2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x与f（x）
B．f（x）＝x﹣1与
C．f（x）＝x与
D．f（x）＝|x|与
4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，则f[g（2）]的值为（ ）
A．3B．0C．1D．2
6．（5分）若函数f（x）＝x2﹣2（a﹣4）x+2在（﹣∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣7B．a≥7C．a≥3D．a≤﹣7
7．（5分）已知f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，3）B．[，3）C．[，3）D．[，]
8．（5分）若不等式x2﹣ax≥16﹣3x﹣4a对任意a∈[﹣2，4]成立，则x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8]∪[3，+∞）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
C．[﹣8，6]D．（0，3]
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集可能是（ ）
A．B．{x|x≠﹣1}C．D．R
（多选）10．（5分）已知f（2x﹣1）＝4x2，则下列结论正确的是（ ）
A．f（3）＝9B．f（﹣3）＝4
C．f（x）＝x2D．f（x）＝（x+1）2
（多选）11．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集是
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
C．命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p：∃x∈R，x2＜0
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
（多选）12．（5分）已知a，b∈R*且a+b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A．abB．ab
C．D．2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，若A＝B，则m+n＝ ．
14．（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（）的定义域为 ．
15．（5分）函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 ．
16．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣2））＝ ，f（x）的最小值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分，写出必要的文字说明、推演步骤．
17．（10分）已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，求实数a，b的值．
18．（12分）已知x＞0．
（1）求函数的最小值，并指出此时x的取值；
（2）用定义法证明在区间（2，+∞）上为增函数．
19．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}．
（1）求集合∁RB∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
21．（12分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y；当4＜x≤10时，y＝4x．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．
22．（12分）已知命题：“∀x∈[﹣1，1]，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，
B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，
∴A∪B＝{0，1，2，3}．
故选：C．
2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|xa}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x与f（x）
B．f（x）＝x﹣1与
C．f（x）＝x与
D．f（x）＝|x|与
【解答】解：对于A，f（x）＝x与f（x），两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．
对于B，f（x）＝x﹣1与，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数；
对于C，f（x）＝x与，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数，正确；
对于D，f（x）＝|x|与，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，
故选：C．
4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
5．（5分）已知函数y＝f（x）的对应关系如表所示，函数y＝g（x）的图象是如图所示的曲线ABC，则f[g（2）]的值为（ ）
A．3B．0C．1D．2
【解答】解：由题图可知g（2）＝1，由题表可知f（1）＝2，
故f[g（2）]＝2．
故选：D．
6．（5分）若函数f（x）＝x2﹣2（a﹣4）x+2在（﹣∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣7B．a≥7C．a≥3D．a≤﹣7
【解答】解：∵f（x）＝x2﹣2（a﹣4）x+2为开口方向向上，对称轴为x＝a﹣4的抛物线，
又f（x）在（﹣∞，3]上单调递减，
∴3≤a﹣4，解得：a≥7．
故选：B．
7．（5分）已知f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，3）B．[，3）C．[，3）D．[，]
【解答】解：x＜1时，f（x）＝（a﹣3）x+a+2在（﹣∞，1）递减，
则a﹣3＜0，解得：a＜3①，
x≥1时，f（x）＝﹣ax2+x在[1，+∞）递减，
则，解得：a②，
当x＝1时，2a﹣1≥﹣a+1，解得：a③，
综合①②③，a的取值范围是[，3），
故选：C．
8．（5分）若不等式x2﹣ax≥16﹣3x﹣4a对任意a∈[﹣2，4]成立，则x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8]∪[3，+∞）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
C．[﹣8，6]D．（0，3]
【解答】解：∵不等式x2﹣ax≥16﹣3x﹣4a对任意a∈[﹣2，4]成立，
∴（x﹣4）a﹣x2﹣3x+16≤0，∴[（x﹣4）a﹣x2﹣3x+16]max≤0，
把左边看成关于a的一元一次函数，
只需满足：，即，
解得x≥3或x≤﹣8．
故选：A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集可能是（ ）
A．B．{x|x≠﹣1}C．D．R
【解答】解：关于x的一元二次方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根为，﹣1，
当a＞0时，1，故不等式的解集为（﹣1，），
当a＜0时，
②若a＝﹣1，则1，∴不等式解集为{x|x≠﹣1}，
②若﹣1＜a＜0，则1，∴不等式的解集为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，），
③若a＜﹣1，则1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），
故选：AB．
（多选）10．（5分）已知f（2x﹣1）＝4x2，则下列结论正确的是（ ）
A．f（3）＝9B．f（﹣3）＝4
C．f（x）＝x2D．f（x）＝（x+1）2
【解答】解：f（2x﹣1）＝（2x﹣1）2+2（2x﹣1）+1，故f（x）＝x2+2x+1，故选项C错误，选项D正确；
f（3）＝16，f（﹣3）＝4，故选项A错误，选项B正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集是
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
