还剩23页未读，
继续阅读
2023年湖北省武汉市腾云联盟九年级五月调考数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023年湖北省武汉市腾云联盟九年级五月调考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市腾云联盟九年级五月调考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−3的相反数是( )
A. 3 B. −3 C. 13 D. −13
2. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则下列事件为不可能事件的是( )
A. 两枚骰子出现的点数之和等于1 B. 两枚骰子出现的点数之和等于6
C. 两枚骰子出现的点数之和等于7 D. 两枚骰子出现的点数之和小于13
3. 如图标志中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 计算(−2a3)2的结果是( )
A. −8a5 B. 4a6 C. 8a5 D. −4a6
5. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)在反比例函数y=6x的图象上，其中x1<0
A. 29 B. 13 C. 23 D. 49
8. 对于实数a，b，我们定义符号max{a,b}的意义为：当a≥b时，max{a,b}=a；当a
9. 如图，BD为的⊙O直径，弦BC=3 2，CD=4 2，∠BCD的平分线分别交⊙O，BD于点A，E，则AE的长是( )
A. 257
B. 247
C. 257 2
D. 247 2
10. 请根据图象法判断方程1x2+2=x的情况是( )
A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 与−10最接近的整数是______ ．
12. 第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据1412000000用科学记数法表示是______ ．
13. 分式方程xx−2=2x2−4+1的解是______ ．
14. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为______ m(参考数据 3=1.732，结果精确到0.1)．
15. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，其中a>0)经过(−1,0)，(t,0)两点(1
②b<0；
③3a+c>0；
④不等ax2+bx>cx的解集是x<−1或x>0；
其中正确的结论是______ (填写序号)．
16. 如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=2，AD=1，AA1=2，P是棱A1B1上任意一点，Q是侧面对角线AB1上一点，则PD1+PQ的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组解不等式组x+1>−1①2x+4≥4x②
请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，点D在AC上，AB=AC，AB//DE．
(1)若∠C=70°，求∠ADE的度数；
(2)若BC平分∠ABE，求证：∠A=∠E．
19. (本小题8.0分)
随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式，为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t(单位：min)，并绘制成如所示的不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
组别
在线阅读时间t
人数
A
10≤t<30
4
B
30≤t<50
8
C
50≤t<70
a
D
70≤t<90
16
E
90≤t<110
2
根据图表信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______ 人，扇形统计图中扇形D的圆心角的大小是______ ；
(2)本次统计的数据的中位数所在的组别是______ ；
(3)若该校有2000名学生，请估计全校平均每天的在线阅读时间不少于50min的学生人数．
20. (本小题8.0分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若CD=4，tan∠DAC=12.求BD的长．
21. (本小题8.0分)
如图，由小正方形构成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.D是AB与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在BC的下方画出格点E，使∠BEC=∠BAC；在BC上画点F，使DF//AC；
(2)在AC上画点G，使BG平分∠ABC；设∠ABC=α，将点D绕点B顺时针旋转α，画出对应点H．
22. (本小题10.0分)
如图是一个宣传广告牌，其上部是抛物线的一部分AED，下部是一个矩形支架ABCD，矩形支架的长BC为4m，高AB为1.5m.该广告牌的最大高度为3.5m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线所在的直线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
(1)直接写出抛物线的解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)现需要在广告牌上张贴一幅矩形MNPQ宣传画，边MN在广告牌矩形支架的边AD上，顶点Q在抛物线AED上；
①宣传画按如图(2)方式张贴，顶点P也在抛物线AED上.若宣传画刚好是一个正方形，求宣传画的周长；
②宣传画按如图(3)方式张贴，顶点P在y轴上，点M到点A的距离不小于0.5m，求宣传画周长l的取值范围．
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，D，E两点分别在AB和BC的延长线上运动，且始终保持CE=2AD，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC，垂足为G．
(1)如图(1)，若∠BED=∠BAC，求AD的长；
(2)如图(2)，求证：FG的长是定值；
(3)如图(2)，若F是AC的中点，直接写出tan∠DFG的值．
24. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C，点D在抛物线上，且∠ACD=∠BAC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图(1)，求点D的坐标；
