2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年湖南省益阳市南县立达中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量满足，，则

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

详解：因为

所以选B.

点睛：向量加减乘：

2．若，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据复数运算法则求解即可.

【详解】．故选D．

【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．

3．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得．

【详解】∵，，且与的夹角为，

∴，

∴，

∴．

故选：A.

4．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】利用圆柱的轴截面信息求出圆柱的底面半径与高的关系，再结合圆柱与外接球的关系求得对应的比例关系.

【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，

故选：.

5．已知△是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，点E在边AC上，且，设AD与BE交于点P，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．9

【答案】C

【分析】由向量数量积的几何意义，结合线段间的几何关系易得，即可求值.

【详解】由题意，如下图示：

∵，而，

∴，又△是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，

∴.

故选：C

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

7．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设球的半径为，外接圆的半径为，根据题意求出，再根据球心到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案.

【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，

在中，由，，则

得，所以，

因为球O的表面积为，

则，解得，

所以球心到的距离，

即三棱锥的高为，

，

所以三棱锥的体积.

故选：C.

8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，

则，，，

设，则，，，

则

当，时，取得最小值，

故选：．

二、多选题

9．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且，

则，当时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确，

又由、，∴，∴B选项一定正确；

由，∴C选项一定正确，

由不一定是实数，∴D选项不一定正确.

故选：BC.

10．如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（    ）

A．最长的是

B．最长的是

C．最短的是

D．最短的是

【答案】AD

【分析】通过斜二测画法将直观图还原，利用题干所给出的限制条件进行判断.

【详解】由题意得到原的平面图为：

其中，，，

∴，

∴的、、三条线段中最长的是，最短的是，

故选：AD.

三、单选题

11．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则一定是等腰三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是锐角三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．

【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；

若，由正弦定理得，即，

，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；

例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；

时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．

故选：A．

【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点．

四、多选题

12．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　）

A．直线AM与是相交直线

B．直线BN与是异面直线

C．AM与BN平行

D．直线与BN共面

【答案】BD

【分析】根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可

【详解】解：A选项，∵四点不共面，

∴根据异面直线的定义可得直线AM与是异面直线，故选项A错误；

B选项，∵四点不共面，

∴根据异面直线的定义可得直线BN与是异面直线，故选项B正确；

C选项，取的中点E，连接AE、EN，则有，

所以四边形是平行四边形，所以，

∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；

D选项，连接，

因为，分别为棱，的中点，

所以，由正方体的性质可知：，

所以，∴四点共面，

∴直线与BN共面，故选项D正确．

故选：BD．

五、填空题

13．化简______.

【答案】

【解析】根据向量加减法法则计算化简．

【详解】．

故答案为：．

14．已知向量，，．若，则________．

【答案】

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】由题可得

,即

故答案为

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

15．设复数满足，则的最大值是_______.

【答案】6

【详解】分析：先找到复数z对应的点的轨迹，再求的最大值.

详解：设复数，则，

所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，

所以的最大值是.故答案为6

点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)表示以点(a,b)为圆心r为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然.

16．直三棱柱所有顶点都在球的表面上，且，，，则球的表面积为________．

【答案】

【分析】直接利用三棱柱和外接球的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果．

【详解】解：直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，且，，，

∴，

设为外接圆的圆心为，

，所以，

设外接球的球心为，设球的半径为，

所以，

故．

故答案为：．

六、解答题

17．实数取怎样的值时，复数是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

【答案】（1）或；（2）且；（3）.

【分析】根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.

【详解】（1）若，则为实数，此时或者.

（2）若，则为虚数，此时且.

（3）若 ，则为纯虚数，此时.

【点睛】对于复数，（1）若，则为实数；（2）若，则为虚数，特别地，如果，则为纯虚数，解题中注意合理分类．

18．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.

(1)求剩余部分的体积；

(2)求三棱锥的高.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可求得剩余部分的体积，

（2）利用等体积法求解即可

【详解】（1）因为

所以剩余部分的体积，

（2）由（1）知，

设三棱锥的高为，

由正方体的性质可知为等边三角形，且边长为，则

，

所以，

解得.

所以三棱锥的高为

19．已知非零向量、，满足，，且．

(1)求向量、的夹角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对化简结合可得，然后利用结合数量积的定义可求得答案，

（2）先求出，然后平方可得结果

【详解】（1）∵，

∴，即，                        

又，∴，设向量、的夹角为，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即向量、的夹角为；

（2）∵

∴．

20．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosC－b－=0.

(1)求A；

(2)若a=求b+2c的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理得到，进而即得；

（2）利用正弦定理可得，再利用三角函数的性质即得.

【详解】（1）由余弦定理可得：，

即

所以，又，

所以；

（2）由题意，则，

则，

由，得，

则，

故b+2c的取值范围为.

21．如图，在中，，，，，.

（1）求的长；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；

（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．

【详解】（1），，，

，，，.

；

（2），，

，

.

【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.

22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，D为边上一点，.

（1）若，求；

（2）若的面积为，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接由正弦定理求得；

（2）利用面积公式求出，利用向量中线公式求出，用数量积求出模长即可.

【详解】解：（1）依题意得，则，

在中，由正弦定理得：，

即，所以.

（2）因为，所以，

由可得，，

则，

所以.

【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：

(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；

(2)从式子结构来选择．