2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省株洲市南方中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，集合或，则与的关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据子集概念即可得到结果.

【详解】根据题意可得，，所以，

故选：C

2．已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（    ）

A．-1 B．2 C． D．0

【答案】C

【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得正确答案.

【详解】或，

当时，，符合题意.

当时，，不符合题意.

当时，要使集合有且仅有一个元素，

则需，

解得或（舍去）

综上所述，的可能取值为或，C选项符合.

故选：C

3．不等式的解集为（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【解析】首先将一元二次不等式化为标准形式，再因式分解，写解集即可.

【详解】因为，即，所以，

解得：

故选：A

【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，属于基础题.

4．已知集合，，则下图阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由图可知阴影部分表示的集合是，计算出结果即可.

【详解】由图可知阴影部分表示的集合是，

，或，

.

故选：B.

【点睛】本题考查由Venn图求集合，属于基础题.

5．函数的定义域为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据二次根号下需大于或等于零，分母不等于零即可求解.

【详解】要使函数有意义，则，解得且，

所以函数的定义域为或.

故选:B.

6．已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.

【详解】因为是真命题，

所以方程有实数根，

所以，解得，

故实数的取值范围为.

故选：B.

7．已知、是方程的两个实根，是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合二次方程相关知识判断可得出结论.

【详解】因为、是方程的两个实根，则.

则，则，

所以，.

所以，是的充要条件.

故选：C.

8．已知集合，，则集合中的元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由即可求解满足题意的点的坐标.

【详解】解：由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.

故选：B.

二、多选题

9．设全集，集合，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】CD

【分析】根据具体函数定义域和值域，求出与，再根据集合运算法则，判断ABCD四个选项正确与否.

【详解】定义域为，故，，值域为，所以，所以，A选项错误；，B错误；，，CD正确

故选：CD

10．“为偶数”，下列说法正确的是（    ）

A．该命题是假命题

B．该命题是真命题

C．该命题的否定为：不是偶数

D．该命题的否定为：不是偶数

【答案】BD

【分析】举个特例即可判断存在量词命题为真；根据存在量词命题的否定格式可写出存在量词命题的否定.

【详解】时，是偶数，A项错误，B项正确；

为偶数的否定为：不是偶数，C项错误，D项正确.

故选：BD.

11．若非零实数a，b满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）

A． B． C．  D．

【答案】ABD

【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值，代入A、B、D选项进行验证，A、B、D都不成立，运用作差比较法可判断C选项.

【详解】对于选项A，当，，，此时不成立；

对于选项B，当，，，此时不成立；

对于选项C，，所以成立；

选项D，当，此时不成立.

故选：ABD.

【点睛】本题考查判断不等式成立与否，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．

12．已知，下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.

【详解】A：显然成立，但是不成立，故本选项命题是假命题；

B：因为，所以，而，所以有，因此本选项命题是真命题；

C：因为，所以，因此有，而，所以，因此本选项命题是假命题；

D：因为，所以，所以有，即，因此本选项命题是真命题，

故选：BD

三、填空题

13．已知集合，若，则满足条件的正整数所组成集合的子集的个数为______________

【答案】

【分析】由题意，根据集合的包含关系，建立不等式，结合子集个数公式，可得答案.

【详解】由题意，可知，，即，则，

由，则，故满足条件的正整数所组成集合为，其子集个数为.

故答案为：.

14．已知集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为______________

【答案】

【分析】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果.

【详解】根据题意，集合是集合的真子集；

故，，且不能同时取得等号，

解得，故的取值范围为：.

故答案为：.

15．已知，则___________.

【答案】2

【分析】结合分段函数的解析式式，代入求值即可.

【详解】因为，

所以，，

因此，

故答案为：2.

16．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：

①a2＋1＞a；  ②；   ③(a＋b)；  ④a2＋9＞6a.

其中恒成立的是________(填序号).

【答案】①②③

【分析】利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.

【详解】由于a2＋1－a＝，故①恒成立；

由于＝＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；

由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，

那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；

当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.

综上，恒成立的是①②③.

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题.

四、解答题

17．已知集合，或．

(1)若，求的取值范围；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据列不等式组，解不等式组即可求解；

（2）由已知可得，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式组即可求解.

【详解】（1）因为，所以，解得：，

所以的取值范围是.

（2）因为，所以，所以或，解得：或，

所以的取值范围是或．

18．已知函数．

(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)根据不等式的解集可得对应方程的根，从而可求实数的值；

(2)根据不等式恒成立可得关于的不等式组，从而可求实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知：关于关于的不等式的解集为，则且和是方程的两个根，

所以，解得：，

所以实数，.

（2）因为，故函数，

由题意，对任意恒成立，

即关于的不等式在上恒成立，

当，即时，可得，解得：，不满足题意，故舍去；

当，即时，可得，

解得：，

综上所述：实数的取值范围为.

19．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．

（１）求的函数关系式；

（２）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1) (2) 当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元.

【详解】（1）       

（2）当时 ，                       

当时，

当且仅当时，即时等号成立              

答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元.

点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，在解题的过程中，注意认真审题，找出等量关系式，求得函数解析式，之后应用函数的解析式求得函数的最值.

20．已知函数是奇函数，且f(2)＝.

(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．

【答案】（1）实数m和n的值分别是2和0；（2）.

【详解】试题分析: 已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题，由于函数是奇函数，则，又f(2)= ，列方程组解出m，n，求出函数的解析式，有了函数的解析式可以利用定义研究函数的单调性，也可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.

试题解析：

(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴ .

比较得n＝－n，n＝0.

又f(2)＝，∴，解得m＝2.

因此，实数m和n的值分别是2和0.

(2)由(1)知f(x)＝ .

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1－x2)· .

∵－2≤x1＜x2≤－1时，

∴x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，

因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.

【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见问题之一，有直接使用奇偶性定义，利用待定系数法求解析式，还有给出x<0的解析式，求x>0部分的解析式；求函数在某闭区间上的最值问题需要研究函数的单调性，可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.

21．设a，b为正实数，且.

(1)求的值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；(2)9.

【分析】(1)对已知条件化简运算即可求解；(2)结合(1)中条件，并利用均值不等式即可求解.

【详解】(1)因为，即，，

所以.

(2)由(1)得，

由，，，

∵，∴，，即，，

所以，，

则，

当且仅当时，即，时不等式取等号，

故的最小值为9.

22．已知函数，且的图象关于轴对称.

（1）求证：在区间上是单调递增函数；

（2）求函数，的值域.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据，得到，得到，得到，结合函数的单调性的定义，即可证得在上单调增；

（2）由，令，得到函数，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数的图象关于轴对称，可得为偶函数，

所以，即，

整理得，

因为任意的均成立，故，所以，即，

任取，且，

则.

因为，且，可得，，

所以，故在上单调增.

（2）由，且，

令，，由（1）可得，

则，，

显然当时，；当时，.

故的值域为.