(3)如图(2)，点E是线段AC上(不与A、C重合)的动点，连接DE，∠DEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为t，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：A．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数；掌握其定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解；A、两枚骰子出现的点数之和等于1，是不可能事件，符合题意；
B、两枚骰子出现的点数之和等于6，是随机事件，不符合题意；
C、两枚骰子出现的点数之和等于7，是随机事件，不符合题意；
D、两枚骰子出现的点数之和小于13，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：(−2a3)2=4a6．
故选：B．
分别利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：B．
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，当x1<0
当x1<0
7.【答案】C
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连接成一根长绳的结果数为6，
所以这三根绳子能连接成一根长绳的概率=69=23．
故选：C．
画树状图展示所有9种等可能的结果，找出这三根绳子能连接成一根长绳的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.【答案】B
【解析】解：当x+3≥−x+1，
即：x≥−1时，y=x+3，
∴当x=−1时，ymin=2，
当x+3<−x+1，
即：x<−1时，y=−x+1，
∵x<−1，
∴−x>1，
∴−x+1>2，
∴y>2，
∴ymin=2，
故选：B．
分x≥−1和x<−1两种情况进行讨论计算，
此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°，
∵AC平分∠BCD，BC=3 2，CD=4 2，
∴∠ACB=∠ACD=45°，BD= BC2+AC2= 18+32=5 2，
∴∠ABE=∠DCE=45°，∠ADE=∠ACB=45°，OA=OD=5 22，
∴AB=AD，
∵AB2+AD2=BD2=50，
∴AB=AD=5，
∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△ABE∽△DCE，
∴AEDE=ABDC=54 2，
∴DE=4 25AE，
∴OE=DE−OD=4 25AE−5 22，
∵OA2+OE2=AE2，
∴(5 22)2+(4 25AE−5 22)2=AE2，
解得：AE=257或AE=25(舍去)，
即AE的长为257，
故选：A．
连接OA，利用圆的相关性质及勾股定理可求得BD，AB，OA，OD的长度，∠AOE=90°，△ABE∽△DCE，从而可得AE与DE的数量关系，然后在Rt△AOE中利用勾股定理即可求得答案．
本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，连接OA，构造直角三角形，并利用相似三角形得出AE与DE的数量关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵1x2+2=x，
∴1x2=x−2，
画出y=1x2和y=x−2的大致图象，如图所示，
由图象可知，方程1x2+2=x有一个实数根．
故选：C．
画出y=1x2和y=x−2的图象，根据图象可得方程1x2+2=x的根的情况．
本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点与方程的解的关系是解题的关键．
11.【答案】−11或−9
【解析】解：∵−10−1=−11，−10+1=−9，
∴与−10最接近的整数是−11或−9．
故答案为：−11或−9．
根据有理数大小比较的方法，与−10最接近的整数有2个，一个比−10小1，一个比−10大1，据此求解即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：与−10最接近的整数有2个．
12.【答案】1.412×109
【解析】解：数据1412000000用科学记数法表示是1.412×109．
故答案为：1.412×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
13.【答案】x=−1
【解析】解：原方程变形得xx−2−2x2−4=1，
去分母得x(x+2)−2=(x+2)(x−2)，
解得x=−1，
检验：当x=−1时，(x+2)(x−2)≠0，
所以原方程的解为x=−1．
故答案为：x=−1．
方程两边都乘以(x+2)(x−2)得到x(x+2)=2+(x+2)(x−2)，解得x=−1，然后进行检验确定分式方程的解．
本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．
14.【答案】2.4
【解析】解：由题意得：EF//BP，
∴∠FEC=∠DPC=30°，
在Rt△EFC中，∠C=90°，tan∠FEC=tan30°=FCCE= 33，
∵EF//BP，
∴CFCE=BFEP，
∴ 33=BFEP．
∴BF= 33EP．
∵AF=2m，
∴AB=AF−BF=2− 33EP．
∵∠A=∠C=90°，
∴AD//CP，
∴∠ADB=∠DPC=30°，
在Rt△ADB中，AD=ABtan30∘=2− 33EP 33=0.8，
∴EP≈2.4m．
故答案为：2.4．
根据题意可得：EF//BP，从而可得∠FEC=∠DPC=30°，然后在Rt△EFC中，利用锐角三角函数的定义求出FCCE= 33，从而利用平行线分线段成比例可得CFCE=BFEP，进而求出BF的长，最后利用线段的和差关系求出AB的长，再根据已知易得AD//CP，从而可得∠ADB=∠DPC=30°，进而在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及平行线分线段成比例是解题的关键．
15.【答案】②③④
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，其中a>0)经过(−1,0)，(t,0)两点．
∴方程ax2+bx+c=0的根为：x1=−1，x2=t．
∴对称轴x=x1+x22=t−12=−b2a，
∵1
∵a>0，
∴0<−b<2a，
∴b<0，2a+b>0；
∴①错误，②正确．
∵x1x2=ca=−t，
又∵1
∵a>0，
∴3a+c>0
∴③正确．
∵ax2+bx>cx，
∴ax2+bx+c>cx+c，
直线y=cx+c=c(x+1)，
