【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，先判断f(x)定义域为(-1，1)，关于原点对称，再判断

f(-x)与f(x)的关系即可.

（2）设-1<x1<x2<1，作差变形为f(x1)-f(x2)，再判断其正负号即可.

【详解】（1）因为f(x)定义域为(-1，1)，关于原点对称，

又f(-x)==-f(x)，

所以f(x)=是奇函数.

（2）设-1<x1<x2<1

则f(x1)-f(x2)=

因为-1<x1<x2<1，

所以x1-x2<0，1-x1x2>0.

所以f(x1)-f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2).

所以函数f(x)在(-1，1)上是增函数.

【点睛】方法点睛：1、判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

2、判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

21．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元）、种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与投入a（单位：万元）满足，，设甲大棚投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）．

(1)求函数的解析式和定义域，并求的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？

【答案】(1)，定义域为，.

(2)投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，才能使总收益最大．

【分析】（1）由条件结合关系确定函数解析式，再求其定义域，由解析式求；

（2）换元，化为二次函数，由二次函数知识求其最大值．

【详解】（1）由题知，，

化简可得，

依题意得

解得，

故，函数的定义域为.

所以；

（2）令，则，，

则，

当，即时，取得最大值282，

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．

22．设函数，.

(1)已知在区间上单调递增，求b的取值范围；

(2)是否存在正整数a，b，使得？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在满足条件

【分析】（1），分与结合单调性讨论即可求解；

（2）当时，恒成立，等价于，

利用对称轴与的关系进行讨论，分别研究即可求解

【详解】（1）由题意可知，

当时，在上单调递增，

从而在上单调递增，符合题意；

当时，由对勾函数的性质可知在上单调递减，

在上单调递增，

又在上单调递增，

所以，即，

综上可知，b的取值范围是

（2）因为的对称轴为，

由题设知：，

当时，恒成立，等价于，

当时，即时，不满足题设，不予考虑；

当，即时，在上单调递减，

所以，

因为，

所以，

所以，与矛盾；

当时，即时，

则有，

由（1）可得，

结合（2）可得，

由（1）（3）可得，，即，

又，所以，即

再结合（1）则有，解得，

综上，的范围是，

又为正整数，

故当时，由得，此时，不符合；

故当时，由得，此时符合条件；

故存在满足条件

所以