人教版八年级数学上册期末试卷

这是一份人教版八年级数学上册期末试卷，共18页。
第一学期八年级
数 学 期 末 模 拟 试 卷
（测试时间 120分钟 总分150分）
一． 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个图形是有关垃圾分类的标志，其中标志图形（不含文字）是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若分式1x−3无意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＝3 C．x＜3 D．x＞3
3．已知三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（　　）
A．3cm B．5cm C．10cm D．15cm
4．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（　　）
①a2+b2；②x2﹣y2；③﹣m2+n2；④﹣a2b2；⑤﹣a6+4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（　　）
A．∠ECB＝∠DCA B．BC＝EC C．∠A＝∠D D．AC＝DC

第6题 第7题 第8题 第10题
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝48°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CB于点T，连接AT，则∠CAT的度数是（　　）
A．64° B．24° C．21° D．16°
8．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y（其中x＞y）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）
A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．x2﹣y2＝16 D．4xy+9＝64
9．2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（　　）
A．1x+100=6000x−10 B．10000x−100=6000x+10
C．10000x=6000x−10−100 D．10000x−100=6000x−10
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题共8小题，第11～12题，每小题3分，第13～18题，每小题4分，共30分）
11．计算：（﹣3）2012×（13）2011＝　 　．
12．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）
A．7 B．﹣5 C．7 或﹣1 D．5 或﹣1
13．若a2+5ab﹣b2＝0，则ba−ab的值为　 　．
14．已知a1=t1+t，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an+1=11−an（n为正整数，且t≠0，1），则a2020＝　 　（用含有t的代数式表示）．
15．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、G，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F，连接AD、AE，若C△ADE＝13，DE＝2，则BC＝　 　．

16．如图，∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC＝2CF，若AE＝24，则线段CE长为 　 　．

17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标　 　；满足条件的点C一共有　 　个．

18．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为

三．解答题（本大题共8小题，共90分）
19．计算：（1）（﹣3）2+8−|1﹣22|﹣（6−3）0．（2）2（m﹣1）2﹣（2m+3）（2m﹣3）．





20．先化简代数式x2−2x+1x2−1÷（x−1x+1−x+1），然后从﹣3＜x≤1的范围内选取一个合适的整数作为x的值，代入求代数式值．






21．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC；
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数．


22．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求ba的值；
（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．








23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE．
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．




24．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 　 　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小；
（4）求△ABC的面积．


25．八年级甲、乙两个班级全体同学踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元．下面是甲、乙两班同学的一段对话：

（1）甲、乙班各有多少人？
（2）现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买A、B两种不同型号的口罩（两种口罩都有购买），购买信息如下表：
名称
单价（整数元）
数量（整包购买）
金额（元）
A
m
▅（包）
▅
B
m+18
▅（包）
▅
总计
5（包）
两个班全部捐款额
求符合条件的整数m的值．

26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G，求证：AD＝DG+MD；
（3）点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，请在图3中画出图形，并直接写出ND，DG与AD数量之间的关系．


海安市海陵中学2021~2022学年第一学期八年级
数 学 期 末 模 拟 试 卷
参考答案与试题解析
1．下列四个图形是有关垃圾分类的标志，其中标志图形（不含文字）是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．若分式1x−3无意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＝3 C．x＜3 D．x＞3
解：∵分式1x−3无意义，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3．
故选：B．
3．已知三角形的两边长分别为5cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（　　）
A．3cm B．5cm C．10cm D．15cm
解：设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系，
得10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．
故选：C．
4．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（　　）
①a2+b2；②x2﹣y2；③﹣m2+n2；④﹣a2b2；⑤﹣a6+4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：①a2+b2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
②x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；
③﹣m2+n2＝（m+n）（m﹣n），能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；
④﹣a2b2，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
⑤﹣a6+4＝（2+a3）（2﹣a3），能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；
能用平方差公式分解的因式有3个．
故选：B．
5．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（　　）

A．∠ECB＝∠DCA B．BC＝EC C．∠A＝∠D D．AC＝DC
解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴当添加∠ECB＝∠DCA，则∠ACB＝∠DCE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△DEC；
当添加BC＝EC，则可根据“SAS”判断△ABC≌△DEC；
当添加∠A＝∠D，则可根据“ASA”判断△ABC≌△DEC．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝48°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CB于点T，连接AT，则∠CAT的度数是（　　）

A．64° B．24° C．21° D．16°
解：由题意可得，BT＝AB，
∴△BTA是等腰三角形，
∵∠CAB＝90°，∠C＝48°，
∴∠B＝90°﹣48°＝42°，
∴∠BTA=180°−42°2=69°，
∴∠CAT＝∠BTA﹣∠C＝69°﹣48°＝21°，
故选：C．
8．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x，y（其中x＞y）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（　　）

A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．x2﹣y2＝16 D．4xy+9＝64
解：A、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；
B、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；
C、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；
D、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；
故选：C．

9．2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（　　）
A．1x+100=6000x−10 B．10000x−100=6000x+10
C．10000x=6000x−10−100 D．10000x−100=6000x−10
解：设2020年每包口罩为x元，
根据题意可得：10000x=6000x−10−100，
故选：C．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．