当x=−1是，直线y=0；当x=0时，直线y=c．
∴结合图象可知不等ax2+bx>cx的解集是x<−1或x>0，
∴④正确．
由抛物线y=ax2+bx+c易得方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=t，则可知其对称轴x为t−12=−b2a，根据10，可得①错误，②正确．
由x1x2=ca=−t且1
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
16.【答案】3 22
【解析】解：将长方体正面和上面展平，如图，连接D1B1，作D1Q′⊥AB1于点Q′，
∵PD1+PQ≥D1Q′，
∴PD1+PQ的最小值是D1Q′的长；
∵ABCD−A1B1C1D1是长方体，AB=2，AD=1，AA1=2，
∴A1B1=AB=2，A1D1=AD=1，
∴AB1= AA12+A1B12= 22+22=2 2，
AD1=AA1+A1D1=2+1=3，
∵S△AD1B1=12AD1⋅A1B1=12AB1⋅D1Q′，
∴D1Q′=AD1⋅A1B1AB1=3×22 2=3 22，
∴PD1+PQ的最小值是3 22，
故答案为：3 22．
先将长方体正面和上面展平，得到平面图形，连接D1B1，作D1Q′⊥AB1于点Q′，根据垂线段最短可用得到PD1+PQ的最小值是D1Q′的长，再利用△AD1B1面积的不同算法求出D1Q′即可．
本题考查立体图形与平面图形的转化，勾股定理，垂线段最短，面积法，掌握立体图形的展开和面积法解题是关键．
17.【答案】x>−2 x≤2 −2
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
(4)原不等式组的解集为−2
本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18.【答案】(1)解：∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠A=∠ABC−∠C=180°−70°−70°=40°，
∵AB//DE，
∴∠ADE=180°−∠A=180°−40°=140°，
∴∠ADE的度数为140°．
(2)证明：∵BC平分∠ABE，
∴∠EBC=∠ABC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠EBC=∠C，
∴BE//AD，
∵AB//DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠A=∠E．
【解析】(1)由AB=AC，得∠ABC=∠C=70°，则∠A=40°，由AB//DE，得∠ADE=180°−∠A=140°；
(2)由∠EBC=∠ABC，∠ABC=∠C，得∠EBC=∠C，则BE//AD，所以四边形ABED是平行四边形，则∠A=∠E．
此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质等知识，推导出BE//AD是解题的关键．
19.【答案】50 115.2° C
【解析】解：(1)这次被调查的同学共有8÷16%=50(人)，
扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×1650=115.2°；
故答案为：50；115.2°；
(2)由题意得，a=50×40%=20，
故本次统计的数据的中位数所在的组别是C组．
故答案为：C；
(3)2000×50−4−850=1520(名)，
答：估计全校平均每天的在线阅读时间不少于50min的学生人数大约为1520名．
(1)根据B组的频数和所占的百分比，可以求得这次被调查的同学总数；用360°乘以D组所占百分比得到D组圆心角的度数；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)利用样本估计总体，用该校学生数乘以样本中平均每天的在线阅读时间不少于50min的人数所占的百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、加权平均数、中位数以及样本估计总体，掌握加权平均数、中位数的意义和计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD//AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
(2)解：作OI⊥AC于点I，则∠OIA=90°，
∵∠C=∠ODC−∠OIC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OI=CD=2，IC=OD=OA，
∵CDAC=tan∠DAC=12，
∴AC=2CD=2×2=4，
∵OI2+AI2=OA2，AI=4−IC=4−OA，
∴22+(4−OA)=OA2，
解得OA=52，
∴OD=52，AI=4−52=32，
∵∠BOD=∠OAI，
∴BDOD=tan∠BOD=tan∠OAI=OIAI=232=43，
∴BD=43OD=43×52=103，
∴BD的长是103．
【解析】(1)连接OD，则∠ODA=∠BAD，由切线的性质得BC⊥OD，可证明OD//AC，则∠ODA=∠CAD，所以∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
(2)作OI⊥AC于点I，则四边形ABCD是矩形，所以OI=CD=2，IC=OD=OA，由CDAC=tan∠DAC=12，得AC=2CD=4，由勾股定理得22+(4−OA)=OA2，求得OA=52，则OD=52，AI=32，可求得BDOD=tan∠BOD=tan∠OAI=OIAI=43，则BD=43OD=103．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1中，点E，点F即为所求；
(2)如图2中，点G，点H即为所求．
【解析】(1)构造全等三角形解决问题即可；
(2)取格点K，连接AK，取格点P，Q，连接PQ交AK与点O，连接BO，延长BO交AC与点G，点G即为所求，连接DK交BG与点J，连接AJ，延长AJ交BC与点H，点H即为所求．
本题考查作图−旋转变换，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)根据题意知，A(−2,1.5)，D(2,1.5)，
又∵E(0,3.5)是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+3.5，
将A(−2,1.5)代入，得1.5=4a+3.5，
解得a=−0.5，
∴抛物线对应的函数表达式为y=−0.5x+3.5；
(2)①由题意可设P(m,−0.5m2+3.5)，Q(−m,−0.5m2+3.5)，M(−m,1.5)，N(m,1.5)，
∴MN=2m，PN=−0.5m2+3.5−1.5=−0.5m2+2，
∵宣传画刚好是一个正方形，
∴2m=−0.5m2+2，