C．命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p：∃x∈R，x2＜0
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
【解答】解：对于A：不等式整理得，即的解集是，转换为，解得，故A正确；
对于B：当“a＞1，b＞1”时“ab＞1”成立，当“ab＞1”时，“a＞1，b＞1”不一定成立，故“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件，故B正确；
对于C：命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p：∃x∈R，x2≤0，故C错误；
对于D：当“a＜5”时，不能得到“a＜3”，但是当“a＜3”时“a＜5”一定成立，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知a，b∈R*且a+b＝1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A．abB．ab
C．D．2
【解答】解：∵a，b∈R*且a+b＝1，
∴a+b＝1≥2，即ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即选项A正确；
令t＝ab，则t∈（0，]，
∴y＝abt在t∈（0，]上单调递减，
∴当t时，y取得最小值，为，即ab，故选项B正确；
∵（）2＝a+b+21+21+22，
∴，即选项C正确；
（）•（a+b）＝12，当且仅当时，等号成立，
而2，∴2恒成立，即选项D正确．
故选：ABCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，若A＝B，则m+n＝ 5 ．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，n}，A＝B，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n＝5，
故答案为：5．
14．（5分）若函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（）的定义域为 [1，4] ．
【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，
即1≤x≤2，
那么函数y＝f（）的定义域满足12，
两边平方，可得1≤x≤4，
即函数y＝f（）的定义域为[1，4]．
故答案为[1，4]．
15．（5分）函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 [0，4] ．
【解答】解：函数y的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立，
当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4，
综上，实数k的取值范围为[0，4]．
故答案为：[0，4]．
16．（5分）已知函数f（x），则f（f（﹣2））＝ ，f（x）的最小值是 26 ．
【解答】解：由题意可得f（﹣2）＝（﹣2）2＝4，
∴f（f（﹣2））＝f（4）＝46；
∵当x≤1时，f（x）＝x2，
由二次函数可知当x＝0时，函数取最小值0；
当x＞1时，f（x）＝x6，
由基本不等式可得f（x）＝x6≥26＝26，
当且仅当x即x时取到等号，即此时函数取最小值26；
∵26＜0，∴f（x）的最小值为26
故答案为：；26
四、解答题：本大题共6小题，满分70分，写出必要的文字说明、推演步骤．
17．（10分）已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，求实数a，b的值．
【解答】解：∵集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，A＝B，
∴或，
解得a＝0，b＝0或a＝0，b＝1或a，b．
当a＝0，b＝0时，A＝{0，0，2}，不成立；
当a＝0，b＝1时，A＝{0，1，2}，B＝{2，1，0}，成立；
当a，b时，A＝{，2}，B＝{2，，}，成立．
∴实数a，b的值为a＝0，b＝1或a，b．
18．（12分）已知x＞0．
（1）求函数的最小值，并指出此时x的取值；
（2）用定义法证明在区间（2，+∞）上为增函数．
【解答】解：（1）由对勾函数的性质，
函数在（0，2）上单调递减，
在[2，+∞）单调递增，，
即当x＝2时，函数f（x）取最小值4．
（2）证明：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，
由x1＞2，x2＞2且x1＜x2知x1﹣x2＜0，x1x2＞4，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，从而有f（x1）＜f（x2），
故在区间（2，+∞）上为增函数．
19．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}．
（1）求集合∁RB∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）B＝{x|x＞1}，则∁RB＝{x|x≤1}，
又A＝{x|﹣2≤x≤2}，则（∁RB）∩A＝{x|﹣2≤x≤1}；
（2）∵A∪M＝M，∴A⊆M，且M＝{x|a＜x＜a+6}，
∴，解得﹣4＜a＜﹣2，
∴实数a的取值范围为（﹣4，﹣2）．
20．（12分）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由题意f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2+bx+c，
∵f（0）＝1，∴c＝1．
则f（x）＝ax2+bx+1，
又∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2ax+a+b，即2ax+a+b＝2x，
由，
解得：a＝1，b＝﹣1，f（x）＝x2﹣x+1．
（2）由（1）知，根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴，
∴当时，f（x）有最小值，当x＝﹣1时，f（x）有最大值3；
∴f（x）的值域为
21．（12分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y；当4＜x≤10时，y＝4x．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．
【解答】解：（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，
所以空气中释放的浓度为，
当0≤x≤4时，令，解得x≥0，所以0≤x≤4，
当4＜x≤10时，令16﹣2x≥4，解得x≤6，所以4＜x≤6，
综上所述，可得0≤x≤6，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达6天．
（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度，
因为14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
令，解得，
所以a的最小值为．
22．（12分）已知命题：“∀x∈[﹣1，1]，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得m＞x2﹣x在﹣1≤x≤1时恒成立，
∴m＞（x2﹣x）max，得m＞2，即B＝{m|m＞2}＝（2，+∞）．
（2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0，
①当3a＞2+a，即a＞1时，解集A＝{x|2+a＜x＜3a}，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，∴2+a≥2，此时a＞1；
②当3a＝2+a，即a＝1时，解集A＝∅，满足题设条件．
③当3a＜a+2，即a＜1时，解集A＝{x|3a＜x＜2+a}，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
∴3a≥2，此时，
综上①②③可得．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/31 9:15:50；用户：高中数学朱老师；邮箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；学号：37103942x
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