陕西省延安市宝塔区第四中学2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题

这是一份陕西省延安市宝塔区第四中学2020-2021学年高二上学期期末理科数学试题，共8页。试卷主要包含了已知实数满足，则的最小值是，已知命题，已知向量，若共面，则实数等内容，欢迎下载使用。

试卷类型：A
延安市宝塔区第四中学（宝塔中学）
2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学（理科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生需准确填写自己的姓名､准考证号，并认真核准条形码上的姓名､准考证号；
3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整､清晰；
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第I卷（选择题共60分）
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
3.设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A. B. C. D.
5.已知实数满足，则的最小值是（ ）
A. B.3 C. D.6
6.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）

A. B.
C. D.
7.已知命题：函数是奇函数，命题：任何实数都是有理数，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）

A. B. C. D.
9.已知向量，若共面，则实数（ ）
A.3 B.-1 C.1 D.-2
10.如图，在四面体中，两两垂直，，则点到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
11.已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的左､右两支于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
第II卷（非选择题共90分）
13.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为__________.
14.若双曲线的实轴长等于虚轴长的一半，则__________.
15.若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为__________.
16.已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为__________.
三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知，关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若均为正实数，且满足，求的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，.
（1）求抛物线的标准方程，并写出其准线方程；
（2）求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有实数根，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：

（1）求证：；
（2）试求二面角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷类型：A
延安市宝塔区第四中学（宝塔中学）
2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学（理科）试题参考答案及评分标准
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B 11.A 12.B
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2 14.4 15. 16.5
三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.解：（1）由，得，解得，
不等式的解集为，
且，得.
（2）由（1）知，，
由均值不等式有，当且仅当“”时取等号，
的最小值为4.
18.解：（1）若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题，
则，解得或，
故实数的取值集合.
（2）“”是“”的充分不必要条件，Ü，
又，
故，等号不能同时取得，解得，
的取值范围为.
19.解：（1）由题意知，即.
抛物线的标准方程为：，焦点，准线方程为.
（2）由（1）得直线的方程为.
设，
由消去得.
，故.
.
由题设知，解得或（舍去）.
直线的方程为.
20.解：（1）当时，，
当时，，得；当时，，无解；当时，，无解.
综上，的解集为.
（2）由，得，
令，
作出的图像，如图所示，

直线过原点，
当此直线经过点时，；当此直线与直线平行时，，
由图知，当或时，的图像与直线有公共点，
故的取值范围为.
21.解：（1）该三棱柱是直三棱柱，且，
两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
，
，
.
（2），
，
易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，取，得，
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
22.解：（1）由题意得，
又，
.
椭圆的方程为.
（2）设，
则.
.
两式相减得，
.
为中点，
直线的斜率.
设存在定点，对于任意的都有，
又直线的斜率，
.
，即.
存在定点，对于任意的都有.