解得m=−2+2 2或m=−2−2 2(舍去)，
∴4×2m=−16+16 2，
答：宣传画的周长为(−16+16 2)米；
②由题意设Q(n,−0.5n2+3.5)，M(n,1.5)，N(0,1.5)，P(0,−0.5n2+3.5)，
∴MN=PQ=−n，QM=PN=−0.5n2+3.5−1.5=−0.5n2+2，
∴l=2MN+2PN=−2n+2(−0.5n2+2)=−n2−2n+4=−(n+1)2+5，
∵点M到点A的距离不小于0.5m，
∴n−(−2)=n+2≥0.5，
∴0>n≥−1.5，
∵−1<0，
∴当n=−1时，l有最大值，最大值为5；
当n=−1.5时，l有最小值，最小值为434，
∴宣传画周长l的取值范围为434≤l≤5．
【解析】(1)根据题意确定A，E坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)①先设出P，Q，M，N坐标，再根据宣传画刚好是一个正方形，求宣传画的周长；
②设Q(n,−0.5n2+3.5)，M(n,1.5)，N(0,1.5)，P(0,−0.5n2+3.5)，然后根据矩形的周长公式写出l关于n的函数解析式，再根据n的取值范围和函数的性质求最大值和最小值．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
23.【答案】(1)解：∵∠BED=∠BAC，∠EBD=∠ABC，
∴△BED∽△BAC，
∴BEBD=BABC=42=2，
∴BE=2BD，
∵BD=AB−AD=4−AD，CE=2AD，
∴2+2AD=2(4−AD)，
解得：AD=32，
即AD的长为32；
(2)证明：如图(2)，过点D作DH//BC，交AC于点H，
设DH=m，
∵DH//BC，
∴△ADH∽△ABC，∠ADH=∠ABC=90°，
∴ADDH=ABBC=42=2，
∴AD=2DH=2m，
∴CE=2AD=4m，AH= AD2+DH2= (2m)2+m2= 5m，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2，
∴AC= AB2+BC2= 42+22=2 5，
∴CH=AC−AH=2 5− 5m，
∵DH//BC，
∴△CEF∽△HDF，
∴CFHF=CEDH=4mm=4，
∴CF=4HF，
∴HF=15CH=15×(2 5− 5m)=2 55− 55m，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△AGD∽△ABC，
∴AGAB=ADAC，
即AG4=2m2 5，
解得：AG=4 55m，
∴GH=AH−AG= 5m−4 55m= 55m，
∴FG=GH+HF= 55m+2 55− 55m=2 55，
即FG的长是定值；
(3)解：∵F是AC的中点，
∴AF=12AC= 5，
设DH=m，
由(2)可知，AD=2m，AG=4 55m，FG=2 55，
∵AG+FG=AF，
∴4 55m+2 55= 5，
解得：m=34，
∴AD=2m=32，
由(2)可知，△AGD∽△ABC，
∴DGBC=ADAC，
即DG2=322 5，
解得：DG=3 510，
∵DG⊥AC，
∴∠DGF=90°，
∴tan∠DFG=DGFG=3 5102 55=34，
即tan∠DFG的值为34．
【解析】(1)证△BED∽△BAC，得BE=2BD，再由BD=AB−AD=4−AD，CE=2AD，得2+2AD=2(4−AD)，即可得出结论；
(2)过点D作DH//BC，交AC于点H，设DH=m，证△ADH∽△ABC，得AD=2DH=2m，则CE=2AD=4m，AH= 5m，再证△CEF∽△HDF，得CF=4HF，则HF=15CH=2 55− 55m，然后证△AGD∽△ABC，得AG=4 55m，则GH= 55m，即可解决问题；
(3)求出m=34，得DG=3 510，再由锐角三角函数定义即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴(−1)2−b+c=032+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，得点C(1,−4)，
如图，设CD交x轴于点G，
∵∠ACD=∠BAC，
∴AG=CG，
设点G(m,0)，
∵A(−1,0)，C(1,−4)，
∴AG=m+1，CG= (m−1)2+42，
∴m+1= (m−1)2+42，
解得：m=4，
∴G(4,0)，
设直线CG的解析式为y=kx+n，
则k+n=−44k+n=0，
解得：k=43n=−163，
∴直线CG的解析式为y=43x−163，
由y=x2−2x−3y=43x−163，
解得：x=73y=−209或x=1y=−4，
∴D(73,−209)；
(3)根据题意可得F(t,0)(t>−1)，
∵F(t,0)，A(−1,0)，
∴AF=t+1，
∵A(−1,0)，C(1,−4)，D(73,−209)，
∴AC= (−1−1)2+[0−(−4)]2=2 5，CD= (1−73)2+[−4−(−209)]2=209，
设AE=y，则CE=AC−AE=2 5−y，
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE=180°，
∠AEF+∠DEF+∠CED=180°，
又∵∠DEF=∠CAB，
∴∠AFE=∠CED，
∵∠ACD=∠BAC，即∠EAF=∠DCE，
∴△AEF∽△CDE，
∴AECD=AFCE，即y209=t+12 5−y，
∴t=−920(y− 5)2+54，
∵−920<0，
∴当y= 5是，t有最大值为54，
∴−1
(2)将抛物线解析式化为顶点式得到C(1,−4)，设CD交x轴于点G，由等角对等边得AG=CG，设点G(m,0)，利用两点间距离公式可得m+1= (m−1)2+42，解得m=4，于是G(4,0)，利用待定系数法求得直线CG的解析式为y=43x−163，再联立二次函数与直线CG的解析式求出交点坐标即可；
(3)由题意可得F(t,0)(t>−1)，利用两点间的距离公式得AF=t+1，AC=2 5，CD=209，设AE=y，则CE=2 5−y，根据三角形内角和定理和平角的定义可推出∠ACD=∠BAC，以此易得△AEF∽△CDE，在利用相似三角形的性质可得t=−920(y− 5)2+54，根据二次函数的性质可求出t的最大值，进而得到t的取值范围．
本题考查了用待定系数法求函数解析式、配方法求抛物线顶点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与直线的交点坐标、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，本题是二次函数综合题，难度较大，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
2023年湖北省武汉市腾云联盟九年级五月调考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−3的相反数是( )