11．计算：（﹣3）2012×（13）2011＝　3　．
解：原式＝﹣3×（﹣3）2011×（13）2011
＝﹣3×（﹣3×13）2011
＝﹣3×（﹣1）2011
＝﹣3×（﹣1）
＝3，
12．若a2+5ab﹣b2＝0，则ba−ab的值为　5　．
解：∵a2+5ab﹣b2＝0，
∴b2﹣a2＝5ab，
∴ba−ab=b2−a2ab=5abab=5．
故答案为：5．
13．计算：（﹣3）2012×（13）2011＝　3　．
解：原式＝﹣3×（﹣3）2011×（13）2011
＝﹣3×（﹣3×13）2011
＝﹣3×（﹣1）2011
＝﹣3×（﹣1）
＝3，
故答案为：3．
14．已知a1=t1+t，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an+1=11−an（n为正整数，且t≠0，1），则a2020＝　t1+t　（用含有t的代数式表示）．
解：由题意可知：a1=t1+t，
a2＝t+1，
a3=−1t，
a4=t1+t，
…
∵2020＝3×673+1，
∴a2020＝a1=t1+t，
故答案为：t1+t．
15．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、G，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F，连接AD、AE，若C△ADE＝13，DE＝2，则BC＝　9　．

解：∵DG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
同理可得：EA＝EB，
∵△ADE的周长为13，
∴AD+AE+DE＝13，
∴DC+EB+DE＝13，
∴DE+EC+EB+DE＝13，
∵DE＝2，
∴EC+EB＝9，即BC＝9，
故答案为：9．
16．如图，∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC＝2CF，若AE＝24，则线段CE长为 　8　．

解：如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵∠ADC＝∠DCF＝120°，AD＝DC，DH⊥AC，
∴AH＝HC，∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠ACF＝90°，AD＝2DH，
∵AD＝2CF，
∴DH＝CF，
在△DHE和△FCE中，
∠DEH=∠FEC∠DHE=∠FCEDH=CF，
∴△DHE≌△FCE（AAS）
∴EH＝EC，
∴EC＝EH=12CH=12AH，
∵AE＝24，
∴EH＝EC＝8．
故答案为8．
17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标　（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），　；满足条件的点C一共有　8　个．

解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，
故答案为：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．

18．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为

解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，

∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：C．
19．（1）计算：（﹣3）2+8−|1﹣22|﹣（6−3）0．
解：原式＝9+22+1﹣22−1
＝9．
（2）解：原式＝2（m2﹣2m+1）﹣[（2m）2﹣32]
＝2m2﹣4m+2﹣（4m2﹣9）
＝2m2﹣4m+2﹣4m2+9
＝﹣2m2﹣4m+11．
20．先化简代数式x2−2x+1x2−1÷（x−1x+1−x+1），然后从﹣3＜x≤1的范围内选取一个合适的整数作为x的值，代入求代数式值．
解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)÷（x−1x+1−x2−1x+1）
=x−1x+1÷x−x2x+1
=x−1x+1•x+1x(1−x)
=−1x，
∵x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠±1，x≠0，
当x＝﹣2时，原式=12．
21．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC；
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数．

（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，
∠E=∠AEB=AB∠EBD=∠ABC，
∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABC，
∴BD＝BC，∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，
∴∠BDC＝∠BDE＝65°，
∵∠CBD＝50°，
∵O点为CD中点，
∴∠OBD=12∠CBD＝25°．
22．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求ba的值；
（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．
解：（1）（x﹣2）（x2+ax﹣8b）
＝x2+ax2﹣8bx﹣2x2﹣2ax+16b
＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a+8b）x+16b，
∵展开式中不含x的二次项和一次项，
∴a−2=02a+8b=0，
解得：a=2，b=−12，
所以：ba=14；
（2）当a＝2时，
（a+1）（a2+1）（a4+1）⋅⋅⋅（a32+1）+1
＝（2+1）（22+1）（24+1）⋅⋅⋅（232+1）+1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）⋅⋅⋅（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE．
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．

（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
∠2=∠1BA=CB∠BAD=∠CBE=90°，
∴△BAD≌△CBE（ASA），

（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；

（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．

24．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 　4　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小；
（4）求△ABC的面积．

解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，网格中满足条件的点P共有4个；
故答案为：4；
（3）如图所示，点Q即为所求；
（4）△ABC的面积＝3×4−12×2×4−12×1×3−12×1×3＝5．

25．八年级甲、乙两个班级全体同学踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元．下面是甲、乙两班同学的一段对话：

（1）甲、乙班各有多少人？
（2）现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买A、B两种不同型号的口罩（两种口罩都有购买），购买信息如下表：
名称
单价（整数元）
数量（整包购买）
金额（元）
A
m
▅（包）
▅
B
m+18
▅（包）
▅
总计
5（包）
两个班全部捐款额
求符合条件的整数m的值．
解：（1）设甲班有x人，则乙班有（x+3）人，
依题意得：1092x+3=76×882x，
解得：x＝49，
经检验，x＝49是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝49+3＝52．
答：甲班有49人，乙班有52人．
（2）设购买A种口罩a包，则购买B种口罩（5﹣a）包，
依题意得：am+（5﹣a）（m+18）＝882+1092，
化简得：m=1884+18a5．
又∵a，（5﹣a）均为正整数，
∴当a＝1时，m=1884+18×15=19025不为整数，不合题意，舍去；
当a＝2时，m=1884+18×25=384，符合题意；
当a＝3时，m=1884+18×35=19385不为整数，不合题意，舍去；
当a＝4时，m=1884+18×45=19565不为整数，不合题意，舍去．
答：符合条件的整数m的值为384．
26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G，求证：AD＝DG+MD；
（3）点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，请在图3中画出图形，并直接写出ND，DG与AD数量之间的关系．

证明：（1）如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC=12AB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE=12AB．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；

（2）如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，∠WDM＝∠ADE＝60°，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∠W=∠MDBMW=DM∠WMG=∠DMB
∴△WGM≌△DBM（ASA），
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．

（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：如图3，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∠DNG=∠HNBDN=HN∠H=∠2
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．