A. 3 B. −3 C. 13 D. −13
2. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则下列事件为不可能事件的是( )
A. 两枚骰子出现的点数之和等于1 B. 两枚骰子出现的点数之和等于6
C. 两枚骰子出现的点数之和等于7 D. 两枚骰子出现的点数之和小于13
3. 如图标志中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 计算(−2a3)2的结果是( )
A. −8a5 B. 4a6 C. 8a5 D. −4a6
5. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)在反比例函数y=6x的图象上，其中x1<0
A. 29 B. 13 C. 23 D. 49
8. 对于实数a，b，我们定义符号max{a,b}的意义为：当a≥b时，max{a,b}=a；当a
9. 如图，BD为的⊙O直径，弦BC=3 2，CD=4 2，∠BCD的平分线分别交⊙O，BD于点A，E，则AE的长是( )
A. 257
B. 247
C. 257 2
D. 247 2
10. 请根据图象法判断方程1x2+2=x的情况是( )
A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 与−10最接近的整数是______ ．
12. 第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据1412000000用科学记数法表示是______ ．
13. 分式方程xx−2=2x2−4+1的解是______ ．
14. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为______ m(参考数据 3=1.732，结果精确到0.1)．
15. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，其中a>0)经过(−1,0)，(t,0)两点(1
②b<0；
③3a+c>0；
④不等ax2+bx>cx的解集是x<−1或x>0；
其中正确的结论是______ (填写序号)．
16. 如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=2，AD=1，AA1=2，P是棱A1B1上任意一点，Q是侧面对角线AB1上一点，则PD1+PQ的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组解不等式组x+1>−1①2x+4≥4x②
请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，点D在AC上，AB=AC，AB//DE．
(1)若∠C=70°，求∠ADE的度数；
(2)若BC平分∠ABE，求证：∠A=∠E．
19. (本小题8.0分)
随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式，为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t(单位：min)，并绘制成如所示的不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
组别
在线阅读时间t
人数
A
10≤t<30
4
B
30≤t<50
8
C
50≤t<70
a
D
70≤t<90
16
E
90≤t<110
2
根据图表信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______ 人，扇形统计图中扇形D的圆心角的大小是______ ；
(2)本次统计的数据的中位数所在的组别是______ ；
(3)若该校有2000名学生，请估计全校平均每天的在线阅读时间不少于50min的学生人数．
20. (本小题8.0分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若CD=4，tan∠DAC=12.求BD的长．
21. (本小题8.0分)
如图，由小正方形构成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.D是AB与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在BC的下方画出格点E，使∠BEC=∠BAC；在BC上画点F，使DF//AC；
(2)在AC上画点G，使BG平分∠ABC；设∠ABC=α，将点D绕点B顺时针旋转α，画出对应点H．
22. (本小题10.0分)
如图是一个宣传广告牌，其上部是抛物线的一部分AED，下部是一个矩形支架ABCD，矩形支架的长BC为4m，高AB为1.5m.该广告牌的最大高度为3.5m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线所在的直线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
(1)直接写出抛物线的解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)现需要在广告牌上张贴一幅矩形MNPQ宣传画，边MN在广告牌矩形支架的边AD上，顶点Q在抛物线AED上；
①宣传画按如图(2)方式张贴，顶点P也在抛物线AED上.若宣传画刚好是一个正方形，求宣传画的周长；
②宣传画按如图(3)方式张贴，顶点P在y轴上，点M到点A的距离不小于0.5m，求宣传画周长l的取值范围．
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，D，E两点分别在AB和BC的延长线上运动，且始终保持CE=2AD，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC，垂足为G．
(1)如图(1)，若∠BED=∠BAC，求AD的长；
(2)如图(2)，求证：FG的长是定值；
(3)如图(2)，若F是AC的中点，直接写出tan∠DFG的值．
24. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C，点D在抛物线上，且∠ACD=∠BAC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图(1)，求点D的坐标；
(3)如图(2)，点E是线段AC上(不与A、C重合)的动点，连接DE，∠DEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为t，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：A．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数；掌握其定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解；A、两枚骰子出现的点数之和等于1，是不可能事件，符合题意；
B、两枚骰子出现的点数之和等于6，是随机事件，不符合题意；
C、两枚骰子出现的点数之和等于7，是随机事件，不符合题意；
D、两枚骰子出现的点数之和小于13，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：(−2a3)2=4a6．
故选：B．
分别利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：B．
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，当x1<0
当x1<0
7.【答案】C
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连接成一根长绳的结果数为6，
所以这三根绳子能连接成一根长绳的概率=69=23．
故选：C．
画树状图展示所有9种等可能的结果，找出这三根绳子能连接成一根长绳的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.【答案】B
【解析】解：当x+3≥−x+1，
即：x≥−1时，y=x+3，
∴当x=−1时，ymin=2，
当x+3<−x+1，
即：x<−1时，y=−x+1，
∵x<−1，
∴−x>1，
∴−x+1>2，
∴y>2，
∴ymin=2，
故选：B．
分x≥−1和x<−1两种情况进行讨论计算，
此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°，
∵AC平分∠BCD，BC=3 2，CD=4 2，
∴∠ACB=∠ACD=45°，BD= BC2+AC2= 18+32=5 2，
∴∠ABE=∠DCE=45°，∠ADE=∠ACB=45°，OA=OD=5 22，
∴AB=AD，
∵AB2+AD2=BD2=50，
∴AB=AD=5，
∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△ABE∽△DCE，
∴AEDE=ABDC=54 2，
∴DE=4 25AE，
∴OE=DE−OD=4 25AE−5 22，
∵OA2+OE2=AE2，
∴(5 22)2+(4 25AE−5 22)2=AE2，
解得：AE=257或AE=25(舍去)，
即AE的长为257，
故选：A．
连接OA，利用圆的相关性质及勾股定理可求得BD，AB，OA，OD的长度，∠AOE=90°，△ABE∽△DCE，从而可得AE与DE的数量关系，然后在Rt△AOE中利用勾股定理即可求得答案．
本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，连接OA，构造直角三角形，并利用相似三角形得出AE与DE的数量关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵1x2+2=x，
∴1x2=x−2，
画出y=1x2和y=x−2的大致图象，如图所示，
由图象可知，方程1x2+2=x有一个实数根．
故选：C．
画出y=1x2和y=x−2的图象，根据图象可得方程1x2+2=x的根的情况．
本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点与方程的解的关系是解题的关键．
11.【答案】−11或−9
【解析】解：∵−10−1=−11，−10+1=−9，
∴与−10最接近的整数是−11或−9．
故答案为：−11或−9．
根据有理数大小比较的方法，与−10最接近的整数有2个，一个比−10小1，一个比−10大1，据此求解即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：与−10最接近的整数有2个．
12.【答案】1.412×109
【解析】解：数据1412000000用科学记数法表示是1.412×109．
故答案为：1.412×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
13.【答案】x=−1
【解析】解：原方程变形得xx−2−2x2−4=1，
去分母得x(x+2)−2=(x+2)(x−2)，
解得x=−1，
检验：当x=−1时，(x+2)(x−2)≠0，
所以原方程的解为x=−1．
故答案为：x=−1．
方程两边都乘以(x+2)(x−2)得到x(x+2)=2+(x+2)(x−2)，解得x=−1，然后进行检验确定分式方程的解．
本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．
14.【答案】2.4
【解析】解：由题意得：EF//BP，
∴∠FEC=∠DPC=30°，
在Rt△EFC中，∠C=90°，tan∠FEC=tan30°=FCCE= 33，
∵EF//BP，
∴CFCE=BFEP，
∴ 33=BFEP．
∴BF= 33EP．
∵AF=2m，
∴AB=AF−BF=2− 33EP．
∵∠A=∠C=90°，
∴AD//CP，
∴∠ADB=∠DPC=30°，
在Rt△ADB中，AD=ABtan30∘=2− 33EP 33=0.8，
∴EP≈2.4m．
故答案为：2.4．
根据题意可得：EF//BP，从而可得∠FEC=∠DPC=30°，然后在Rt△EFC中，利用锐角三角函数的定义求出FCCE= 33，从而利用平行线分线段成比例可得CFCE=BFEP，进而求出BF的长，最后利用线段的和差关系求出AB的长，再根据已知易得AD//CP，从而可得∠ADB=∠DPC=30°，进而在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及平行线分线段成比例是解题的关键．
15.【答案】②③④
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，其中a>0)经过(−1,0)，(t,0)两点．
∴方程ax2+bx+c=0的根为：x1=−1，x2=t．
∴对称轴x=x1+x22=t−12=−b2a，
∵1
∵a>0，
∴0<−b<2a，
∴b<0，2a+b>0；
∴①错误，②正确．
∵x1x2=ca=−t，
又∵1
∵a>0，
∴3a+c>0
∴③正确．
∵ax2+bx>cx，
∴ax2+bx+c>cx+c，
直线y=cx+c=c(x+1)，
当x=−1是，直线y=0；当x=0时，直线y=c．
∴结合图象可知不等ax2+bx>cx的解集是x<−1或x>0，
∴④正确．
由抛物线y=ax2+bx+c易得方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=t，则可知其对称轴x为t−12=−b2a，根据1
由x1x2=ca=−t且1
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
16.【答案】3 22
【解析】解：将长方体正面和上面展平，如图，连接D1B1，作D1Q′⊥AB1于点Q′，
∵PD1+PQ≥D1Q′，
∴PD1+PQ的最小值是D1Q′的长；
∵ABCD−A1B1C1D1是长方体，AB=2，AD=1，AA1=2，
∴A1B1=AB=2，A1D1=AD=1，
∴AB1= AA12+A1B12= 22+22=2 2，
AD1=AA1+A1D1=2+1=3，
∵S△AD1B1=12AD1⋅A1B1=12AB1⋅D1Q′，
∴D1Q′=AD1⋅A1B1AB1=3×22 2=3 22，
∴PD1+PQ的最小值是3 22，
故答案为：3 22．
先将长方体正面和上面展平，得到平面图形，连接D1B1，作D1Q′⊥AB1于点Q′，根据垂线段最短可用得到PD1+PQ的最小值是D1Q′的长，再利用△AD1B1面积的不同算法求出D1Q′即可．
本题考查立体图形与平面图形的转化，勾股定理，垂线段最短，面积法，掌握立体图形的展开和面积法解题是关键．
17.【答案】x>−2 x≤2 −2
(2)解不等式②，得x≤2；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
(4)原不等式组的解集为−2
本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18.【答案】(1)解：∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠A=∠ABC−∠C=180°−70°−70°=40°，
∵AB//DE，
∴∠ADE=180°−∠A=180°−40°=140°，
∴∠ADE的度数为140°．
(2)证明：∵BC平分∠ABE，
∴∠EBC=∠ABC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠EBC=∠C，
∴BE//AD，
∵AB//DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠A=∠E．
【解析】(1)由AB=AC，得∠ABC=∠C=70°，则∠A=40°，由AB//DE，得∠ADE=180°−∠A=140°；
(2)由∠EBC=∠ABC，∠ABC=∠C，得∠EBC=∠C，则BE//AD，所以四边形ABED是平行四边形，则∠A=∠E．
此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质等知识，推导出BE//AD是解题的关键．
19.【答案】50 115.2° C
【解析】解：(1)这次被调查的同学共有8÷16%=50(人)，
扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×1650=115.2°；
故答案为：50；115.2°；
(2)由题意得，a=50×40%=20，
故本次统计的数据的中位数所在的组别是C组．
故答案为：C；
(3)2000×50−4−850=1520(名)，
答：估计全校平均每天的在线阅读时间不少于50min的学生人数大约为1520名．
(1)根据B组的频数和所占的百分比，可以求得这次被调查的同学总数；用360°乘以D组所占百分比得到D组圆心角的度数；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)利用样本估计总体，用该校学生数乘以样本中平均每天的在线阅读时间不少于50min的人数所占的百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、加权平均数、中位数以及样本估计总体，掌握加权平均数、中位数的意义和计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD//AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
(2)解：作OI⊥AC于点I，则∠OIA=90°，
∵∠C=∠ODC−∠OIC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OI=CD=2，IC=OD=OA，
∵CDAC=tan∠DAC=12，
∴AC=2CD=2×2=4，
∵OI2+AI2=OA2，AI=4−IC=4−OA，
∴22+(4−OA)=OA2，
解得OA=52，
∴OD=52，AI=4−52=32，
∵∠BOD=∠OAI，
∴BDOD=tan∠BOD=tan∠OAI=OIAI=232=43，
∴BD=43OD=43×52=103，
∴BD的长是103．
【解析】(1)连接OD，则∠ODA=∠BAD，由切线的性质得BC⊥OD，可证明OD//AC，则∠ODA=∠CAD，所以∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
(2)作OI⊥AC于点I，则四边形ABCD是矩形，所以OI=CD=2，IC=OD=OA，由CDAC=tan∠DAC=12，得AC=2CD=4，由勾股定理得22+(4−OA)=OA2，求得OA=52，则OD=52，AI=32，可求得BDOD=tan∠BOD=tan∠OAI=OIAI=43，则BD=43OD=103．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1中，点E，点F即为所求；
(2)如图2中，点G，点H即为所求．
【解析】(1)构造全等三角形解决问题即可；
(2)取格点K，连接AK，取格点P，Q，连接PQ交AK与点O，连接BO，延长BO交AC与点G，点G即为所求，连接DK交BG与点J，连接AJ，延长AJ交BC与点H，点H即为所求．
本题考查作图−旋转变换，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)根据题意知，A(−2,1.5)，D(2,1.5)，
又∵E(0,3.5)是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+3.5，
将A(−2,1.5)代入，得1.5=4a+3.5，
解得a=−0.5，
∴抛物线对应的函数表达式为y=−0.5x+3.5；
(2)①由题意可设P(m,−0.5m2+3.5)，Q(−m,−0.5m2+3.5)，M(−m,1.5)，N(m,1.5)，
∴MN=2m，PN=−0.5m2+3.5−1.5=−0.5m2+2，
∵宣传画刚好是一个正方形，
∴2m=−0.5m2+2，
解得m=−2+2 2或m=−2−2 2(舍去)，
∴4×2m=−16+16 2，
答：宣传画的周长为(−16+16 2)米；
②由题意设Q(n,−0.5n2+3.5)，M(n,1.5)，N(0,1.5)，P(0,−0.5n2+3.5)，
∴MN=PQ=−n，QM=PN=−0.5n2+3.5−1.5=−0.5n2+2，
∴l=2MN+2PN=−2n+2(−0.5n2+2)=−n2−2n+4=−(n+1)2+5，
∵点M到点A的距离不小于0.5m，
∴n−(−2)=n+2≥0.5，
∴0>n≥−1.5，
∵−1<0，
∴当n=−1时，l有最大值，最大值为5；
当n=−1.5时，l有最小值，最小值为434，
∴宣传画周长l的取值范围为434≤l≤5．
【解析】(1)根据题意确定A，E坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)①先设出P，Q，M，N坐标，再根据宣传画刚好是一个正方形，求宣传画的周长；
②设Q(n,−0.5n2+3.5)，M(n,1.5)，N(0,1.5)，P(0,−0.5n2+3.5)，然后根据矩形的周长公式写出l关于n的函数解析式，再根据n的取值范围和函数的性质求最大值和最小值．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
23.【答案】(1)解：∵∠BED=∠BAC，∠EBD=∠ABC，
∴△BED∽△BAC，
∴BEBD=BABC=42=2，
∴BE=2BD，
∵BD=AB−AD=4−AD，CE=2AD，
∴2+2AD=2(4−AD)，
解得：AD=32，
即AD的长为32；
(2)证明：如图(2)，过点D作DH//BC，交AC于点H，
设DH=m，
∵DH//BC，
∴△ADH∽△ABC，∠ADH=∠ABC=90°，
∴ADDH=ABBC=42=2，
∴AD=2DH=2m，
∴CE=2AD=4m，AH= AD2+DH2= (2m)2+m2= 5m，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2，
∴AC= AB2+BC2= 42+22=2 5，
∴CH=AC−AH=2 5− 5m，
∵DH//BC，
∴△CEF∽△HDF，
∴CFHF=CEDH=4mm=4，
∴CF=4HF，
∴HF=15CH=15×(2 5− 5m)=2 55− 55m，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△AGD∽△ABC，
∴AGAB=ADAC，
即AG4=2m2 5，
解得：AG=4 55m，
∴GH=AH−AG= 5m−4 55m= 55m，
∴FG=GH+HF= 55m+2 55− 55m=2 55，
即FG的长是定值；
(3)解：∵F是AC的中点，
∴AF=12AC= 5，
设DH=m，
由(2)可知，AD=2m，AG=4 55m，FG=2 55，
∵AG+FG=AF，
∴4 55m+2 55= 5，
解得：m=34，
∴AD=2m=32，
由(2)可知，△AGD∽△ABC，
∴DGBC=ADAC，
即DG2=322 5，
解得：DG=3 510，
∵DG⊥AC，
∴∠DGF=90°，
∴tan∠DFG=DGFG=3 5102 55=34，
即tan∠DFG的值为34．
【解析】(1)证△BED∽△BAC，得BE=2BD，再由BD=AB−AD=4−AD，CE=2AD，得2+2AD=2(4−AD)，即可得出结论；
(2)过点D作DH//BC，交AC于点H，设DH=m，证△ADH∽△ABC，得AD=2DH=2m，则CE=2AD=4m，AH= 5m，再证△CEF∽△HDF，得CF=4HF，则HF=15CH=2 55− 55m，然后证△AGD∽△ABC，得AG=4 55m，则GH= 55m，即可解决问题；
(3)求出m=34，得DG=3 510，再由锐角三角函数定义即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴(−1)2−b+c=032+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，得点C(1,−4)，
如图，设CD交x轴于点G，
∵∠ACD=∠BAC，
∴AG=CG，
设点G(m,0)，
∵A(−1,0)，C(1,−4)，
∴AG=m+1，CG= (m−1)2+42，
∴m+1= (m−1)2+42，
解得：m=4，
∴G(4,0)，
设直线CG的解析式为y=kx+n，
则k+n=−44k+n=0，
解得：k=43n=−163，
∴直线CG的解析式为y=43x−163，
由y=x2−2x−3y=43x−163，
解得：x=73y=−209或x=1y=−4，
∴D(73,−209)；
(3)根据题意可得F(t,0)(t>−1)，
∵F(t,0)，A(−1,0)，
∴AF=t+1，
∵A(−1,0)，C(1,−4)，D(73,−209)，
∴AC= (−1−1)2+[0−(−4)]2=2 5，CD= (1−73)2+[−4−(−209)]2=209，
设AE=y，则CE=AC−AE=2 5−y，
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE=180°，
∠AEF+∠DEF+∠CED=180°，
又∵∠DEF=∠CAB，
∴∠AFE=∠CED，
∵∠ACD=∠BAC，即∠EAF=∠DCE，
∴△AEF∽△CDE，
∴AECD=AFCE，即y209=t+12 5−y，
∴t=−920(y− 5)2+54，
∵−920<0，
∴当y= 5是，t有最大值为54，
∴−1
(2)将抛物线解析式化为顶点式得到C(1,−4)，设CD交x轴于点G，由等角对等边得AG=CG，设点G(m,0)，利用两点间距离公式可得m+1= (m−1)2+42，解得m=4，于是G(4,0)，利用待定系数法求得直线CG的解析式为y=43x−163，再联立二次函数与直线CG的解析式求出交点坐标即可；
(3)由题意可得F(t,0)(t>−1)，利用两点间的距离公式得AF=t+1，AC=2 5，CD=209，设AE=y，则CE=2 5−y，根据三角形内角和定理和平角的定义可推出∠ACD=∠BAC，以此易得△AEF∽△CDE，在利用相似三角形的性质可得t=−920(y− 5)2+54，根据二次函数的性质可求出t的最大值，进而得到t的取值范围．
本题考查了用待定系数法求函数解析式、配方法求抛物线顶点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与直线的交点坐标、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，本题是二次函数综合题，难度较大，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
相关试卷
2023年湖北省武汉市江岸区九年级五月调考数学试卷（含解析）： 这是一份2023年湖北省武汉市江岸区九年级五月调考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市硚口区九年级五月调考数学试卷（含解析）： 这是一份2023年湖北省武汉市硚口区九年级五月调考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市蔡甸区九年级五月调考数学试卷（含解析）： 这是一份2023年湖北省武汉市蔡甸区九年级五月调考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
